Nilai eigen dan diagram fase tipe 1 dan 2 I

Pada Gambar 32, noktah merah yang memiliki label new equilibria adalah merupakan titik focus yang dimaksud. Ini dapat terjadi pada kedua tipe bahwa pada eksitasi saraf, nilai eigen akan berubah dari real titik saddle dan akan menghilang imaginer pada tipe biffurkasi Andronov-Hopf. Sedangkan untuk nilai I app dan V 3 pada kedua tipe diukar yaitu untuk tipe 1 dan 2 masing-masing 50 µA, 2 mV dan 55 µA, 12 mV dan nilai eigennya adalah. UY . Y V = 80.3120 0.05529 U Y . Y V = 8−0.0561 −0.11429 Maka jenis titik kedua tipe sekarang adalah nodeyang memiliki perbedaan kestabilan.Pada tipe 1 adalah tidak stabil sedangkan tipe 2 stabil. Tabel 1.Hubungan nilai V 3 dan I app dengan bifurkasi. Dapat disimpulkan bahwa saat nilai V 3 pada kedua tipe bernilai 18 mV, maka sistem tidak stabil dengan tipe bifurkasi saddle-node. Saat nilai mulai turun V 3 mulai turun dan memasuki negatif V 3 =-3 mV maka sistem mulai stabil suku real nyata bilangan kompleks eigen yang negatif dan perlahan-lahan memasuki keadaan istirahat dengan tipe bifurkasi Andronov- Hopf. Secara menyeluruh, hubungan antara nilai parameter V 3 dan I app dapat dilihat pada tabel 1.

4.2.3 Nilai eigen dan diagram fase tipe 1 dan 2 I

app bergantung waktu Analisis sistem dinamik pada penjelasan sebelumnya menggunakan parameter I app dengan nilai yang tetap terhadap waktu. Sehingga dalam menentukan tipe bifurkasi nya agak sulit terutama dalam hal perubahan karakteristik dinamiknya. Dalam sub bab ini akan di bahas perubahan karaktersitik sistem dinamik ditinjau dari adanya perubahan nilai arus terapan terhadap waktu, apakah ada perubahan tipe bifurkasi dari keadaan istirahat ke keadaan eksitasi atau sebaliknya.nilai arus terapan bergantung waktu pada penelitian ini dibagi menjadi dua tipe berdasarkan jenis arus terapannya yaitu arus terapan DC dan AC. Pertama akan dibahas karakteristik sistem dinamik arus DC bergantung waktu, selanjutnya AC Arus terapan DC bergantung waktu Berdasarkan persamaan 36 fungsi arus It dimodelkan dengan suatu fungsi linier dengan nilai parameter α sebagai gradien laju arus terhadap waktu. Pada tipe 1 dan 2, dengan nilai α positif didapatkan bentuk propagasi seperti pada Gambar 33. Jika diperhatikan, ada tiga daerah utama pada bentuk propagasi tersebut yaitu A daerah pada keadaan arus mulai naik menuju keadaan eksitasi dan mulai melakukan spiking, B daerah saat saraf melakukan periodic spiking, dan C daerah berarus tinggi pada keadaan saraf tidak melakukan spiking. Karakteristik dari ketiga daerah ini berbeda dikarenakan memiliki karakteristik bifurkasi yang berbeda. Gambar 33. Tiga daerah utama propagasi a tipe 1 dan b tipe 2 dengan arus DC bergantung waktu. 500 1000 1500 2000 2500 -60 -40 -20 20 40 time ms m e m b ra n e v o lt a g e m V 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 -80 -60 -40 -20 20 40 time ms m e m b ra n e v o lt a g e m V Class 1 Excitability A Increasing Current State B Periodic Spiking State B Periodic Spiking State C Steady State C Steady State A Increasing Current State T T V 3 mV Tipe 1 I app =50 mV Tipe 2 I app =55 mV Bifurkasi 12 saddle node stable saddle-node 2 node unstabel focus Andronov- Hopf 18 saddle saddle saddle-node -3 focus focus Andronov- Hopf Tabel 2. Nilai eigen masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 arus DC bergantung waktu. Selanjutnya akan dibahas jenis titik kritis di tiap daerah untuk tipe 1 dan 2. Dengan nilai I m dan I init