23
Integral
Gambar 1.7
Y
X y
= 4x – x
2
O 1
2 3
4
Penyelesaian:
a. Dengan menggambarkan grafik kurva dan
garis-garis batas yang diberikan terlebih dahulu pada bidang koordinat, diperoleh
gambar di samping. Daerah yang diarsir adalah daerah yang dimaksud.
b. Luasnya dapat ditentukan dengan meng-
integralkan y = 4x – x
2
dengan batas-batas integralnya mulai dari x = 1 sampai x = 3.
L =
3 1
2
4 dx
x x
=
3 1
3 2
] 3
1 2
[ x
x =
µ
³
µ
³
3 2
3 2
1 3
1 1
2 3
3 1
3 2
= 18 – 9 – 2 –
3 1
= 7 1
3 satuan luas
Y
X O
1 2
3 4
5 3, 4
Y
X O
1 2
3 4
5 6
Y
X O
1 2
3 4
5 6
6, 3 0, 3
Y
X O
-1 2
3 -2
1 1
Gambar 1.8
Contoh:
Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = 4x – x
2
, x = 1, x = 3, dan sumbu X. a.
Lukislah kurva tersebut dan arsir daerah yang dimaksud. b.
Hitunglah luas daerah itu.
Uji Kompetensi 6
Kerjakan di buku tugas
1. Lukislah sketsa grafiknya, kemudian arsir daerah yang disajikan oleh kurva dengan
notasi integral berikut.
a.
3
2 dx x
c. +
4 1
2 dx
x e.
3 2
4 dx
b. +
1 1
2
4 dx
x d.
1 4
2
dx x
f.
1 2
2
9 dx
x 2.
Tulislah notasi integral yang menyatakan luas daerah yang ditunjukkan oleh bagian yang diarsir di bawah ini.
a
b d
c
24
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
X Y
O y
= fx a
b c
3. Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal nomor 2.
4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini.
a. y
= 6 – 3x, sumbu X, garis x = –3, dan garis x = 1 b.
y = 8 – 2x, sumbu X, garis x = –4, dan garis x = –1
c. y
= x
2
, sumbu X, dan garis x = 3 d.
y = x
2
+ 2, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 4 e.
y = x
2
– 4x + 3, sumbu X, garis x = 4, dan garis x = 5 5.
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dengan kurva-kurva berikut. a.
y = –3x – x
2
d. y
= 2 + x – x
2
b. y
= 6 – 3x
2
e. y
= –x
2
+ 6x – 8 c.
y = 2 – x
2
f. y
= 1 – xx – 3
2. Luas Daerah Gabungan: Di Atas dan di Bawah Sumbu X
Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f
x, sumbu X, garis x = a, dan x = b seperti pada Gambar 1.9
dilakukan dengan analisis sebagai berikut. Untuk c x
b nilai fx 0 sehingga
-
= b
c x
x f
× x 6
0. Hal ini berarti
b c
dx x
f .
Pada interval a x c, f
x bernilai negatif atau fx 0 sehingga
6 ×
-
=
x x
f
c a
x
.
Hal itu berarti dx
x f
c a
. Adapun pada titik c, fx bernilai nol atau fc = 0.
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = fx, sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, seperti
pada Gambar 1.10 adalah sebagai berikut.
Gambar 1.9
Gambar 1.10
a c
x 6
x 6
b f
x f
x y
= fx Y
X O
Luas = Luas daerah di bawah sumbu X + Luas daerah di atas sumbu X
Kita telah mengetahui bahwa
c a
dx x
f bernilai negatif,
sedangkan luas suatu daerah tidak mungkin bernilai negatif. Untuk itu,
c a
dx x
f perlu diubah tandanya sehingga nilainya
menjadi positif. Hal itu dilakukan dengan cara membalik batas integralnya atau membubuhkan tanda negatif dari bentuk inte-
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Luas daerah yang
dibatasi oleh kurva y = 3x
2
– 2, garis x = 2, garis x = 4, dan sumbu
X adalah .... a. 60 satuan luas
b. 52 satuan luas c. 44 satuan luas
d. 6 satuan luas e. 2 satuan luas
Soal UN SMK, 2004
25
Integral
gral semula sehingga diperoleh
a c
dx x
f atau –
c a
dx x
f .
Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud adalah L
= +
c a
b c
dx x
f dx
x f
atau L = +
a c
b c
dx x
f dx
x f
Contoh: Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar 1.11 de-
ngan menggunakan integral.
Penyelesaian:
Karena L
2
terletak di bawah sumbu X bernilai negatif, L
2
diberi tanda negatif agar menjadi positif. Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut.
Luas = L
1
+ –L
2
= L
1
– L
2
L =
+
1 2
4 5
dx x
x –
+
4 1
2
4 5
dx x
x
Y
X O
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5
-1 -2
-3 y
= x
2
– 5x + 4
L
2
L
1
Gambar 1.11
= +
+ +
1 1
4 2
2
4 5
4 5
dx x
x dx
x x
=
1 4
2 3
1 2
3
4 2
5 3
1 4
2 5
3 1
µ
³
+ +
µ
³
+ x
x x
x x
x
= 1
3 1
5 2
1 4 1
3 2
+
³
µ
[ ]
µ
³
+ µ
³
+
+ 4
4 4
2 5
4 3
1 1
4 1
2 5
1 3
1
3 2
3
= µ
³
+
µ
³
+ +
µ
³
+ 16
2 80
3 64
4 2
5 3
1 4
2 5
3 1
=
11 6
11 6
16 6
38 6
6 1
3 +
£ ¤
¥ ¦
= =
Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 6
1 3
satuan luas.
Misalkan diberikan suatu fungsi f, pada interval a x
c maka fx dan pada interval c x
d maka fx 0. Apa yang terjadi jika kalian menggunakan rumus
f x dx
a d
untuk mencari luas antara kurva dan sumbu X? Mengapa demikian? Langkah apa yang kalian ambil?
Berpikir Kritis
Diskusi
