atau menyempurnakan
produk yang
telah ada,
yang dapat
dipertangungjawabkan. Syaodih, 2007:164 Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa penelitian dan pengembangan
merupakan suatu model penelitian untuk mengembangkan suatu produk yang sudah ada atau membuat produk baru. Produk tersebut akan diuji
keefektivitasannya.
E. Persamaan Lingkaran
1. Konsep Persamaan lingkaran
a. Persamaan Lingkaran yang berpusat di O0,0 dan berjari-jari r
Gambar 2. 1 Lingkaran Berpusat di P0,0
Misalkan titik � , adalah sembarang titik yang terletak pada keliling
lingkaran. Jarak titik � , ke titik
, dapat ditentukan dengan rumus
| �| = √ − +
− . Diketahui bahwa jari-jari adalah r
dan � = , maka = √ −
+ −
kedua ruas dikuadratkan, maka diperoleh
+ =
Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari-jari adalah
+ = .
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di Pa,b dan berjari-jari r
Gambar 2. 2 Lingkaran berpusat di
, Jarak titik
� , ke titik , adalah | �| = √ −
+ −
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah dan � = , maka
= √ − +
− dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh
− +
− =
Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di
, dan berjari-jari r adalah − +
− =
2. Bentuk Umum Persamaan lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah +
+ +
+ = yang diperoleh dari persamaan lingkaran
− +
− = .
Penjabaran dari persamaan −
+ −
= sebagai berikut: −
+ + −
+ =
+ − −
+ + −
= 1
Persamaan 1 menjadi +
+ +
+ = dengan = − , = − ,
= + −
2
Persamaan 2 diubah menjadi bentuk baku dengan cara kuadrat sempurna sebagai berikut:
� ≡ +
+ +
+ =
� ≡ +
+ −
+ +
+ −
+ =
� ≡ +
+ +
= +
− Pusat dan jari-jari lingkaran
� ≡ +
+ +
+ = ditentukan dengan rumus:
pusat = − , − −
= √ + −
3. Kedudukan Titik terhadap lingkaran
a. Posisi suatu titik terhadap lingkaran � ≡
+ =
Posisi titik , terhadap lingkaran � ≡
+ = dapat
dirumuskan sebagai berikut: 1
Titik , terletak di dalam lingkaran �
+ 2
Titik
,
terletak pada lingkaran �
+ =
3 Titik
, terletak di luar lingkaran �
+ b.
Posisi suatu titik terhadap lingkaran � ≡ −
+ −
= Posisi titik
, terhadap lingkaran � ≡ −
+ −
= dapat dirumuskan sebagai berikut:
1 Titik
, terletak di dalam lingkaran � ≡
− +
− 2
Titik , terletak pada lingkaran
� ≡ −
+ −
= 3
Titik , terletak di luar lingkaran � ≡
− +
4. Kedudukan Garis terhadap lingkaran
Misalkan g garis dengan persamaan =
+ dan L merupakan lingkaran dengan persamaan
+ = . Kedudukan garis g terhadap sebuah
lingkaran ditentukan oleh nilai diskriminan =
+ − , yaitu:
a. garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan
b. =
garis g menyinggung lingkaran c.
garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singung.
5. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan apabila diketahui satu di antara tiga keterangan berikut ini:
a. Melalui satu titik pada lingkaran
1 Lingkaran berpusat di O0,0 dan berjari-jari
Perhatikan gambar berikut ini, persamaan garis singgung g dapat ditentukan sebagai berikut:
Gambar 2. 3 Persamaan Garis Singgung Berpusat di O0,0
� ≡ +
=
Y
O X
,
P
Type equation here.
Garis singgung
g
1 Gradien garis
adalah =
1 1
2 Karena gradien garis singgung g tegak lurus OP maka gradiennya:
�
= − = −
= −
3 Persamaan garis singgung g adalah:
− =
�
− − = −
−
− = −
−
+ =
+
+ =
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran � ≡
+ = yang
melalui titik ,
pada lingkaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut
+ = �
2 Lingkaran berpusat di
, dan berjari-jari . Perhatikan gambar di bawah ini. Persamaan garis singgung g pada
lingkaran � ≡
− +
− = yang melalui titik singgung
, , dapat ditentukan sebagai berikut:
Gambar 2. 4 Persamaan Garis Singgung Berpusat di Aa,b
1 Gradien garis AP adalah
�
=
1
−
1
−
2 Gradien garis singgung g tegak lurus garis AP, sehingga gradien
garis singgung g adalah
�
= −
�
��
= −
1
−
1
−
3 Persamaan garis singgung g adalah:
− =
�
− − = −
− −
− −
− = −
− −
−
− +
= − −
− +
−
− +
+ −
− +
=
− +
+ −
+ =
+ … . .
