Pada Gambar 32, noktah merah yang memiliki label new equilibria
adalah merupakan titik focus yang dimaksud. Ini dapat terjadi pada kedua
tipe bahwa pada eksitasi saraf, nilai eigen akan berubah dari real titik saddle dan
akan menghilang imaginer pada tipe biffurkasi Andronov-Hopf.
Sedangkan untuk nilai I
app
dan V
3
pada kedua tipe diukar yaitu untuk tipe 1 dan 2 masing-masing 50 µA, 2 mV dan
55 µA, 12 mV dan nilai eigennya adalah.
UY
.
Y V = 80.3120
0.05529 U Y
.
Y V = 8−0.0561
−0.11429 Maka jenis titik kedua tipe sekarang
adalah nodeyang memiliki perbedaan kestabilan.Pada tipe 1 adalah tidak stabil
sedangkan tipe 2 stabil. Tabel 1.Hubungan nilai V
3
dan I
app
dengan bifurkasi.
Dapat disimpulkan bahwa saat nilai V
3
pada kedua tipe bernilai 18 mV, maka sistem tidak stabil dengan tipe
bifurkasi saddle-node. Saat nilai mulai turun V
3
mulai turun dan memasuki negatif V
3
=-3 mV maka sistem mulai stabil suku real nyata bilangan
kompleks eigen yang negatif dan perlahan-lahan
memasuki keadaan
istirahat dengan tipe bifurkasi Andronov- Hopf. Secara menyeluruh, hubungan
antara nilai parameter V
3
dan I
app
dapat dilihat pada tabel 1.
4.2.3 Nilai eigen dan diagram fase tipe 1 dan 2 I
app
bergantung waktu
Analisis sistem dinamik pada penjelasan sebelumnya menggunakan
parameter I
app
dengan nilai yang tetap terhadap
waktu. Sehingga
dalam menentukan tipe bifurkasi nya agak sulit
terutama dalam
hal perubahan
karakteristik dinamiknya. Dalam sub bab ini akan di bahas perubahan karaktersitik
sistem dinamik ditinjau dari adanya perubahan nilai arus terapan terhadap
waktu, apakah ada perubahan tipe bifurkasi dari keadaan istirahat ke
keadaan eksitasi atau sebaliknya.nilai arus terapan bergantung waktu pada
penelitian ini dibagi menjadi dua tipe berdasarkan jenis arus terapannya yaitu
arus terapan DC dan AC. Pertama akan dibahas karakteristik sistem dinamik arus
DC bergantung waktu, selanjutnya AC
Arus terapan DC bergantung waktu
Berdasarkan persamaan
36 fungsi arus It dimodelkan dengan suatu
fungsi linier dengan nilai parameter α sebagai gradien laju arus terhadap waktu.
Pada tipe 1 dan 2, dengan nilai α positif didapatkan bentuk propagasi seperti pada
Gambar 33. Jika diperhatikan, ada tiga daerah utama pada bentuk propagasi
tersebut yaitu A daerah pada keadaan arus mulai naik menuju keadaan eksitasi
dan mulai melakukan spiking, B daerah saat saraf melakukan periodic spiking,
dan C daerah berarus tinggi pada keadaan saraf tidak melakukan spiking.
Karakteristik dari ketiga daerah ini berbeda
dikarenakan memiliki
karakteristik bifurkasi yang berbeda.
Gambar 33. Tiga daerah utama propagasi a tipe 1 dan b tipe 2 dengan arus DC
bergantung waktu.
500 1000
1500 2000
2500 -60
-40 -20
20 40
time ms m
e m
b ra
n e
v o
lt a
g e
m V
200 400
600 800
1000 1200
1400 1600
1800 2000
-80 -60
-40 -20
20 40
time ms m
e m
b ra
n e
v o
lt a
g e
m V
Class 1 Excitability
A Increasing Current
State
B Periodic Spiking State
B Periodic Spiking State
C Steady State
C Steady State
A Increasing Current State
T T
V
3
mV Tipe 1
I
app
=50 mV
Tipe 2 I
app
=55 mV
Bifurkasi 12
saddle node stable
saddle-node 2
node unstabel
focus Andronov-
Hopf 18
saddle saddle
saddle-node -3
focus focus
Andronov- Hopf
Tabel 2. Nilai eigen masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 arus DC bergantung waktu.
Selanjutnya akan dibahas jenis titik kritis di tiap daerah untuk tipe 1 dan 2.
