menghilangkan fungsi hiperbolik tanh menjadi suatu fungsi eksponensial yang
lebih sederhana seperti pada persamaan berikut.
∞
= 1
1 + exp 8−2 - −
.
09 ∙∙∙∙ 6
∞
= 1
1 + exp 8−2 - −
2 3
09 ∙∙∙∙∙ 7
Dalam penelitian ini digunakan fungsi seperti pada persamaan 4 dan 5.
Konstanta waktu
untuk pemulihan saluran K
+
dalam pengaruh perubahan beda potensial bergantung
pada beda potensial membran.
= 1
∅ cosh - −
2
2
3
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8 Parameter ø merupakan skala waktu
untuk proses pemulihan. Nilai ø dapat divariasikan untuk berbagai sel yang
berbeda-beda dan sangat sensitif terhadap suhu lingkungan membran.
26
Model ini sangat sederhana dalam menjelaskan mekanisme listrik
pada membran saraf. Model propagasi saraf yang bergantung pada tiga arus
ionik: I
Ca
, merupakan penyebab utama eksitasi listrik, I
K
, arus utama yang berperan dalam proses pemulihan, dan I
L
merupakan nilai
arus kebocoran
membran termasuk didalamnya nilai Resting Potential. Berbagai sistem dan
fenomena eksitasi
potensial dapat
dimodelkan dengan memvariasikan nilai konduktansi membran g
Ca
, g
K
, dan g
L
.
24
Karena model ini berdasarkan atas konduktansi dan arus pada membran,
maka baik
secara teori
maupun eksperimen dapat disinkronkan untuk
didemonstrasikan.
2.3 Sistem Dinamik dan Bifurkasi
Konsep mengenai ruang fase,titik kritis,serta Stabilitas merupakan hal yang
fundamental dalam dinamika sistem. Konsep dinamika sistem ini dapat
digambarkan oleh suatu set persamaan autonomous. Ini berarti suatu set
persamaan yang di dalamnya tidak memiliki
hubungan ketergantungan.
7
Pada persamaan saraf ini yang dimaksud autonomous berarti laju variabel terkait
baik potensial membran V maupun parameter
pemulihan W
tidak bergantung pada skala waktu untuk nilai
arus terapan tetap.
3
Pada model saraf Morris-Lecar, variabel dimensional yang terkait adalah
potensial membran V dan parameter pemulihan W. jika V dan W di plot pada
suatu bidang dua dimensi maka disebut sebagai bidang fase atau ruang fase
phase portrait sedangkan kurva yang terbentuk merupakan trayektori bagi
PDB V dan W.
7
2.3.1 Equilibrium
Langkah penting dalam analisis sistem dinamik adalah menentukan nilai
keseimbangannya equilibrium yaitu pada kondisi:
A, C = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 9 A, C = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10
titik x,y adalah sebuah equilibrium.
3
Penginisiasian pada kondisi awal x
,y saat x’= 0 dan y’=0, dan trayektori
yang terjadi
tetap selama
kondisi equilibrium, maka xt=x
0,
dan yt= y untuk t ≥ 0. Sifat dari trayektori ini dapat
bersifat divergen atau konvergen dari titik equilibriumnya bergantung pada
kestabilannya.
3
Sebagai contoh, pada model HH terkait pada saluran ion K
+
pada kurva I-V memiliki tiga titik nol.
Gambar 5.Titik kritis pada keadaan stabil.
3
Gambar 6.Titik kritis pada keadaan tak Stabil. a tiga equilibrium -66 mV, -56
mV, dan -28 mV b satu equilibrium -61 mV.
3
Kedaan trayektori
pada equilibrium berkaitan dengan stabilitas
sistem dinamik. Sebuah equilibrium dikatakan stabil apabila setiap trayektori
mendekati titik equilibrium pada t ≥ 0. Ini berarti trayektori bersifat convergen
terhadap equilibrium Gambar 5 untuk t→∞. Sebaliknya sebuah equilibrium
dikatakan tidak stabil apabila trayektori bersifat divergen atau menyebar dari
equilibrium Gambar 6. 2.3.2 Analisis linier lokal
Agar lebih memahami mengenai analisis sistem dinamik, perlu diketahui
karakteristik suatu sistem dinamik itu sendiri dengan menganalis keadaan
disekitar sistem pada keadaan stabil. Diberikan sistem dinamik dua dimensi
sebagai berikut:
A
′
= A, C ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 11 C
′
= A, C ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 12 memiliki titik equilibrium x
,y . Fungsi
nonlinier f dan g dapat dilinierisasi dekat equilibrium sebagai berikut.
A, C = GA − A
H
+ IC − C
H
+ ℎK ℎLMNOM ∙∙∙∙∙∙∙ 13 A, C = PA − A
H
+ NC − C
H
+ ℎK ℎLMNOM ∙∙∙∙∙∙∙ 14 high order dapat berupa x-x
2
, x-x
y-y , x-x
3
, dan seterusnya. a, b, c, dan d adalah suatu operator sebagai
berkut:
G = Q
QA A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. G I =
Q QC A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. I P =
Q QA A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. P N =
Q QC A
H
, C
H
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 15. N
Sebagai contoh
untuk menganalisis persamaan berikut
S
′
= GS + IT ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 16 T
′
= PS + NT ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 17 Bentuk
matriksnya adalah
sebagai berikut
US
′
T
′
V = 8G I P N9 8
S T9 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 18
matiks linierisasi yang terkait adalah
W = 8G I P N9 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 19
disebut matriks jacobian. 2.3.3 Nilai eigen dan vektor eigen
Sebuah vektor yang elemennya
tidak ada yang nol disebut vektor eigen V dari sebuah matriks L yang berkaitan
dengan nilai eigen λ jika;
LV = λV notasi matriks………… 20 nilai eigen sangat penting dalam hal
analisis sistem dinamik dilihat dari stabilitas titik equilibriumnya. Untuk
menentukan nilai eigen harus melalui suatu persamaan karakteristik berikut:
NOX 8G − Y I
P N − Y9 = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 21
bentuk polinomial
dari persamaan
matriks diatas adalah G − YN − Y − IP = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 22
atau,
Y − Y + ∆= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 23
8∆9 = 8 XMW
det W9 = 8 G + N
GN − IP9 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 24 sebagi suatu fungsi polinomial maka
memiliki dua nilai solusi dalam bentuk
Y
.,
= τ
± √ − 4∆
2 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 25
nilai eigen bernilai real nyata jika √
− 4∆≥ 0 atau komplek-konjugat jika
√ − 4∆ 0 . Pada keadaan ini
solusi umum dari sistem linier ini berbentuk
USX TXV = P
.
O
`.a
b
.
+ P O
`a
b ∙∙∙∙∙ 26
ketika nilai eigen keduanya bernilai negatif maka akan stabil. Jika sedikitnya
satu nilai eigen bernilai positif maka akan tidak stabil.
2.3.4 Klasifiaksi equilibrium
