y 0, 16 Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif

51 Program Linear Gambar 2.10 Y X O 20, 0 A 24, 0 C 0, 30 B 12, 12 0, 24 x + y = 24 3x + 2y = 60 Penyelesaian: Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0, yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda- beda, seperti pada gambar di samping. Dari Gambar 2.9, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y = k makin jauh dari titik O0, 0. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan 2. Seperti soal nomor 2 halaman 48, tetapi selesaikan dengan menggunakan metode garis selidik. Penyelesaian: Dari soal yang dimaksud, diperoleh model matematika x + y 24 3x + 2y 60 x 0, y 0 Fungis objektif: meminimumkan z = 50.000x + 40.000y Dari informasi soal tersebut, diperoleh himpunan penyelesaian yang dapat dilihat pada gambar di samping. Terlebih dahulu dibuat garis 50.000x + 40.000y = k, dengan k berbeda-beda, seperti pada Gambar 2.10. Dari gambar itu, tampak bahwa makin kecil nilai k, makin dekat ke titik O0, 0. Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, maka nilai z terkecil minimum bersesuaian dengan garis terdekat dengan titik O0, 0. Garis terdekat yang dimaksud melalui titik A12, 12. Jadi, nilai z minimum adalah z = 50.00012 + 40.00012 = 1.080.000. Jadi, banyak kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00. Tampak bahwa dengan kedua cara, akan memberikan hasil yang sama. Problem Solving O Y X C 0, 16 3 2 B 10, 10 0, 30 25, 0 A15, 0 2x + y = 30 2x + 3y = 50 Gambar 2.9 nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titik O0, 0. Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik 10, 10, yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik O0, 0, yaitu 0 + 0 = 0. Suatu pabrik farmasi memproduksi dua jenis kapsul, yaitu jenis I dan jenis II. Setiap kapsul jenis I mengandung 6 mg vitamin A, 8 mg vitamin C, dan 1 mg vitamin E. Setiap kapsul jenis II mengandung 8 mg vitamin A, 3 mg vitamin C, dan 4 mg vitamin E. Setiap hari, seorang pasien memerlukan tambahan vitamin selain berasal dari makanan { 52 Mmt Aplikasi SMA 3 IPS Y X O x + 4y = 12 6x + 8y = 40 0, 5 12, 0 0, 3 3, 0 0, 8 1.000x + 1.500y = 12.000 D C B A 8x + 3y =24 dan minuman sebanyak 40 mg vitamin A, 24 mg vitamin C, dan 12 mg vitamin E. Harga satu kapsul jenis I adalah Rp1.000,00 dan kapsul jenis II adalah Rp1.500,00. Berapa banyak uang minimal yang harus disediakan pasien tersebut untuk memenuhi kebutuhan vitaminnya setiap hari. Penyelesaian: Misalkan banyaknya kapsul jenis I adalah x dan kapsul jenis II adalah y. Berdasarkan banyaknya kandungan vitamin yang diketahui, dapat dibuat tabel sebagai berikut. Tabel 2.17 Kapsul Jenis I Kapsul Jenis II Kebutuhan Minimum mg mg mg Vitamin A 6x 8y 40 Vitamin C 8x 3y 24 Vitamin E x 4y 12 Model matematikanya adalah sebagai berikut. Sistem pertidaksamaan linear: 6x + 8y 40 8x + 3y 24 x + 4y 12 x 0, y 0 dengan x, y D C Fungsi objektif: memi- nimumkan z = 1.000x + 1.500y Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear di atas digam- barkan sebagai daerah yang tidak diarsir, seperti pada gambar di samping. Gambar 2.11 Titik B adalah perpotongan garis 8x + 3y = 24 dan 6x + 8y = 40. Koordinat titik B dapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut. 8x + 3y = 24 × 8 A 64x + 24y = 192 6x + 8y = 40 × 3 A 18x + 24y = 120 46x = 72 ‹ x = 1 13 23 8x + 3y = 24 × 3 A 24x + 9y = 72 6x + 8y = 40 × 4 A 24x + 32y = 160 –23y = –88 ‹ y = 3 19 23 { Vitamin – – 6 2 , 0 3 53 Program Linear Berarti, koordinat titik B adalah B 1 3 13 23 19 23 , . Titik C adalah perpotongan garis 6x + 8y = 40 dan x + 4y = 12. Koordinat titik C dapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut. 6x + 8y = 40 × 1 A 6x + 8y = 40 x + 4y = 12 × 2 A 2x + 8y = 24 –––––––––– – 4x = 16 ‹ x = 4 6x + 8y = 40 × 1 A 6x + 8y = 40 x + 4y = 12 × 6 A 6x + 24y = 72 –––––––––––– – –16y = –32 ‹ y = 2 Berarti, koordinat titik C adalah C4, 2. Dari Gambar 2.11, nilai minimum dari fungsi objektif z = 1.000x + 1.500y dicapai pada titik C4, 2 sehingga nilai minimum dari z = 1.000x + 1.500y = 1.0004 + 1.5002 = 4.000 + 3.000 = 7.000. Jadi, banyaknya uang minimum yang harus disediakan oleh pasien tersebut adalah Rp7.000,00 setiap hari dengan mengonsumsi 4 kapsul jenis I dan 2 kapsul jenis II. Soal Terbuka Kerjakan di buku tugas 1. Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 500x + 400y yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut. 2x + 3y 2.500 x + 7y 4.000 x 0, y 0 2. Sebuah pabrik roti ingin membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan B. Pada pembuatan 1 paket roti A diperlukan 50 kg mentega dan 60 kg tepung. Pembuatan 1 paket roti B diperlukan 1 kuintal mentega dan 20 kg tepung. Mentega dan tepung yang tersedia masing-masing adalah 3,5 ton dan 2,2 ton. Jika harga roti A dan B per paketnya masing-masing adalah Rp2.750.000,00 dan Rp3.600.000,00, tentukan jumlah uang hasil penjualan kedua roti tersebut. Jika koordinat titik optimum tidak bulat, sedangkan titik optimum yang diminta berupa bilangan bulat, perlu diselidiki titik-titik bulat di sekitar titik optimum yang termasuk dalam daerah penyelesaian. Dalam setiap pe- ngerjaan masalah optimasi, mengapa selalu digunakan titik-titik sudut untuk menentukan nilai optimasinya mak- simum atau mini- mumnya? Jelaskan menurut pendapat kalian. Diskusi Mengomunikasikan Gagasan