Dengan nilai I
m
dan I
init
masing- masing pada tipe 1 dan 2 adalah 5 mV
dan 10 mV dan 0 µA, didapatkan hasil dari simulasi MATLAB nilai eigen dari
masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 yang dapat dilihat pada tabel 2.
Berdasarkan data pada Tabel 2., dapat dilhat bahwa pada propagasi tipe 1
mengalami perubahan jenis titik kritis dan kestabilan. Sedangkan pada tipe 2,
tidak mengalami perubahan titik kritis, hanya mengalami perubahan kestabilan
saja. Pada tipe 1, dari keadaan istirahat A ke keadaan eksitasi B memiliki
jenis titik kritis saddle. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, meskipun tidak
adanya titik node, titik ini menghilang karena sistem dalam keadaan mulai
tereksitasi. Oleh karena itu, saat sistem beralih dari keadaan istirahat menuju
keadaan eksitasi, jenis bifurkasi yang terjadi
adalah saddle-node.
Saat memasuki daerah transisi T, sistem
mulai beralih dari keadaan eksitasi menuju istirahat.
Pada tahap ini, sistem mengalami dua perubahan sekaligus yaitu perubahan
jenis titik kritis dan kestabilan. Titik kritis berubah dari titik saddle tidak stabil
menjadi titik focus stabil. Dari perubahan titik kritis ini dapat disimpulkan bahwa
daerah transisi dari keadaan eksitasi menuju istirahat memiliki tipe bifurkasi
Andronov-Hopf. Memasuiki daerah C yang nilai arus terapannya terlalu besar,
memiliki jenis titik focus yang stabil. Jika dibadingkan dengan daerah transisi,
nilai suku real memiliki nilai yang lebih besar. Ini menandakan bahwa dengan
terus bertambahnya nilai I
app
, maka akan menaikan nilai eigen menuju nol dan
akhirnya bertanda positif sehingga akan kembali tidak stabil. Diagram fase pada
tipe 1 dapat dilihat pada Gambar 34.
Daerah Tipe 1
Titik kritis Daerah
Tipe 2 Tititk Kritis
A t=700
ms 0.3691
-0.0085 saddle
A t=300 ms
-0.0820+0.0345i -0.0820+0.0345i
focus stable B
t=1500 0.3642
-0.0336 saddle
B t=1000
0.1480+0.0258i 0.1480-0.0258i
fucus unstable
Transi si
t=2000 -0.0933+0.2648i
-0.0933-0.2648i focus
stable Transisi
t=1600 -0.1079+0.2342i
-0.1079-0.2342i focus stable
C t=2300
-0.1057+0.2638i -0.1057-0.2638i
focus stable
C t=1800
-0.1366+0.2214i -0.1366-0.2214i
focus stable
Gambar 34. Diagram fase tipe 1 dengan fungsi arus DC bergantung waktu. Tipe 2 hanya memiliki satu jenis
titik kritis yaitu focus. Pada propagasi ini peralihan dari A menuju B terjadi
akibat perubahan kestabilan titik kritis dari stabil menjadi tidak stabil.Jika
sistem tidak stabil, maka saraf akan memulai eksitasi. Jenis bifurkasi dari
keadaan istirahat menuju eksitasi adalah tipe bifurkasi subcritical-Andronov-Hopf.
Jenis bifurkasi ini dikatakan subcritical dikarenakan sistem megalami osilasi
yang kecil saat akan melakukan transisi dari keadaan istirahat menuju eksitasi.
3
Sedangkan untuk daerah transisi T, nilai eigen berubah menjadi negatif
kembali sehingga sistem mulai stabil untuk
memasuki keadaan
istirahat. Sistem terus berosilasi dengan nilai
amplitudo pulsa yang semakin melemah dan akhirnya hilang. Jenis bifurkasi yang
memiliki karakteristik demikian adalah bifurkasi
supercritical-Andronov-Hopf. Diagram fase untuk tipe 2 tersebut dapat
dilihat pada Gambar 35.
Gambar 35. Diagram fase tipe 2 dengan fungsi arus DC bergantung waktu.