Karena ,
terletak pada lingkaran � ≡
− +
− = , maka berlaku:
− +
− =
−
+ +
− +
=
+
= −
+ −
+ … . . Substitusikan 2 ke persamaan 1 sehingga diperoleh:
− +
+ −
+ =
− +
− +
−
+ −
+ +
− +
− +
=
− −
+ +
− −
+ =
−
− +
− −
= Berdasarkan deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran
� ≡ −
+ −
= yang melalui ,
ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
− −
+ −
− = �
b. Melalui satu titik di luar lingkaran
Akan terdapat satu garis singgung apabila persamaan garis singgung tersebut melalui satu titik pada lingkaran. Sedangkan, persamaan garis
singgung melalui satu titik di luar lingkaran, maka terdapat dua buah garis singgung.
Cara menentukan persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai
berikut:
Langkah 1:
Persamaan garis melalui ,
, dimisalkan gradiennya m nilai m ditentukan kemudian. Persamaannya adalah
− =
− atau
= −
+ .
Langkah 2:
Substitusikan =
− + ke persamaan lingkaran, sehingga
diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D
dari persamaan kuadrat gabungan itu dihitung. Langkah 3:
Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan = .
Dari syarat = diperoleh nilai-nilai . Substitusikan nilai-nilai ke
persamaan =
− + , sehingga diperoleh persamaan-
persamaan garis singgung yang diminta. c.
Gradien garis singgung 1
Lingkaran berpusat di O0,0 dan berjari-jari Persamaan garis singgung pada lingkaran
� ≡ +
= jika gradien garis singgung diketahui, dapat ditentukan sebagai berikut:
1 Persamaan garis dengan gradien adalah =
+ . 2
Substitusi = + ke persamaan lingkaran
� ≡ +
= , diperoleh: +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ −
= ...i 3
Nilai diskriminan persamaan i adalah =
− +
− =
− −
+ −
= −
+ −
+
= −
+ 4
Nilai diskriminan untuk garis menyinggung lingkaran adalah = , maka
− +
=
− +
= =
+ = ± √ +
5 Substitusikan = ± √ +
ke persamaan garis =
+ , sehingga diperoleh = ± √ +
Dari deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran � ≡
+ = dengan gradien garis singgung ditentukan
dengan rumus sebagai berikut:
= � ± �√ + �
2 Lingkaran berpusat di
, dan berjari-jari . Persamaan garis singgung pada lingkaran
� ≡ −
+ −
=
jika gradien garis singgung diketahui, dapat ditentukan sebagai
berikut: 1
Persamaan garis dengan gradien adalah = + .
2 Substitusi =
+ ke persamaan lingkaran
� ≡ −
+ −
=
, diperoleh: −
+ + −
= −
+ +
+ +
+ −
− −
=
+ −
− +
+ +
+ −
− = … . .
3 Nilai diskriminan persamaan i adalah
= − −
+ −
+ +
+ −
− =
− +
− +
+ +
− −
4 Nilai diskriminan untuk garis menyinggung lingkaran adalah
= , maka
− +
− +
+ +
− −
=
− +
− + +
+ −
− =
+ +
− +
− −
− −
+ +
− −
− +
+ =
− +
− −
+ +
− +
=
−
+ +
− −
+ −
=
+ +
− −
+ −
+ =
+ −
= +
+ −
= √ + = −
+ ± √ +
4 Substitusikan = −
+ ± √ +
ke persamaan garis
= + , sehingga diperoleh
= + −
+ ± √ +
− = −
± √ + Dari deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran
� ≡ −
+ −
=
dengan gradien garis singgung ditentukan dengan rumus sebagai berikut:
− = � − ± �√ + �
27
BAB III METODE PENELITIAN
