dankreativitas untuk merancang skenario supaya pembelajaran berjalan baik.
C. Turunan Fungsi Aljabar
1. Pengertian Turunan Fungsi Aljabar
Turunan dari suatu fungsi f adalah fungsi lain
f yang nilainya pada sembarang bilangan x didefinisikan sebagai berikut
x lim
h
f x h
f x f
h
Apabila nilai limit ada.
2. Teorema-teorema pada Turunan Fungsi Aljabar
Teorema 1.
Suatu turunan fungsi konstan, untuk f x
k dengan
x R
dan k adalah konstanta real , maka didapatkan turunan pertama fungsi
tersebut :
f x
= 0
Pembuktian :
Jika f x
k dengan
x R
dan k adalah konstanta real . Turunan dari fungsi konstanta tersebut adalah :
lim
h
f x h
f x f
x h
lim
h
k k
h
lim 0
h
Teorema 2.
Suatu turunan fungsi identitas, untuk f x
x maka, didapatkan
turunan pertama fungsi tersebut :
f x
= 1
Pembuktian:
Jika f x
x , turunan dari fungsi identitas tersebut adalah :
lim
h
f x h
f x f
x h
lim
h
x h
x h
lim
h
h h
lim1
h
1
Teorema 3.
Suatu turunan fungsi pangkat, untuk
n
f x x
, dengan n bilangan real maka didapatkan
1 n
f x
nx
Pembuktian :
Jika
n
f x x
, dengan n bilangan real, turunan fungsi pangkat tersebut adalah:
lim
h
f x h
f x f
x h
lim
n n
h
x h x
h
1 1
... lim
... lim
n n
n n
h n
n n
n h
x nx
h h
x h
x nx
h h
x h
1 1
... lim
1 lim
...
n n
n n
h n
n h
x nx
h h
x h
nx h
h h
1
1 lim
...
n n
n n
h
x nx
h h
x h
1 1
lim ...
n n
h
nx h
1 n
nx
1 n
nx
Teorema 4.
Suatu turunan hasil kali konstanta dengan fungsi, untuk
n
f x cx
, dengan c adalah konstanta, c 0, dan n bilangan
real,maka didapatkan
1 n
f x
cnx
Pembuktian : Jika
n
f x cx
, dengan c adalah konstanta, c 0, dan n bilangan
real, turunan fungsi pangkat dengan konstanta tersebut adalah :
lim
h
f x h
f x f
x h
lim
n n
h
c x h cx
h
1 2
2 1
1 ... nxh
h 2
lim
n n
n n
n n
h
n n c x
nx h
x h
cx h
1 2
2 1
1 ...
2 lim
n n
n n
h
n n ch nx
x h
nxh h
h
1 2
2 1
1 lim
... 2
n n
n n
h
n n c nx
x h
nxh h
1 n
cnx
Teorema 5.
Suatu turunan jumlah fungsi, untuk f x
u x v x
dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari x , maka didapatkan turunan jumlah fungsi tersebut :
f x u x
v x
Pembuktian:
Jika f x
u x v x
, dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari x , maka didapatkan turunan jumlahan fungsi
tersebut :
lim
h
f x h
f x f
x h
{u } {
} lim
h
x h
v x h
u x v x
h
lim
h
u x h u x
v x h v x
h h
lim lim
h h
u x h
u x v x
h v x
h h
u x v x
Teorema 6.
Suatu turunan selisih fungsi, untuk f x
u x v x
, dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari x , maka
didapatkan
f x u x
v x
Pembuktian :
Jika f x
u x v x
, dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari x , maka didapatkan turunan selisih fungsi
tersebut :
lim
h
f x h
f x f
x h
{u } {
} lim
h
x h
v x h
u x v x
h
lim
h
u x h u x
v x h v x
h h
lim lim
h h
u x h
u x v x
h v x
h h
u x v x
Teorema 7.
Suatu turunan hasil kali fungsi dengan fungsi, untuk f x
u x v x
, dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari
x ,maka didapatkan
f x u x
v x u x
v x
Pembuktian :
Jika f x
u x v x
, dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari x , turunan hasil kali fungsi tersebut adalah
lim
h
f x h
f x f
x h
lim
h
u x h
v x h
u x h
v x u x
h v x
u x v x
h
lim
h
v x h
v x u x
h u x
u x h
v x h
h
lim lim
lim lim
h h
h h
v x h v x
u x h u x
u x h v x h
h h
u x v x
u x v x
u x v x
u x v x
Teorema 8.
Suatu turunan hasil bagi fungsi dengan fungsi, untuk x
u x f x
v
, dengan
u x dan v x masing-masing adalah fungsi dari x ,maka
didapatkan
2
u x v x u x v x
f x v x
Pembuktian :
Jika, dan v x
dengan u x dan
v x masing-masing adalah fungsi dari
x , turunan hasil bagi fungsi dengan fungsi tersebut adalah
x lim
h
f x h
f f
x h
lim lim
lim
lim lim
h h
h
h h
u x h
u x v x
h v x
h u x
h v x u x v x
h hv x
h v x u x
h v x u x v x
u x v x h
u x v x hv x
h v x u x
h u x
v x h
v x v x
u x h
h v x
h v x u x
h u x
h
2
lim lim
h h
v x h
v x v x
u x h
v x h v x
u x v x u x v x
v x v x u x v x
u x v x f x
v x
D. Motivasi Belajar
Kategori