17
Integral
D. Pengintegralan dengan Substitusi
Beberapa bentuk integral yang rumit dapat dikerjakan secara sederhana dengan melakukan substitusi tertentu ke dalam fungsi yang
diintegralkan tersebut. Di antara bentuk integral yang dapat dikerjakan dengan substitusi adalah bentuk
x f
d x
f
n
. Coba perhatikan bentuk
dx x
n
. Bentuk ini telah kalian pelajari sebelumnya. Bagaimana jika variabelnya diganti dengan fungsi,
misalnya fx? Bentuk ini akan menjadi x
f d
x f
n
. Untuk menyelesaikan suatu integral yang dapat disederhanakan
menjadi bentuk f x
d f x
n
, dapat dilakukan substitusi u = fx.
Dengan substitusi u = fx, diperoleh bentuk integral berikut. x
f d
x f
n
=
+
+ =
1
1 1
n n
u n
du u
+ c dengan u = fx dan n
–1. Perhatikan kembali bentuk
x f
d x
f
n
. Misalkan diambil gx = x
n
maka x
f d
x f
n
= x
f d
x f
g . Secara umum,
bentuk x
f d
x f
n
dapat ditulis sebagai x
f d
x f
g .
Jika diambil substitusi u = fx, diperoleh bentuk integral x
f d
x f
g =
du u
g .
Agar kalian dapat memahami pengintegralan bentuk ini, per- hatikan dengan saksama contoh-contoh berikut.
c. +
1 3
2
1 dx
x x
+ +
a
dx x
x
1 3
2
1 =
3 40
d.
a
dt t
t
1 3
+
2 3
a
dt t
t =
4 9
4. Jika x = 1 – 3y, tentukan nilai-nilai integral berikut.
a.
3
dy x
c.
1 1
dx y
b. +
1 2
dy x
x d.
1 2
dx y
y
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika
1 2
3 10
2 3
x dx
a
= ;
a 0 2
3 x
dx
b
= 4 ; b 0 maka nilai a + b
2
= .... a. 10
d. 25 b. 15
e. 30 c. 20
Soal UMPTN, 1993
Kreativitas
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Diberikan fungsi fx = x
2
– 5x + 6 dan gx = x
3
– 1. Buktikan bahwa
0fx gx dx = fx
0 gx dx – 0[fx 0gx dx] dx
18
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Carilah hasil integral +
dx x
x x
12 7
7 2
6 2
.
Penyelesaian:
+ dx
x x
x 12
7 7
2
6 2
= +
dx x
x x
7 2
12 7
6 2
Misalkan u = x
2
– 7x + 12.
dx du
= 2x – 7
du =
dx du
dx
du = 2x – 7 dx
Sebenarnya lambang
dx du
adalah suatu kesatuan dan tidak sama dengan du : dx. Namun, untuk mempermudah perhitungan,
dx du
= 2x – 7 biasanya langsung ditulis du = 2x – 7 dx
. Oleh karena itu,
7 12 2
7
2 6
x x
x dx
+
=
u du
6
=
7 1
u
7
+ c =
7 1
x
2
– 7x + 12
7
+ c Dengan cara langsung, diperoleh
+ dx
x x
x 7
2 12
7
6 2
= +
+ 12
7 12
7
2 6
2
x x
d x
x =
7 1
x
2
– 7x + 12
7
+ c
Carilah hasil integral berikut. 1.
dx x
6
3 2
3 6.
+ 5
2 6
4
3 4
2 3
x x
dx x
x
2. 3
2 3
dx x
+ 7.
2 2
2 1
2
x dx
x x
+ +
+ 3.
dx x
6
4 1
4 8.
1
3 dx
x
4.
3 6
2 3
dx x
9.
2 2
3 dx
x 6.
5.
6 3
3 4
x x
x x
x 5
2 5
2
2
+ +
dx
10. 4
8 4
5
2 1
2
x x
x dx
+
Contoh:
Uji Kompetensi 4
Kerjakan di buku tugas
Kategori