mangsa-pemangsa-parasit yang menggambarkan dinamika populasi udang penaid Penaeidae sp sebagai mangsa, WSD sebagai penyakit dan burung blekok A.
ralloides sebagai pemangsanya di perairan estuari. Estuari adalah perairan pantai setengah tertutup tempat air laut bertemu dengan air tawar KBBI 2011.
Adapun model mangsa-pemangsa yang telah diformulasikan oleh para ahli di antaranya adalah model mangsa pemangsa Holling, model mangsa-pemangsa
dengan pemanenan konstan, dan model mangsa-pemangsa dengan penyakit. Dari penelitian sebelumnya, maka dipandang perlu menambahkan
pemanenan sebagai parameter kontrol terhadap penyakit pada mangsa sampai sejauh mana pemanenan tersebut berkontribusi dalam mengurangi atau bahkan
dapat menghilangkan penyakit pada mangsa yang terinfeksi penyakit Bairagi et al. 2009, dengan menganggap bahwa pemanenan terhadap mangsa yang rentan
juga diperhitungkan.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini ialah: 1.
Memelajari pengaruh pemanenan sebagai kontrol terhadap penyakit pada model mangsa-pemangsa-parasit dengan memerhitungkan pemanenan terhadap
mangsa yang rentan. 2.
Melakukan analisis kestabilan terhadap model mangsa-pemangsa-parasit dengan pemanenan sebagai kontrol terhadap penyakit.
3. Menerapkan model mangsa-pemangsa-parasit dengan pemanenan pada
populasi udang penaid Penaeidae sp di perairan estuari.
II LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Diferensial SPD
Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut:
= f 2.1
dengan xt =
f t, x = Jika f taklinear pada
maka sistem 2.1 disebut sistem persamaan diferensial taklinear dan jika f linear maka SPD 2.1 disebut linear.
Braun 1983
2.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear SPDL
Suatu sistem persamaan diferensial linear dinyatakan sebagai berikut: ,
2.2 dengan adalah matriks koefisien konstan berukuran
dan adalah vektor konstan. Jika
, maka sistem dikatakan homogen dan jika , maka
sistem dikatakan takhomogen. Tu 1994
2.3 Sistem Persamaan Diferensial Mandiri
Jika sistem 2.1 tidak memuat variabel waktu t secara eksplisit maka disebut sistem persamaan diferensial mandiri yang dapat ditulis:
= fx. 2.3
Verhulst 1990
2.4 Titik Tetap
Diberikan sistem persamaan diferensial mandiri
= fx. 2.4
Titik disebut titik tetap jika f
Titik tetap disebut juga titik kesetimbangan atau titik kritis.
Tu 1990
2.4.1 Titik Tetap Stabil
Misalkan adalah titik tetap SPD dan xt adalah sebuah solusi SPD
dengan nilai awal x0 = dengan
dikatakan titik tetap stabil, jika untuk sembarang 0 terdapat r 0 sedemikian sehingga jika posisi awal
memenuhi maka solusi xt memenuhi
, untuk setiap t 0.
Vershult 1990
2.4.2 Titik Tetap Takstabil
Misalkan dan xt adalah sebuah solusi
SPD dengan nilai awal x0 = dengan
Titik dikatakan titik tetap
takstabil jika terdapat 0 dengan ciri untuk sebarang r 0 terdapat posisi awal memenuhi
sehingga solusi xt memenuhi , untuk
paling sedikit satu t 0. Verhulst 1990
Untuk menganalisis kestabilan titik tetap dari suatu SPD taklinear dapat dilakukan dengan pelinearan pada sistem persamaan diferensialnya.
2.5 Pelinearan
Misalkan diberikan SPDTL sebagai berikut:
= fx. 2.5
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk suatu titik tetap, maka persamaan 2.5 dapat ditulis sebagai berikut:
+ 2.6
dengan
2.7
dan adalah suku berorde tinggi yang bersifat
Selanjutnya disebut sistem pelinearan dari sistem taklinear persamaan 2.5.
Tu 1994
2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan berukuran n × n, dan SPD linear
takhomogen berikut:
= x + b. 2.8
Suatu vektor taknol x dalam ruang disebut vektor eigen dari jika untuk suatu
skalar berlaku:
x = x. 2.9
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai dari matriks , maka persamaan 2.9 dapat ditulis kembali sebagai berikut:
− Ix = 0,
2.10
dengan I matriks identitas. Persamaan 1.11 mempunyai solusi taknol jika dan
hanya jika = 0.
2.11
Persamaan 2.11 disebut persamaan karakteristik dari matriks .
Anton 1995
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Suatu model populasi dengan K spesies, yaitu yang
berinteraksi dalam suatu komunitas dapat ditulis:
2.12
atau dapat ditulis dalam bentuk notasi vektor
x. 2.13