masing- masing pada tipe 1 dan 2 adalah 5 mV dan 10 mV dan 0 µA, didapatkan hasil dari simulasi MATLAB nilai eigen dari masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 yang dapat dilihat pada tabel 2. Berdasarkan data pada Tabel 2., dapat dilhat bahwa pada propagasi tipe 1 mengalami perubahan jenis titik kritis dan kestabilan. Sedangkan pada tipe 2, tidak mengalami perubahan titik kritis, hanya mengalami perubahan kestabilan saja. Pada tipe 1, dari keadaan istirahat A ke keadaan eksitasi B memiliki jenis titik kritis saddle. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, meskipun tidak adanya titik node, titik ini menghilang karena sistem dalam keadaan mulai tereksitasi. Oleh karena itu, saat sistem beralih dari keadaan istirahat menuju keadaan eksitasi, jenis bifurkasi yang terjadi adalah saddle-node. Saat memasuki daerah transisi T, sistem mulai beralih dari keadaan eksitasi menuju istirahat. Pada tahap ini, sistem mengalami dua perubahan sekaligus yaitu perubahan jenis titik kritis dan kestabilan. Titik kritis berubah dari titik saddle tidak stabil menjadi titik focus stabil. Dari perubahan titik kritis ini dapat disimpulkan bahwa daerah transisi dari keadaan eksitasi menuju istirahat memiliki tipe bifurkasi Andronov-Hopf. Memasuiki daerah C yang nilai arus terapannya terlalu besar, memiliki jenis titik focus yang stabil. Jika dibadingkan dengan daerah transisi, nilai suku real memiliki nilai yang lebih besar. Ini menandakan bahwa dengan terus bertambahnya nilai I app , maka akan menaikan nilai eigen menuju nol dan akhirnya bertanda positif sehingga akan kembali tidak stabil. Diagram fase pada tipe 1 dapat dilihat pada Gambar 34. Daerah Tipe 1 Titik kritis Daerah Tipe 2 Tititk Kritis A t=700 ms 0.3691 -0.0085 saddle A t=300 ms -0.0820+0.0345i -0.0820+0.0345i focus stable B t=1500 0.3642 -0.0336 saddle B t=1000 0.1480+0.0258i 0.1480-0.0258i fucus unstable Transi si t=2000 -0.0933+0.2648i -0.0933-0.2648i focus stable Transisi t=1600 -0.1079+0.2342i -0.1079-0.2342i focus stable C t=2300 -0.1057+0.2638i -0.1057-0.2638i focus stable C t=1800 -0.1366+0.2214i -0.1366-0.2214i focus stable Gambar 34. Diagram fase tipe 1 dengan fungsi arus DC bergantung waktu. Tipe 2 hanya memiliki satu jenis titik kritis yaitu focus. Pada propagasi ini peralihan dari A menuju B terjadi akibat perubahan kestabilan titik kritis dari stabil menjadi tidak stabil.Jika sistem tidak stabil, maka saraf akan memulai eksitasi. Jenis bifurkasi dari keadaan istirahat menuju eksitasi adalah tipe bifurkasi subcritical-Andronov-Hopf. Jenis bifurkasi ini dikatakan subcritical dikarenakan sistem megalami osilasi yang kecil saat akan melakukan transisi dari keadaan istirahat menuju eksitasi. 3 Sedangkan untuk daerah transisi T, nilai eigen berubah menjadi negatif kembali sehingga sistem mulai stabil untuk memasuki keadaan istirahat. Sistem terus berosilasi dengan nilai amplitudo pulsa yang semakin melemah dan akhirnya hilang. Jenis bifurkasi yang memiliki karakteristik demikian adalah bifurkasi supercritical-Andronov-Hopf. Diagram fase untuk tipe 2 tersebut dapat dilihat pada Gambar 35. Gambar 35. Diagram fase tipe 2 dengan fungsi arus DC bergantung waktu. 