6 Persamaan pendugaan bagi dan
σ dapat diperoleh dari turunan pertama fungsi kemungkinan maksimum 2.6 terhadap dan
σ, persamaan ini selanjutnya disebut persamaan pendugaan ketiga dan keempat, yaitu:
̂ ̂
̂ ̂
= ̂
2
2.9
̂
e b
̂ θ
l
̂ = ̂2 tr
y 1
̂
b
̂ θ
l
, l=1,2,…,
Sifat dalam pendugaan ML adalah tidak adanya pertimbangan mengenai hilangnya derajat bebas sebagai akibat menduga pengaruh tetap
, maka penduga
MLE bagi merupakan penduga yang berbias. Untuk mengeliminasi bias ini dikembangkan bentuk alternatif dari metode MLE yakni penduga REML. Metode
sederhana untuk mencari persamaan pendugaan dengan metode REML adalah dengan mengganti sisi kanan dari persamaan 2.9 dengan nilai harapan dari
penduga pada sisi kanan. Catat bahwa
̂
-
̂ ,
̂ θ ,
̂ ̂ ̂
[ ̂ ̂
] ̂
Persamaan pendugaan REML ketiga dan keempat adalah:
̂ ̂
[ ̂ ̂
] 2.10
̂
l
̂ ̂ tr ̂
̂
l
̂ 2.11
2.5 Metode Pendugaan Kekar Huber
2.5.1 Metode pendugaan kekar huber klasik
Penduga Huber pertama kali dikenalkan oleh Huber pada tahun 1964 sebagai alternatif penduga regresi kekar untuk MKT. Metode ini mengasumsikan
bahwa diketahui dan merupakan parameter yang hanya digunakan untuk
menduga pengaruh tetap . Salah satu fungsi- Huber fungsi obyektif adalah:
= { 1
2
2
≤ 1
2
2
dengan c merupakan konstanta yang ditetapkan. Penentuan nilai c ini sangat penting, yaitu jika nilainya besar penduga kekar yang dihasilkan sama dengan
penduga klasik, tapi jika nilainya kecil penduga yang dihasilkan lebih kekar Wu 2010. Sedangkan fungsi-
ψ Huber fungsi pengaruh yang merupakan turunan pertama dari fungsi obyektif di atas adalah:
= ρ
= { ≤
7 Fungsi ini merupakan fungsi yang digunakan untuk memboboti data pencilan.
Pengaruh pencilan dapat dibatasi menggunakan fungsi- ψ Huber
̂ dan
ψ
b
̂ untuk menggantikan ̂
dan ̂
pada persamaan pendugaan 2.8. 2.5.2
Penduga Kekar bagi Pengaruh Tetap dan Pengaruh Acak
Pendekatan yang digunakan untuk persamaan pendugaan kekar adalah pendekatan yang hampir sama dengan proposal II Huber 1964. Adanya struktur
korelasi dari b akan menyebabkan struktur matriks U
b
menjadi tidak diagonal, sehingga metode pendugaan kekar bagi pengaruh tetap dan acak dibagi menjadi
dua kasus, yaitu U
b
merupakan matriks diagonal dan U
b
bukan merupakan matriks diagonal Kooler 2013.
i U
b
Merupakan Matriks Diagonal
Asumsikan dan σ diketahui, maka persamaan penduga kekar bagi
dan b
adalah:
e 1
e
̂ =0
2.12 ̂
b
̂ =0
dengan = yang digunakan untuk menyeimbangkan ̂
dan ̂
jika fungsi- Huber yang digunakan berbeda. Faktor skala
dan adalah sama seperti
fungsi pengaruh pada penduga-M. Jika , maka faktor skala diabaikan.
Misalkan ̂ ,
̂ , dan
̂ ̂
= iag ̂
̂ = iag
Perluasan pertama pada ̂
dan ̂
disekitar
dan b
adalah: ̂
e 1
b
̂
b
Substitusikan persamaan di atas ke dalam 2.12 dan formula untuk matriks U
e
secara umum dapat diperbaiki dengan mengganti D
e
dengan U
e -1
׳
D
e
U
e -1
, sehingga persamaan pendugaan menjadi:
e 1
e e
1 e
1 e
e 1
b b
e 1
e e
1 b
e 1
e e
1 b
b
[ ]
ψ
ψ
ψ dengan
e
yang merupakan matriks diagonal. Algoritma sederhana dilakukan dengan menghitung
̂ dan ̂
yang diproses secara bergantian pada suatu himpunan pembobot yang diberikan dan memperbaharui pembobot
tersebut. Algoritma berhenti ketika perubahan relatif dari nilai penduga yang diperoleh cukup kecil atau konvergen.
