13
Integral
• interval [a, b] , Lb =
f x dx
a b
; •
interval [a, p], Lp = dx
x f
p a
;
• interval [a, p + h], Lp + h =
dx x
f
h p
a +
; •
interval [a, a], La = dx
x f
a a
= 0.
Y
X O
a b
R S
y = fx
Gambar 1.2
b
Luas KLMN Luas KLMN Luas KLMN f
p
×
h Lp + h – Lp fp + h
×
h Jika setiap ruas dibagi h, diperoleh
f p
h p
L h
p L
+ fp + h.
Agar diperoleh pendekatan luas sesungguhnya, interval h dibuat sekecil-kecilnya atau
A h
sehingga lim
lim lim
h p
f h
p L
h p
L p
f
h h
h
+ +
A A
A
fp
Lp fp Jadi, Lp = fp.
Karena p pada interval [a, b], untuk p = x diperoleh Lx = fx. Berarti, Lx =
x a
dx x
f .
Jika F adalah antiturunan dari f maka Lx = Fx + c. •
Untuk x = a maka La = Fa + c. Karena La = 0 maka 0 = Fa + c
c = –Fa.
• Untuk x = b maka Lb = Fb + c.
Karena c = –Fa maka Lb = Fb – Fa. Jadi, berdasarkan uraian di atas, luas daerah antara kurva y =
f
x, garis x = a, x = b, dan sumbu X lihat Gambar 1.2 b
dapat ditentukan dengan rumus berikut. L
=
b a
dx x
f =
b a
x F
] [
= Fb – Fa Pembahasan lebih lanjut mengenai luas daerah di bidang datar
yang dibatasi suatu kurva, sumbu X, dan dua garis sejajar sumbu Y akan kita perdalam pada subbab tentang penggunaan integral.
14
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
2. Pengertian Integral Tertentu
Integral tertentu adalah integral dengan batas-batas integrasi yang telah ditentukan. Pada pembahasan sebelumnya, kita telah
mempelajari bahwa integral dapat diartikan sebagai limit suatu jumlah, yaitu jika f suatu fungsi integrable dapat diintegralkan
pada interval [a, b] = {x | a x b, x D bilangan real} dan F
merupakan antiturunan dari f maka
b a
dx x
f =
b a
x F
] [
= Fb – Fa
Notasi
b a
dx x
f disebut notasi integral tertentu dari f karena
ditentukan pada batas-batas integrasi a dan b. Untuk batas-batas integrasi itu, a disebut batas bawah integrasi dan b disebut batas
atas integrasi.
Informasi Lebih Lanjut
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Coba kalian cari tahu tentang ”Teorema
Dasar Kalkulus”. Apa isi teorema tersebut?
Siapa tokoh yang berada di balik teo-
rema tersebut?
Contoh:
1. Tentukan nilai dari
dx x
x
4 1
3 4
.
Penyelesaian:
4 1
4 5
4 1
3 4
4 1
5 1
µ
³
= x
x dx
x x
= ´
¦ ¥
² ¤
£ ´
¦ ¥
² ¤
£
4 5
4 5
1 4
1 1
5 1
4 4
1 4
5 1
= 141
1 4
2. Tentukan nilai a yang memenuhi
=
a
dx x
1
6 1
2 .
Penyelesaian:
=
a a
x x
dx x
1 1
2
] [
1 2
6 = a
2
– a – 1 – 1
6 = a
2
– a – 0
a
2
– a – 6 = 0
a – 3a + 2 = 0
a – 3 = 0 atau a + 2 = 0
a = 3 atau a = –2
Jadi, nilai a yang dimaksud adalah a = –2 atau a = 3.
15
Integral
3. Sifat-Sifat Integral Tertentu
