Dickey-Fuller yaitu masing-masing untuk model regresi tanpa intercept, untuk model regresi dengan intercept dan untuk model regresi dengan intercept dan trend waktu.
Masing-masing t-statistic ini dinyatakan dengan symbol-simbol
∧ ∧
µ
τ τ
, dan
τ
τ
∧
dalam tabel Dickey-Fuller. Melalui tabel Dickey-Fuller kita akan menolak null-hypothesis
yang menyatakan adanya sifat stationary apabila nilai t-statistics yang di peroleh berkaitan dengan koefisien regresi model ini lebih kecil daripada nilai t-statistics pada
tingkat signifikan 1 , 5 dan 10.
Prosedur pengujian Dickey dan Fuller tidak berubah apabila kita ingin menguji model regresi yang mengandung higher order autoregressive processes. Misalnya,
kita ingin menguji unit root model regresi yang berikut:
∑
− =
− −
+ ∆
+ =
∆
1 1
1 p
j t
j t
j t
t
Y Y
Y ε
α α
Dimana :
∑
+ =
− =
− =
p j
k k
j
p j
1
1 ,...,
2 ,
1 ,
α α
Dan
∑
= −
=
p k
k 1
1
α α
Distribusi t-statistics berkaitan dengan
1 −
t
Y adalah sama dengan yang tertera
dalam table Dickey-Fuller untuk model regresi yang mengandung AR1. Pengujian dalam model ini disebut pengujian Dickey-Fuller yang diperluas Augmented Dickey-
Fuller Test.
2.8 Likelihood Ratio Test
Likelihood ratio test digunakan untuk menguji apakah suatu model regresi yang di taksir dengan menggunakan metode maximum likelihood memenuhi persyaratan yang
telah di tetapkan mengenai parameter-parameter model regresi yang di taksir. Likelihood ratio test di dasarkan atas pemikiran bahwa apabila persyaratan yang di
tetapkan berlaku, maka nilai log likelihood function yang di maximumkan dengan
Universitas Sumatera Utara
adanya persyaratan atau pembatasan tidak akan banyak berbeda dari nilai log likelihood function yang di maximumkan dari model regrsi tanpa adanya pembatasan.
Log likelihood ratio di hitung dengan menggunakan formula sebagai berikut : LR = -2L
- L
1
~
2 m
χ 2.8
di mana: L =
nilai log likelihood function dalam model regresi tanpa pembatasan L
1
= nilai log likelihood function dalam model regresi dengan pembatasan m = jumlah pembatasan.
Fungsi likelihood yang biasa dinyatakan dalam bentuk log sehingga di sebut fungsi log likelihood L yang akan di maximumkan berdasarkan nilai-nilai yang
cocok untuk α, β, σ
2
adalah : L =
∑
= n
i i
Y f
1
log 2.9
di mana :
2 2
1 2
2 1
exp 2
− −
− =
−
σ β
α πσ
i i
i
X Y
Y f
2.10 yang merupakan fungsi normal density. Oleh sebab itu, fungsi log likelihood dapat di
nyatakan sebagai berikut : L =
∑
=
− −
− −
−
n i
i i
X Y
n n
1 2
2 2
2 1
log 2
2 log
2
β α
σ σ
π
2.11 Diferensialkan 2.11 dalam hubungannya dengan
α
,
β
,
σ
2
dan samakan derivatif dengan nol, maka di peroleh :
ˆ ˆ
ˆ 2
1
1 2
= −
−
∑
= n
i i
i
X Y
β α
σ
2.12 ˆ
ˆ ˆ
2 1
1 2
= −
−
∑
= n
i i
i i
X Y
X
β α
σ
2.13 ˆ
ˆ ˆ
2 1
ˆ 2
1 2
4 2
= −
− +
−
∑
= n
i i
i
X Y
n
β α
σ σ
2.14 ,
ˆ ,
ˆ
β α
dan
2
σ
adalah simbol-simbol untuk hasil penaksiran berdasarkan metode maximum likelihood. Dari 2.12 dan 2.13 di peroleh :
∑ ∑
+ =
i i
X n
Y β
α ˆ
ˆ
2.15
∑ ∑
∑
+ =
2
ˆ ˆ
i i
i i
X X
Y X
β α
2.16
Universitas Sumatera Utara
Persamaan 2.15 dan 2.16 adalah persamaan-persamaan normal. Hasil penaksiran berdasarkan metode maximum likelihood di nyatakan dengan formula sebagai berikut :
n e
n X
Y
n i
i n
i i
i
∑ ∑
= −
= −
− =
1 2
1 2
2
ˆ ˆ
β α
σ 2.17
Dengan demikian untuk kasus-kasus model regresi dengan k-variabel fungsi log likelihood adalah sebagai berikut :
L =
2 1
log 2
2 log
2
2 2
β β
σ σ
π
X y
X y
n n
− −
− −
− 2.18
Dengan mendeferensial parsial dan menyamakan derivatif sama dengan nol di peroleh:
ˆ 2
2 ˆ
2 1
2
= +
− −
β σ
X X
y X
ˆ ˆ
ˆ 2
1 ˆ
2 1
4 2
= −
− +
−
β β
σ σ
X y
X y
Sehingga pemecahannya menghasilkan
n e
e y
X X
X ˆ
2 1
= =
−
σ β
Likelihood ratio test digunakan untuk melihat berapakah jumlah lag yang paling sesuai dalam untuk suatu model. Setelah diketahui berapa lag yang akan di gunakan
dalam suatu model maka akan ditentukan lag mana yang paling relevan di pakai dalam model dengan menggunakan Final Prediction Error FPE. Penentuan lag yang
optimal untuk y sebagai variabel bebas dan lag operator untuk x tidak ada, didasarkan atas ukuran Final Prediction Error FPE yang minimum yang telah diformulasikan
oleh Akaike 1969 yang dalam hal ini adalah sebagai berikut: FPE
y
=
− ×
− −
+ +
∑
= ∧
T t
t t
T y
y S
T S
T
1 2
1 1
di mana :
Universitas Sumatera Utara
FPE = Final Prediction Error T = jumlah observasi
S = jumlah lag dalam model
∧ t
y
adalah nilai
y
yang diramalkan berdasarkan hasil regresi
predicted value of y
.
2.9 Granger Causality Test
