19
Integral
E. Integral Parsial Pengayaan
Jika kita menjumpai soal
u dv ,
dengan u dan v adalah fungsi- fungsi dalam variabel x yang sulit dikerjakan, sedangkan
u dv
lebih mudah dikerjakan maka kita perlu mendapatkan hubungan kedua
integral tersebut untuk memperoleh penyelesaian
u dv .
Misalnya, y = uv
, dengan u = ux dan v = vx adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel dapat didiferensialkan maka y = uv + uv. Dalam
notasi Leibniz, hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.
dx dv
u v
dx du
dx dy
+ =
dx
dv u
v dx
du dx
uv d
+ =
d uv = v du + u dv
Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh +
= dv
u du
v uv
d
uv =
+ dv
u du
v Dari persamaan terakhir, diperoleh hubungan
dv u
dan
du v
, yaitu
dv u
= uv –
du v
Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi dan bagian lain fungsi
yang mengandung dx adalah dv. Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial. Strategi
penggunaan integral parsial adalah sebagai berikut. a.
Memilih dv yang dapat segera diintegralkan. b.
Memilih
du v
yang lebih mudah dikerjakan daripada u dv
.
Tentukan
x x dx
4
.
Penyelesaian: Pilihan 1:
Misalkan dipilih u = x
4 dan dv = x dx.
Dengan demikian, du = 1
2 x 4
dx dan v =
. 2
1
2
x
x x
x x
x x
4 =
1 2
4 1
4 1
4
2
dx dx
2
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
15 2
2 3
x x
dx = .... a. 18
d. 24 b. 20
e. 26 c. 22
Soal SPMB, 2006
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas x
x dx 1
3
+ = ....
a.
108 15
d.
116 15
b.
128 15
e.
106 15
c.
96 15
Soal Tes STT TEL- KOM, 1992
Contoh:
20
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Bentuk ini sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian tidak digunakan. Pilihan 2:
Misalkan dipilih u = x x
4 dan dv = dx.
du =
x x
dx 4
4 2 x
dan v = x. x x
x x
x x
x x
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 = 4
4 2
4 dx
dx
2
Bentuk ini juga sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian juga tidak digunakan.
Pilihan 3: Misalkan u = x. Dengan demikian, du = dx
dv =
x 4
dx sehingga
dv x
dx 4
= dv
=
x 4
dx – 4
v =
4 4
2 1
x d
x
2 3
4 3
2 =
x
v Ternyata pemisalan u dan dv seperti ini memudahkan bentuk integral tersebut sehingga
dapat kita gunakan.
x x dx
4
=
2 3
4 3
2 x
x –
dx x
4 3
2
2 3
=
2 3
4 3
2 x
x –
4 4
3 2
2 3
x d
x =
c x
x x
4 15
4 4
3 2
2 5
2 3
+
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Tentukan integral-integral berikut. 1.
+ dx
x x
3
5
4. 6
2 3
x dx x
2. +
dx x
x 4
2 8
3
5. +
2 3
1 2
x dx
x
3.
x x dx
2
6. 3
2
2
x x
dx 4
3
x
21
Integral
Coba kerjakan soal berikut secara berurutan dengan menggunakan integral parsial.
1. x x dx
3. x
x dx
3
2. x
x dx
2
4. x
x dx
4
Dari keempat soal di atas, pemilihan fungsi u manakah yang kalian anggap sulit? Mengapa kalian menilai demikian? Jelaskan.
7.
x x
dx
2
2
9.
x x
dx
3
4 +
8.
x x
dx
3
1
10. 8
1
4
3 2
x dx x
+
F. Penggunaan Integral
Di antara penggunaan integral adalah untuk menentukan luas suatu daerah.
Gambar 1.3
Gambar 1.4
-2 2
O 4
Y
X f
x = x
2
-2 2
O 4
Y
X f
x = x
2
Inkuiri
Diskusi
Sebelum membahas lebih lanjut tentang penggunaan inte- gral untuk menentukan luas suatu daerah, ada baiknya kalian
mempelajari bagaimana cara menggambarkan luasan suatu daerah terlebih dahulu.
Cara-cara menggambar grafik telah kalian pelajari di ke- las X, terutama grafik fungsi kuadrat. Misalkan kalian akan
menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi fx = x
2
dan sumbu X pada interval –2 x
2. Pertama, kamu harus menggambar kurva grafik fungsi fx = x
2
, –2 x
2 pada
bidang Cartesius seperti Gambar 1.3.
Tarik garis batas pada interval terkecil atau terbesar sejajar sumbu Y hingga memotong kurva fx = x
2
. Kemudian, arsir daerah yang berada di antara kurva dan sumbu X pada interval
yang diberikan sehingga diperoleh Gambar 1.4.
Bagaimana jika daerah yang dimaksud dibatasi oleh dua kurva? Cara menggambarkannya pada prinsipnya sama seperti
cara-cara di atas. Namun, hal yang sangat penting diperhatikan adalah titik perpotongan kedua kurva. Kalian harus menentukan
titik potong kedua kurva itu. Di samping itu, kalian juga harus memahami pada interval mana fungsi yang satu memiliki nilai
lebih besar daripada fungsi lainnya. Hal ini penting untuk me- nentukan luas daerah tersebut.
Kategori