500 1000
1500 2000
2500 -100
-50 50
V m
V
-60 -40
-20 20
40 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
500 1000
1500 2000
2500
W mV ti
m e
m s
-60 -50
-40 -30
-20 -10
10 20
30 40
-0.1 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
W m
V
Spiking State
limit cycle
initial condition Rest State
Spiking State Rest State
Stable Focus Unstable Saddle
Stable Node Stable Focus
Unstable Saddle Stable Node
Rest State initial condition
time ms
Spiking State Rest State
limit cycle
V mV V mV
Resting Saddle-Node
Bifurcation Resting
supercritical Andronov-Hopf
-80 -60
-40 -20
20 40
0.2 0.4
0.6 0.8
500 1000
1500 2000
ti m
e m
s
-70 -60
-50 -40
-30 -20
-10 10
20 30
-0.1 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
0.6 0.7
V mV W
m V
200 400
600 800
1000 1200
1400 1600
1800 -50
50
time ms V
m V
Resting supercritical
Andronov-Hopf Resting
subcritical Andronov-Hopf
Spiking State
Spiking State
initial condition initial condition
Spiking State Spiking State
Rest State Stable Focus
Stable Focus limit cycle
limit cycle Rest State
Rest State unstatable Focus
dissapear unstatable Focus
dissapear
V mV W mV
Tabel 3. Nilai eigen masing-masing daerah pada tipe 1 dan 2 arus AC bergantung waktu
Arus terapan AC bergantung waktu
Jenis arus terapan bergantung waktu yang kedua adalah suatu arus AC
yang dimodelkan sebagai suatu fungsi sinusoidal seperti pada persamaan 38.
Dengan parameter ω sebagai frekuensi pulsa arus terapan. Untuk melakukan
analisis sistem dinamik propagasi saraf tipe 1 dan 2, maka propagasi tersebut
akan dibagi lagi menjadi beberapa daerah seperti pada analisis sebelumnya. Hasil
simulasi program didapatkan jenis titik kritis pada tiap-tiap daerah disajikan
dalam Tabel 3.
Berdasarkan data pada Tabel 3., terlihat bahwa kedua tipe 1 dan 2 tidak
mengalami perubahan jenis maupun kestabilan titik kritis. Meskipun titik
tersebut tidak mengalami perubahan, tetapi sebenarnya dengan berubahnya
besar nilai eigen pun akan mempengaruhi karakteristik dinamik dari sistem. Pada
tipe 1 yang berjenis titik kritis saddle semakin menuju nilai arus minimum,
kedua nilai eigen tersebut semakin mendekati angka nol. Nilai nol adalah
suatu critical point yang merupakan peralihan antara keadaan stabil dan tidak
stabil pada nilai eigen.
20
Sedangkan untuk tipe 2, nilai eigen dari suku real
bilangan kompleks-konjugat menunjukan nilai negatif yang semakin menjauhi
angka nol. Ini menunjukkan bahwa sistem tersebut semakin stabil.
Pada kedua tipe nilai I
max
masing-masing adalah 8 µA dan 10 µA. dengan nilai ω masing-masing adalah
0.011 s
-1
dan 0.016 s
-1
. Kedua parameter ini
sangat kecil
untuk mengubah
karakteristik dinamik pada kedua sistem. Ini berarti nilai arus terapan AC pada
model saraf adalah sangat kecil dengan tujuan
untuk mengetahui
bentuk propagasi saraf saja. Diagram fase untuk
masing-masing tipe
disajikan pada
Gambar 36
dan 37.
Gambar 36. Diagram fase tipe 1 dengan fungsi arus AC bergantung waktu.
-60 -50
-40 -30
-20 -10
10 20
30 40
-0.2 0.2
0.4 0.6
0.8
V mV W
m V
-60 -40
-20 20
40 0.1
0.2 0.3
0.4 0.5
200 400
600 800
1000 1200
V mV W mV
ti m
e m
s 100
200 300
400 500
600 700
800 900
1000 -50
50 V
m V
100 200
300 400
500 600
700 800
900 1000
40 50
60 time ms
Ia p
p m
ik ro
A Iapp t=280
Iapp t=425
max current max current
min current
Iapp t=150
Rest State Rest State
Spiking State
Initial Condition Initial Condition
Class 1 Class 1
Limit Cycle Limit Cycle
Spiking State mobile unstable saddle
mobile unstable saddle
saddle-node Bifurcation
Daerah Tipe 1
Titik kritis
Daerah Tipe 2
Tititk Kritis
Max current
t=150 ms 0.3770
-0.0192 saddle
Max current t=100ms
-0.0528+0.0487i -0.0820-0.0345i
focus stable
Trantition t=280
0.3753 -0.0152
saddle Trantitiont=200
-0.0715+0.0407i -0.0715-0.0407i
focus stable
Min current t=425
0.3713 -0.0105
saddle Min current
t=300 -0.0866+0.0313i
-0.0866-0.0313i focus
stable
Gambar 37. Diagram fase tipe 2 dengan fungsi arus AC bergantung waktu. Pada Gambar 37. dapat dilihat
bahwa pada kedua tipe grafik garis nol untuk V V nulclines bergeser selama
proses dinamik berlangsung. Keadaan grafik V nulcline yang bergerak periodik
ini
menyebabkan pergeseran
titik keseimbangan pada sistem. Pada tipe 1
yang berjenis titik keseimbangan saddle maka akan bergerak naik turun mengikuti
V nulcline yang berosilasi. Begitu pula untuk tipe 2 yang berosilasi pula.Catatan
bahwa titik kritis pada kedua sistem tidak mengalami perubahan jenis maupun
kestabilan selama berosilasi.
