Deret Bilangan Asli Deret Khusus dan Deret Geometri Tak Berhingga
153
Barisan dan Deret
Apabila suku-suku barisan yang konvergen dijumlahkan, diperoleh deret yang konvergen. Pada deret konvergen, jumlah
suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi terus-menerus mendekati harga tersebut. Harga tertentu ini
disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan
S
. Harga
S
merupakan harga pendekatan limit jumlah semua suku S
n
, untuk n mendekati tak berhingga. Dengan memperhatikan kenyataan bahwa untuk –1 r 1
jika dipangkatkan bilangan yang sangat besar maka hasilnya mendekati 0.
Misalnya 10
1 10
1 ,
2 1
2 1
000 .
1 000
. 1
100 100
A =
´ ¦
¥ ²
¤ £
A =
´ ¦
¥ ²
¤ £
, dan sete- rusnya.
Oleh karena itu,
S
=
n n
S
A
lim
..................... dibaca: limit S
n
untuk n mendekati tak berhingga
= r
r a
n n
1 1
lim
A
...... karena deret konvergen maka |r| 1
= r
ar a
n n
A
1 lim
=
r a
1
..................... karena
lim =
A n
n
r a
Dengan demikian, rumus jumlah tak berhingga suku dari deret geometri yang konvergen adalah
S
=
r a
1
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Deret geometri tak
hingga x – 1, x – 1
2
, x – 1
3
, ... konvergen untuk
a. –1 x 1 b. 0 x 2
c. x 2 d. x 2
e. semua x
Soal SKALU, 1978
Contoh:
1. Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.
a. 1 +
... 8
1 4
1 2
1 +
+ +
b.
... 4
1 2
1 1
2
10
+ +
+ +
Penyelesaian:
a. 1 +
... 8
1 4
1 2
1 +
+ +
154
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r =
2 1
sehingga
S
= a
r 1
1 1
1
1 2
= =
1 2
= 2. b.
... 4
1 2
1 1
2
10
+ +
+ +
Perhatikan deret 2 + 1 +
2 1
+
4 1
+ .... Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r =
1 2
. Dengan demikian,
S
=
2 1
2
1 2
= =
1 2
4
. Jadi,
... 4
1 2
1 1
2
10
+ +
+ +
= 10
4
=10.000. 2.
Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah U
n
=
n
2 3
. Tentukan: a.
suku pertama; b.
rasio; c.
jumlah tak berhingga suku.
Penyelesaian:
a. Suku pertama adalah U
1
=
2 3
2 3
1
=
. b.
Suku ke-2 adalah U
2
=
4 3
sehingga r =
U U
2 1
3 4
3 2
1 2
= =
. c.
Jumlah tak berhingga suku adalah
S
= a
r 1
1 3
3 2
1 2
= =
.
Problem Solving
Tentukan nilai x agar deret 1 + x – 1 + x – 1
2
+ ... konvergen.
Penyelesaian:
Rasio deret tersebut adalah r = x – 1. Syarat deret konvergen adalah |r| 1 sehingga |r| 1
1 x
1
–1 x –1 1
0 x 2 Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai x terletak pada interval 0 x 2.