80
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo m
×
n, sedangkan k
1
dan k
2
adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut. a.
k
1
A + B = k
1
A + k
1
B b.
k
1
+ k
2
A = k
1
A + k
2
A c.
k
1
k
2
A = k
1
k
2
A Jika A matriks persegi maka berlaku
d. I
×
A = A
×
I = A e.
–IA = –A Matriks identitas I merupakan matriks persegi.
Bukti: Pembuktian sifat-sifat di atas sangat mudah. Untuk itu, di sini
akan dibuktikan sifat a saja. Selebihnya dapat kalian kerjakan sebagai bahan latihan.
Misalkan k
1
skalar,
A a
a a
a a
a a
a a
B b
b b
b b
b b
b b
n n
m m
mn n
n m
m mn
= £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ =
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´
11 12
1 21
22 2
1 2
11 12
1 21
22 2
1 2
K K
M M
K M
K K
K M
M K
M K
, dan
k
1
A + B = k
1
a a
a a
a a
a a
a b
b b
b b
b b
b b
n n
m m
mn n
n m
m mn
11 12
1 21
22 2
1 2
11 12
1 21
22 2
1 2
K K
M M
K M
K K
K M
M K
M K
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ +
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´
³
³ ³
³ ³
µ
µ µ
µ µ
= k
1
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
n n
n n
m m
m m
mn mn
11 11
12 12
1 1
21 21
22 22
2 2
1 1
2 2
+ +
+ +
+ +
+ +
+ £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ L
L M
M M
L
= k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b
n n
n n
m m
m m
mn mn
1 11
11 1
12 12
1 1
1 1
21 21
1 22
22 1
2 2
1 1
1 1
2 2
1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ L
L M
M M
L
= k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b
n n
n n
m m
m m
mn mn
1 11 1 11
1 12 1 12
1 1 1 1
1 21 1 21
1 22 1 22
1 2 1 2
1 1
1 1
1 2
1 2
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ L
L M
M M
L
81
Matriks
=
k a k a
k a k a
k a k a
k a k a
k a k b
k b k b
k b k b
k b k b
k b k b
n n
m m
mn n
n m
m mn
1 11 1 12
1 1 1 21
1 22 1 2
1 1
1 2
1 1 11
1 12 1 1
1 21 1 22
1 2 1
1 1
2 1
K K
M M
K M
K K
K M
M K
M K
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ +
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´´
´
= k
a a
a a
a a
a a
a k
b b
b b
b b
b b
b
n n
m m
mn n
n m
m mn
1 11
12 1
21 22
2 1
2 1
11 12
1 21
22 2
1 2
K K
M M
K M
K K
K M
M K
M K
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ +
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ = k
1
A + k
1
B .................................................... terbukti
Uji Kompetensi 4
Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 2
1 3
3 2
. Tentukan hasil perkalian skalar berikut. a.
3P c.
–2P
t
b. –2P
d. 5P
t
2. Jika Q =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
10 8
6 4
, tentukan hasil perkalian skalar berikut. a.
4Q c.
1 2
Q + Q
t
b. –
1 2
Q
t
d.
2 1
5Q + Q
t
3. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.
a. 4X =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
4 12
16 8
c. 1
3 3
6 9
12 15
3 X
= £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´
b.
1 2
2 4
2 10
8 6
£ ¤
² ¥
¦ ´
= X d.
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 3
1 5
2 = X
4. Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.
a. 2A
t
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
4 6
8 10
4 2
c.
1 2
4 6
2 2
10 8
£ ¤
² ¥
¦ ´
= A
t
b. 3A
t
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 9
12 3
6 3
6 d.
1 3
3 3
6 6
9 3
£ ¤
² ¥
¦ ´
= A
t
82
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
5. Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi persamaan berikut.
a.
5 2
3 5
5 a
b c
d £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´
c.
1 2
1 3 2
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
d a
b c
c
b.
1 2
1 1
b a
c d
a d
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
d.
2 16
a b
c d
c a
b £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´
5. Perkalian Antarmatriks
Suatu ketika Rini dan Nita membeli alat tulis di koperasi sekolah. Rini membeli 3 buku tulis dan sebatang pensil,
sedangkan Nita membeli 2 buku tulis dan 2 pensil. Harga sebuah buku tulis adalah Rp1.000,00 dan harga satu pensil Rp500,00.
Berapakah jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita?
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat langsung mengalikan jumlah barang yang dibeli dengan harga
satuan. Jumlah uang yang harus dibayar Rini adalah 3
×
1.000 + 1
×
500 = 3.500, sedangkan jumlah uang yang harus dibayar Nita adalah
2
×
1.000 + 2
×
500 = 3.000. Di samping itu, persoalan di atas dapat disajikan dalam bentuk
tabel seperti terlihat berikut ini.
Tabel 3.5 Pembelian Barang
Buku Tulis Pensil
Rini 3
1 Nita
2 2
Tabel 3.6 Daftar Harga Barang
Nama Barang Harga Satuan
Buku tulis 1.000
Pensil 500
Jika keperluan Rini kita tulis dalam bentuk matriks baris dan harga satuan barang dalam bentuk matriks kolom, jumlah
uang yang harus dibayar Rini dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks berikut.
3
×
1.000 + 1
×
500 = 3 1 ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 500
000 .
1 = 3.500
Dengan cara yang sama, jumlah uang yang harus dibayar Nita dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks.
2
×
1.000 + 2
×
500 = 2 2 ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 500
000 .
1 = 3.000
Hasil perhitungan di atas diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks berordo 1
×
2 dengan matriks berordo 2
×
1 yang hasilnya adalah matriks baru berordo 1
×
1. Untuk mudah dalam mengingatnya, perhatikan bagan berikut.