76
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
2. Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Untuk mendapatkan sifat-sifat penjumlahan matriks, lakukan kegiatan berikut.
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tujuan: Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan
pengurangan matriks.
Permasalahan: Sifat apakah yang berlaku pada operasi penjumlahan dan
pengurangan matriks?
Langkah-Langkah:
Kerjakan persoalan-persoalan berikut. 1.
Diketahui matriks A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
3 2
1 , B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
7 6
5 4
, dan
C =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 5
1 3
. Selidiki hasil penjumlahan berikut ini, kemudian simpulkan.
a. A
+ B b.
B + A
c. A + B + C
d. A
+ B + C 2.
Diketahui O = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ dan P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
2 3
. Apakah O + P = P + O?
3. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 4
7 5
dan –A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
4 7
5 .
Tentukan a.
A + –A;
b. –A + A;
c. Apakah A + –A = – A + A?
Kesimpulan: Dari soal 1, 2, dan 3 kalian akan memperoleh sifat-sifat
penjumlahan dan pengurangan matriks.
Jika melakukan kegiatan di atas dengan benar, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.
77
Matriks
Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berordo sama, pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut:
a. komutatif sehingga A + B = B + A;
b. asosiatif sehingga A + B + C = A + B + C;
c. unsur identitasnya O sehingga A + O = O + A = A;
d. invers penjumlahan A adalah –A sehingga
A + –A = –A + A = O.
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
Sifat-sifat di atas dapat kalian buktikan dengan mudah. Coba kalian buktikan sifat-sifat di atas dengan mengambil
matriks A = a
ij
, B = b
ij
, C = c
ij
, dan O = o
ij
, untuk o
ij
= 0. Ingat matriks
A =
a a
a a
a a
a a
a
n n
m m
mn 11
12 1
21 22
2 1
2
L L
M M
L M
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ dapat ditulis A = a
ij
; i
= 1, 2, ..., m j
= 1, 2, ..., n Apakah pada pengurangan matriks berlaku sifat komutatif dan
sifat asosiatif? Adakah unsur identitasnya? Coba kalian selidiki dengan mengambil beberapa matriks yang dapat dijumlahkan atau
dikurangkan. Kemukakan hasilnya.
Uji Kompetensi 3
Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 3
1 2
, B = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
2 4
5 , dan C =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
6 2
2 3
. Tentukan hasil operasi berikut.
a. A
+ B d.
A – B + B – C b.
A + C – B
e. C
– B – A c.
A – B + C
f. – B – C – A + B
2. Diketahui P =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 4
3 2
, Q = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
3 4
4 , dan R =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
3 6
5 2
. Tentukan hasil operasi berikut.
a. P
+ Q
t
d. R – P – Q
t
b. R
t
– P + Q e.
P + R – Q + Q
t
c. P
t
+ Q
t
– R f.
P – P
t
+ R – R
t
3. Diketahui
U =
£ ¤
² ¥
¦ ´
4 2
3 1
7 5
dan V
= £
¤ ²
¥ ¦
´ 1
2 5
6 8
4 .
78
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Tentukan hasil operasi berikut. a. U + V
t
c. U – V
t
b. U
t
+ V
t
d. U
t
– V
t
4. Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.
a. ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 6
1 2
3 + A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 2
1 4
c.
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
1 4
3 6
– A =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
5 1
2
b. A + ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 2
1 4
2 5
4 2
1 3
5 d.
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 3
5 4
1 3
2 2
1 2
2 1
3 1
2 1
4 2
= A 5.
Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. a.
£ ¤
² ¥
¦ ´ +
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 3
4 2
3 5
2 y
x z
z y
b.
3 x
z y
z x
x z
£ ¤
² ¥
¦ ´ +
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 1
3 1
6. Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.
a. 6
3 6
1 7
7 1 1
5 2
b c
a a
c a
c b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
b. 3
4 2
3 2
7 6
2 5
1 £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
b a
c a
c c
b a
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan nilai x, y, z, dan u yang memenuhi persamaan
3 3
3 3
6 1 2
3 x
y z
u x
u y
x y
z u
z £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ + +
+ £
¤ ²
¥ ¦
´
.
2. Diketahui
A =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
4 5
7 2
1 3
3 5
1 4
6 dan
B =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
3 1
4 2
1 2
3 1
1 2
. Tentukan matriks X jika B – A
t
= X + B
t
.
3. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
Kita telah mengetahui bahwa penjumlahan bilangan real skalar secara berulang dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian.
Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan seterusnya. Hal tersebut
Kategori