Jika nilai I
max
dan ω divariasikan dengan interval nilai yang cukup besar,
akan ada dua kemungkinan bahwa sistem akan mengubah jenis dan kestabilan titik
kritis karena nilai arus terapan dengan fluktuasi yang tinggi, atau sistem tetap
mempertahankan karakteristik dinamik awal nya tidak mengalami perubahan
karakteristik
titik kritis.
Kedua kemungkinan ini tidak dibahas pada
penelitian ini karena dalam analisis arus terapan AC ini sudah cukup untuk
mengetahui karakteristik dinamik suatu propagasi dengan arus terapan yang
sangat kecil. 4.3 Solusi Numerik Propagasi Saraf
Terkopel
Model jaringan
saraf yang
dibahas sebelumnya merupakan hasil model jaringan saraf yang diwakili oleh
satu sel
tunggal. Jaringan
saraf merupakan suatu gabungan fungsional
dari banyak saraf dengan sifat dan karakteristik tertentu. Dengan demikian
dalam penelitian ini dibangun suatu model saraf kompleks yang melibatkan
banyak saraf yang saling terhubung secara fungsional.
Solusi dari model yang dibangun menganggap bahwa saraf terhubung satu
dengan yang lainnya secara sinaptik. Kata sinaptik ini berasal dari salah satu
komponen sel saraf pada ujung bagian akson yang terhubung dengan badan sel
lainnya disebut synapses . Melalui bagian inilah sel satu dengan yang lainnya
bertukar informasi.
12
Hubungan sinaptik ini memiliki sifat tertentu dilihat dari
bagaimana hubungan tersebut terjadi pada dua sel saraf yang terkopel.
17
• Sinaptik elektrik: merupakan suatu
pengiriman informasi dari satu sel ke sel lain berdasarkan peristiwa difusi
linier pada potensial membran saraf terkopel.
• Sinaptik kimia: merupakan suatu
pengiriman informasi
secara nonlinier yang melibatkan fenomena
sinkronisasi pada
model saraf
pemacu excitatory dan penghambat inhibitory.
21
Pada penelitian ini dibahas tipe sinaptik elektrik.
Model saraf yang dibangun pada penelitian ini adalah suatu model saraf
dengan asumsi bahwa suatu jaringan saraf kompleks dapat dimodelkan oleh
dua saraf terkopel yang saling terhubung
-60 -50
-40 -30
-20 -10
10 20
30 40
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 1
V mV W
m V
-60 -40
-20 20
40 0.2
0.4 0.6
0.8 200
400 600
800 1000
1200
V mV W mV
ti me
m s
100 200
300 400
500 600
700 800
900 1000
-50 50
V m
V 100
200 300
400 500
600 700
800 900
1000 40
60 80
time ms Ia
p p
m ik
ro A
Iapp t=100 Iapp t=200
Iapp t=300
Initial Condition Rest State
Spiking State Limit Cycle
Class 2 Class 2
max current max current
min current min current
Andronov-Hopf Bifurcation
Rest State Spiking State
Initial Condition Limit Cycle
mobile stable focus mobile stable
focus
Andronov-Hopf Bifurcation
secara sinaptik.
19,21
Jika bahasan
mengenai dua saraf terkopel ini dapat dijelaskan,
maka akan
mudah membangun sistem banyak saraf yang
saling terkopel satu dengan lainnya secara sinaptik.
4.3.1 Model saraf terkopel