500 1000 1500 2000 2500 -100 -50 50 V m V -60 -40 -20 20 40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 500 1000 1500 2000 2500 W mV ti m e m s -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 W m V Spiking State limit cycle initial condition Rest State Spiking State Rest State Stable Focus Unstable Saddle Stable Node Stable Focus Unstable Saddle Stable Node Rest State initial condition time ms Spiking State Rest State limit cycle V mV V mV Resting Saddle-Node Bifurcation Resting supercritical Andronov-Hopf -80 -60 -40 -20 20 40 0.2 0.4 0.6 0.8 500 1000 1500 2000 ti m e m s -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 V mV W m V 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 -50 50 time ms V m V Resting supercritical Andronov-Hopf Resting subcritical Andronov-Hopf Spiking State Spiking State initial condition initial condition Spiking State Spiking State Rest State Stable Focus Stable Focus limit cycle limit cycle Rest State Rest State unstatable Focus dissapear unstatable Focus dissapear V mV W mV Tabel 3. Nilai eigen masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 arus AC bergantung waktu Arus terapan AC bergantung waktu Jenis arus terapan bergantung waktu yang kedua adalah suatu arus AC yang dimodelkan sebagai suatu fungsi sinusoidal seperti pada persamaan 38. Dengan parameter ω sebagai frekuensi pulsa arus terapan. Untuk melakukan analisis sistem dinamik propagasi saraf tipe 1 dan 2, maka propagasi tersebut akan dibagi lagi menjadi beberapa daerah seperti pada analisis sebelumnya. Hasil simulasi program didapatkan jenis titik kritis pada tiap-tiap daerah disajikan dalam Tabel 3. Berdasarkan data pada Tabel 3., terlihat bahwa kedua tipe 1 dan 2 tidak mengalami perubahan jenis maupun kestabilan titik kritis. Meskipun titik tersebut tidak mengalami perubahan, tetapi sebenarnya dengan berubahnya besar nilai eigen pun akan mempengaruhi karakteristik dinamik dari sistem. Pada tipe 1 yang berjenis titik kritis saddle semakin menuju nilai arus minimum, kedua nilai eigen tersebut semakin mendekati angka nol. Nilai nol adalah suatu critical point yang merupakan peralihan antara keadaan stabil dan tidak stabil pada nilai eigen. 20 Sedangkan untuk tipe 2, nilai eigen dari suku real bilangan kompleks-konjugat menunjukan nilai negatif yang semakin menjauhi angka nol. Ini menunjukkan bahwa sistem tersebut semakin stabil. Pada kedua tipe nilai I max masing-masing adalah 8 µA dan 10 µA. dengan nilai ω masing-masing adalah 0.011 s -1 dan 0.016 s -1 . Kedua parameter ini sangat kecil untuk mengubah karakteristik dinamik pada kedua sistem. Ini berarti nilai arus terapan AC pada model saraf adalah sangat kecil dengan tujuan untuk mengetahui bentuk propagasi saraf saja. Diagram fase untuk masing-masing tipe disajikan pada Gambar 36 dan 37. Gambar 36. Diagram fase tipe 1 dengan fungsi arus AC bergantung waktu. -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 V mV W m V -60 -40 -20 20 40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 200 400 600 800 1000 1200 V mV W mV ti m e m s 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -50 50 V m V 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 40 50 60 time ms Ia p p m ik ro A Iapp t=280 Iapp t=425 max current max current min current Iapp t=150 Rest State Rest State Spiking State Initial Condition Initial Condition Class 1 Class 1 Limit Cycle Limit Cycle Spiking State mobile unstable saddle mobile unstable saddle saddle-node Bifurcation Daerah Tipe 1 Titik kritis Daerah Tipe 2 Tititk Kritis Max current t=150 ms 0.3770 -0.0192 saddle Max current t=100ms -0.0528+0.0487i -0.0820-0.0345i focus stable Trantition t=280 0.3753 -0.0152 saddle Trantitiont=200 -0.0715+0.0407i -0.0715-0.0407i focus stable Min current t=425 0.3713 -0.0105 saddle Min current t=300 -0.0866+0.0313i -0.0866-0.0313i focus stable Gambar 37. Diagram fase tipe 2 dengan fungsi arus AC bergantung waktu. Pada Gambar 37. dapat dilihat bahwa pada kedua tipe grafik garis nol untuk V V nulclines bergeser selama proses dinamik berlangsung. Keadaan grafik V nulcline yang bergerak periodik ini menyebabkan pergeseran titik keseimbangan pada sistem. Pada tipe 1 yang berjenis titik keseimbangan saddle maka akan bergerak naik turun mengikuti V nulcline yang berosilasi. Begitu pula untuk tipe 2 yang berosilasi pula.Catatan bahwa titik kritis pada kedua sistem tidak mengalami perubahan jenis maupun kestabilan selama berosilasi. Jika nilai I max dan ω divariasikan dengan interval nilai yang cukup besar, akan ada dua kemungkinan bahwa sistem akan mengubah jenis dan kestabilan titik kritis karena nilai arus terapan dengan fluktuasi yang tinggi, atau sistem tetap mempertahankan karakteristik dinamik awal nya tidak mengalami perubahan karakteristik titik kritis. Kedua kemungkinan ini tidak dibahas pada penelitian ini karena dalam analisis arus terapan AC ini sudah cukup untuk mengetahui karakteristik dinamik suatu propagasi dengan arus terapan yang sangat kecil. 4.3 Solusi Numerik Propagasi Saraf Terkopel Model jaringan saraf yang dibahas sebelumnya merupakan hasil model jaringan saraf yang diwakili oleh satu sel tunggal. Jaringan saraf merupakan suatu gabungan fungsional dari banyak saraf dengan sifat dan karakteristik tertentu. Dengan demikian dalam penelitian ini dibangun suatu model saraf kompleks yang melibatkan banyak saraf yang saling terhubung secara fungsional. Solusi dari model yang dibangun menganggap bahwa saraf terhubung satu dengan yang lainnya secara sinaptik. Kata sinaptik ini berasal dari salah satu komponen sel saraf pada ujung bagian akson yang terhubung dengan badan sel lainnya disebut synapses . Melalui bagian inilah sel satu dengan yang lainnya bertukar informasi. 12 Hubungan sinaptik ini memiliki sifat tertentu dilihat dari bagaimana hubungan tersebut terjadi pada dua sel saraf yang terkopel. 17 • Sinaptik elektrik: merupakan suatu pengiriman informasi dari satu sel ke sel lain berdasarkan peristiwa difusi linier pada potensial membran saraf terkopel. • Sinaptik kimia: merupakan suatu pengiriman informasi secara nonlinier yang melibatkan fenomena sinkronisasi pada model saraf pemacu excitatory dan penghambat inhibitory. 21 Pada penelitian ini dibahas tipe sinaptik elektrik. Model saraf yang dibangun pada penelitian ini adalah suatu model saraf dengan asumsi bahwa suatu jaringan saraf kompleks dapat dimodelkan oleh dua saraf terkopel yang saling terhubung -60 -50 -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 V mV W m V -60 -40 -20 20 40 0.2 0.4 0.6 0.8 200 400 600 800 1000 1200 V mV W mV ti me m s 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -50 50 V m V 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 40 60 80 time ms Ia p p m ik ro A Iapp t=100 Iapp t=200 Iapp t=300 Initial Condition Rest State Spiking State Limit Cycle Class 2 Class 2 max current max current min current min current Andronov-Hopf Bifurcation Rest State Spiking State Initial Condition Limit Cycle mobile stable focus mobile stable focus Andronov-Hopf Bifurcation secara sinaptik. 19,21 Jika bahasan mengenai dua saraf terkopel ini dapat dijelaskan, maka akan mudah membangun sistem banyak saraf yang saling terkopel satu dengan lainnya secara sinaptik.

4.3.1 Model saraf terkopel