Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T bersifat stabil
menuju titik jika kondisi berikut terpenuhi:
0 atau ekivalen dengan E . Kondisi E
menunjukkan bahwa kestabilan akan tercapai jika pemanenan mangsa rentan lebih besar daripada laju pertumbuhan. Namun
demikian, kondisi ini akan membuat semua populasi habis di akhir periode. Jika kondisi E tidak terpenuhi maka titik T
bersifat takstabil.
4.2.2 Kestabilan di titik
Dengan mensubstitusikan titik tetap T
1
1
Kq E K
r
, 0, 0 ke dalam 4.3 diperoleh matriks Jacobi berikut:
1 1
1 1
1 1
2 1
. 1
r K
r Eq
Kn r Eq
r Eq
r a
k r EKq
EK q K
Eq r
ar d
n a
K r EKq
J
4.5
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut: =
= K =
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
1
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1
r E
q
.
1 2
r K E
K q q r
untuk
K
1
rK n d
dar E
q K d n
untuk
d a K
n K
.
Secara ringkas, kondisi kestabilan dapat dituliskan sebagai berikut:
1 2
r K K q
q r
E
1
, r
q
dengan .
lihat Lampiran 2
4.2.3 Kestabilan titik tetap T
2
Dengan mensubstitusikan titik tetap T
2
ke dalam 4.3 diperoleh matriks Jacobi berikut:
2
= 4.6
dengan:
2 11
H r
Eq K
2 12
H r
K Eq
K
13 2
H 1
a n
a Eq
1 2
21
H EK q
r K
Eq r
K
1 2
23 1
2
H m EK q
r K
Eq a
K r aK
r EK q
Erq
33 2
1 2
H .
am r
K an
d m
n a
Eq a
K r aK
r E K q
rq
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut:
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 4
4 4
4 2
r Eq
Eq K r
r Kr
EK q
Er q EKr q
K
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 4
4 4
4 2
r Eq
Eq K r
r Kr
EK q
Er q EKr q
K
3 2
1 2
an am
r K
d m
n a
Eq a
K r aK
r E K q
rq
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
2
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1 2
r K E
K q rq
dengan
K 1
2 r K
E K q
rq
dengan
K
atau E .
Untuk kondisi yang ketiga didapat dengan memasukkan nilai parameter selain E, , m dan n. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Lampiran 3.
Secara ringkas, kondisi kestabilan T
2
dapat dituliskan sebagai berikut: E
q1 q2
r K K
r
dengan .
4.2.4 Kestabilan titik tetap T
