5
2.4 Metode Pendugaan Parameter
Kooler 2013 menotasikan komponen ragam dengan faktor skala σ, yakni
dan , , serta mendefinisikan model linier campuran
dengan pengaruh acak spherical sebagai berikut:
,
2.4
Dalam hal ini y~N ,σ
2
V
y
dengan U
b
merupakan faktor Cholesky segitiga
bawah dari V
b
, sedemikian sehingga V
b
= U
b
U
b ׳
dan V
e
= U
e
U
e ׳
,
sedangkan b = U
b
b dan ε = U
e
ε. Komponen b bersesuaian dengan komponen ragam yang diasumsikan bernilai nol. V
y
= ZV
b
Z
׳
+ Ve.
Berdasarkan persamaan 2.3, maka fungsi log kemungkinannya adalah:
l , l ,
2.5 =
2 log
1 2
l 1
2
y 1
- merupakan gabungan antara galat intra-subyek dengan pengaruh acak. Searle et al. 1992 mendefinisikan kembali fungsi log kemungkinan 2.5 dengan
memisahkan pengaruh galat intra subyek dengan pengaruh acak
= 2
log 1
2 l
1 2
2.6 dengan
ε = U
e -1
y- -ZU
b
b. Berdasarkan persamaan 2.6 yang
diturunkan terhadap
dan b diperoleh persamaan model campuran Henderson,
yaitu:
e e
b b
b e
b q
̂ ̂
= [
e e
]
2.7
̂ dan ̂
merupakan penduga kemungkinan maksimum bagi
dan Best Linear Unbiased Predictor BLUP bagi b. Untuk dan
diketahui pendugaan dapat dilakukan dengan mengoptimisasi fungsi log kemungkinan
kemudian memprediksi b dengan menggunakan persamaan 2.7. Penduga bagi
dan b
dapat juga dihitung dengan menggunakan persamaan 2.7 secara bersamaan. Turunan pertama dari persamaan 2.6 terhadap
dan b dapat ditulis juga ke
dalam bentuk persamaan berikut, yaitu:
e 1
̂ ̂ 2.8
̂ ̂ ̂
=0 dengan
̂ ̂ ̂
̂ . Persamaan pendugaan bagi dan b
pada persamaan 2.7 atau 2.8 selanjutnya disebut persamaan pendugaan pertama dan kedua.
6 Persamaan pendugaan bagi dan
σ dapat diperoleh dari turunan pertama fungsi kemungkinan maksimum 2.6 terhadap dan
σ, persamaan ini selanjutnya disebut persamaan pendugaan ketiga dan keempat, yaitu:
̂ ̂
̂ ̂
= ̂
2
2.9
̂
e b
̂ θ
l
̂ = ̂2 tr
y 1
̂
b
̂ θ
l
, l=1,2,…,
Sifat dalam pendugaan ML adalah tidak adanya pertimbangan mengenai hilangnya derajat bebas sebagai akibat menduga pengaruh tetap
, maka penduga
MLE bagi merupakan penduga yang berbias. Untuk mengeliminasi bias ini dikembangkan bentuk alternatif dari metode MLE yakni penduga REML. Metode
sederhana untuk mencari persamaan pendugaan dengan metode REML adalah dengan mengganti sisi kanan dari persamaan 2.9 dengan nilai harapan dari
penduga pada sisi kanan. Catat bahwa
̂
-
̂ ,
̂ θ ,
̂ ̂ ̂
[ ̂ ̂
] ̂
Persamaan pendugaan REML ketiga dan keempat adalah:
̂ ̂
[ ̂ ̂
] 2.10
̂
l
̂ ̂ tr ̂
̂
l
̂ 2.11
2.5 Metode Pendugaan Kekar Huber
2.5.1 Metode pendugaan kekar huber klasik
Penduga Huber pertama kali dikenalkan oleh Huber pada tahun 1964 sebagai alternatif penduga regresi kekar untuk MKT. Metode ini mengasumsikan
bahwa diketahui dan merupakan parameter yang hanya digunakan untuk
menduga pengaruh tetap . Salah satu fungsi- Huber fungsi obyektif adalah:
= { 1
2
2
≤ 1
2
2
dengan c merupakan konstanta yang ditetapkan. Penentuan nilai c ini sangat penting, yaitu jika nilainya besar penduga kekar yang dihasilkan sama dengan
penduga klasik, tapi jika nilainya kecil penduga yang dihasilkan lebih kekar Wu 2010. Sedangkan fungsi-
ψ Huber fungsi pengaruh yang merupakan turunan pertama dari fungsi obyektif di atas adalah:
= ρ
= { ≤
Kategori