8
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
1. Tentukan hasil integral berikut ini.
a.
dx x
3
c. dx
x 4
3
e. dx
x 5
2
b. dx
x 9
2
d. dx
x 10
6
f. dx
x 2
3
2 1
2. Tentukan hasil integral berikut ini.
a. dx
x x
1 2
2 d.
dx x
x x
x x
3 2
2 2
2
b. dx
x x
x 4
2 2
e.
x x dx
2
c. dx
x x
x
2 3
2
f. x
x dx
2 2
6 +
3. Tentukan fungsi primitifnya.
a. +
dx x
n
n
1 , untuk n
–1 c.
x dx
n 3
, untuk n –
2 3
b. dx
x n
n
2 , untuk n
1 d.
x
n 3 2
dx , untuk n
5 2
4. Misalkan diketahui fungsi fx = 2x dan gx = x
2
. Jika g° f x ada, tentukan .
dx x
f g
o Ingat kembali materi komposisi fungsi yang telah kalian pelajari
di kelas XI 5.
Diketahui fungsi f ° gx = 32x – 1
2
+ 1 dan gx = 2x – 1. Tentukan .
dx x
f
Info Math: Informasi Lebih Lanjut
G.W. Von Leibniz 1646–1716
Gottfried Wilhelm Von Leibniz 1646–
1716 adalah seorang jenius serba bisa yang mampu meraih beraneka gelar kehormatan
dalam berbagai bidang, seperti bidang hukum, keagamaan, kenegaraan, kesastraan, logika,
metafisika, dan filsafat spekulatif. Dia menerbit- kan kalkulus menurut versinya pada tahun 1684
M. Bersama dengan Isaac Newton, keduanya disebut sebagai tokoh kalkulus.
Leibniz menciptakan lambang-lambang matematika baku tentang integral dan diferensial
seperti yang kita pakai sekarang, yaitu lambang ”
” untuk integral dan dy
dx untuk diferensial.
Sumber: www.myscienceblog.com
Isaac Newton 1642–1727
Sumber: www.cygo.com
Uji Kompetensi 1
Kerjakan di buku tugas
9
Integral
4. Menentukan Persamaan Kurva
Kalian tentu telah mengetahui bahwa interpretasi geometri dari fungsi turunan adalah gradien garis singgung pada kurva
tersebut. Misalkan diketahui fungsi turunan sebuah kurva y = f
x, yaitu
dx dy
= fx, untuk setiap titik x, y dan sebuah titik pada kurva itu. Jika fungsi turunan itu diintegralkan, akan
diperoleh y = fx = v
f = + .
x dx h x
c Persamaan ini merupakan persamaan keluarga kurva yang
mempunyai turunan dy
dx =
. v
f x Keluarga kurva adalah semua
kurva dengan persamaan yang dapat diperoleh dengan cara memberikan nilai tertentu pada konstanta persamaan itu. Dengan
menyubstitusikan satu titik yang diketahui ke persamaan keluarga kurva maka akan diperoleh nilai c sehingga persamaan kurva
yang dimaksud dapat ditentukan.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Ditentukan
dy dx
= 3x
2
– 10x + 2 dan kurva
melalui titik 1, 3 maka persamaan kurva
adalah .... a. y = x
3
– 5x – 2x – 5 b. y = x
3
– 5x
2
+ 2x – 5 c. y = x
3
– 5x
2
– 2x – 5 d. y = x
3
– 5x
2
+ 2x + 5 e. y = x
3
– 5x
2
+ 2x + 5
Soal Ebtanas SMA, 1993
Contoh:
Suatu kurva melalui titik 2, 1. Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi hubungan
dx dy
= 2 1
2
x x
, tentukan persamaan kurva tersebut.
Penyelesaian:
dx dy
= 2 1
2
x x
y =
dx x
x 1
2
2
= dx
x x
2 2
2
= c
x x
2
2
+ +
Dengan demikian, persamaan keluarga kurva tersebut adalah y = c
x x
2
2
+ +
. Karena kurva yang dimaksud melalui titik 2, 1, kita tentukan nilai c terlebih dahulu dengan
cara menyubstitusikan titik tersebut ke persamaan keluarga kurva itu. y
= x
2
+
x 2
+ c
1 = c
+ +
2 2
2
2
c
= –4 Jadi, persamaan kurvanya adalah y = x
2
+
x 2
– 4.
10
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
1. Tentukan Fx jika diketahui sebagai berikut.
a. F
x = 3x
2
dan F2 = –3 b.
F x = x
2
– 3 dan F–3 = 10 c.
F x = 6x
2
– 8x dan F3 = 6 d.
F x = 2x + 6x
2
dan F–1 = 8 e.
F x =
5 4
2
x
dan F2 = 11 f.
F x = m – 3x
2
, F–1 = –6, dan F2 = 3 2.
Tentukan persamaan kurva yang memiliki gradien berikut. a.
dx dy
= 10x + 3 dan melalui titik –1, 3 b.
dx dy
= 3x
2
– 4x dan melalui titik 3, 6 c.
dx dy
= –
2
1 x
dan melalui titik 1, 4
Problem Solving
Fungsi biaya marjinal dalam ratusan ribu rupiah untuk memproduksi satu unit barang per minggu adalah
M dC
dQ Q
C
= =
+ 4
10 5
. Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per minggu.
Penyelesaian: Biaya total dapat dicari dengan mengintegralkan biaya marjinalnya.
C Q =
4 10
5 Q
+ £
¤ ¥
¦
dQ =
1 5
4 10
Q dQ
+ =
1 5
2 10
2
Q k
+ +
= 2
5 2
2
Q Q
k +
+ Dari soal diketahui, C1 = 3.
3 = 2
5 1
2 1
2
+ + k
k =
3 5
Oleh karena itu, rumus fungsi biaya total per minggu adalah CQ = 2
5 Q
2
+ 2Q + 3
5 .
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
