84
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Contoh:
Diketahui A = 2 3, B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
, C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
6 4
1 , dan D =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
5 7
2 1
3 . Tentukan hasil perkalian
matriks berikut. a.
A
×
B b.
C
×
D c.
D
×
C
Penyelesaian:
a. A
×
B = 2 3
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
= 2
×
–2 + 3
×
5 = 11
b. C
×
D = 1
4 6
3 3
1 2
7 5
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
tidak dapat dikalikan karena banyak kolom matriks C tidak sama dengan banyak baris matriks D.
c. D
×
C = 3
1 2
7 5
1 4
6 3
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´
= 3
2 7
× +
× ×
+ ×
× +
× ×
+ ×
× +
× ×
+ ×
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
1 1 6 3 4 1 3 1 0
6 2 4 0 3
1 5 6 7 4 5 3
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
43 37
8 2
15 9
b. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari
Kanan Pada uraian sebelumnya, kita pelajari bahwa dua
matriks A dan B dapat dikalikan jika banyak kolom matriks A
sama dengan banyak baris matriks B. Selanjutnya, jika terdapat perkalian dua matriks A
×
B, dapat dikatakan a.
matriks B dikalikan dari kiri pada matriks A; b.
matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
3 4
2 dan B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 3
1 .
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a.
Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B. b.
Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.
85
Matriks
c. Perkalian dengan Matriks Satuan dan Sifatnya
Pada pembahasan sebelumnya, dijelaskan bahwa matriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengan setiap
elemen diagonal utamanya 1. Jika suatu matriks dikalikan dari kiri atau dari kanan dengan matriks satuan, hasilnya
adalah matriks itu sendiri. Oleh karena itu, perkalian suatu matriks A dengan matriks satuan memiliki sifat
IA = AI = A Dengan demikian, matriks satuan disebut juga matriks
identitas.
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 . Tentukan AI dan IA. Bagaimana hasil perkalian itu?
Penyelesaian:
AI =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 1
1 3
2 2
1
IA =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 3
2 2
1 1
1 Dengan memerhatikan hasil perkalian di atas, tampak bahwa AI = IA = A. Coba kalian
selidiki, bagaimana jika A bukan matriks persegi? Apakah AI = IA = A? Mengapa?
Penyelesaian:
a. Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B, berarti
B
×
A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
14 4
2 1
3 4
2 2
3 1
b. Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B, berarti
A
×
B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 8
14 2
3 1
1 3
4 2
Dari contoh tersebut, tampak bahwa AB BA. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan
bahwa perkalian matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
Jika A
=
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 1
dan
I =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 1
maka
A
2
– 6A + 3I = .... a.
–8A d. 4A
b. –10A
e. 10A c.
2A
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2006
d. Perpangkatan Matriks Persegi
Seperti halnya pada bilangan real, perpangkatan matriks persegi A didefinisikan sebagai berikut.
86
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Dari pengertian di atas, jika A suatu matriks persegi berordo m, A
2
= A
×
A, A
3
= A
×
A
×
A = A
2
×
A, dan seterusnya.
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 . Tentukan
a. A
2
; b.
2A
2
– 3A.
Penyelesaian:
a. A
2
= A
×
A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 8
8 3
3 2
2 1
3 2
2 1
b. 2A
2
– 3A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 2
1 3
5 8
8 3
2
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
9 6
6 3
10 16
16 6
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
10 10
9 Sekarang, coba kalian selidiki, apakah A
2
×
A = A
×
A
2
= A
3
? Selidiki pula, apakah A
3
×
A = A
×
A
3
= A
2
×
A
2
= A
4
?
Contoh:
Misalkan diberikan matriks A berordo m ×
n, dengan m n dan
m , n bilangan asli.
Untuk A
k
, k bilangan asli, dapatkah ditentukan nilainya? Me- ngapa?
Berpikir Kritis
Diskusi
6. Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, perhatikan contoh-contoh berikut.
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
4 3
1 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 2
2 1
, dan C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
1 1
2 .
a. Tentukan A
×
B, B
×
C, dan A
×
C. b.
Apakah A
×
B
×
C = A
×
B
×
C? c.
Apakah A
×
B + C = A
×
B + A
×
C?
