Tu 1994
2.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diberikan matriks koefisien konstan berukuran n × n, dan SPD linear
takhomogen berikut:
= x + b. 2.8
Suatu vektor taknol x dalam ruang disebut vektor eigen dari jika untuk suatu
skalar berlaku:
x = x. 2.9
Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai dari matriks , maka persamaan 2.9 dapat ditulis kembali sebagai berikut:
− Ix = 0,
2.10
dengan I matriks identitas. Persamaan 1.11 mempunyai solusi taknol jika dan
hanya jika = 0.
2.11
Persamaan 2.11 disebut persamaan karakteristik dari matriks .
Anton 1995
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Suatu model populasi dengan K spesies, yaitu yang
berinteraksi dalam suatu komunitas dapat ditulis:
2.12
atau dapat ditulis dalam bentuk notasi vektor
x. 2.13
Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut: 1.
Menentukan titik tetap yang memenuhi fx
= 0. 2.
Pelinearen dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yakni =
2.14 atau dapat ditulis:
= 2.15
3.
Menentukan nilai eigen , dengan menyelesaikan det − I = 0. Nilai eigen akan memenuhi persamaan karakteristik sebagai berikut :
p +
. 2.16
Edelstein-Keshe 1988 4.
Jika nilai eigen semua bernilai real negatif, maka titik tetap x adalah stabil.
Jika nilai eigen tidak dapat ditentukan dengan mudah, maka kestabilan untuk k 2, dapat ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz berikut.
Kriteria Routh-Hurwitz
Diberikan persamaan karakteristik: p
+ .
2.17 Selanjutnya, didefinisikan matriks Hurwitz,
. 2.18
Semua nilai eigen dari persamaan karakteristik 2.17 memunyai bilangan
real negatif titik tetap x stabil jika dan hanya jika determinan dari semua
matriks Hurwitz 2.18 adalah positif, yaitu , untuk
. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, untuk suatu nilai k, dengan k = 2,3,4.
Titik tetap stabil jika dan hanya jika:
k = 2; ,
k = 3; ,
k = 4; .
Edelstein-Keshe 1988
III MODEL-MODEL DASAR
3.1 Model Pertumbuhan Logistik
Menurut Shones 1997 jumlah populasi pada waktu t disebut stok dan akan berubah bergantung pada perbedaan antara arus masuk dan arus keluar. Pada
kasus populasi ikan udang, terdapat faktor penangkapan dan faktor alamiah yang dapat memengaruhi arus masuk dan keluar. Faktor penangkapan adalah faktor
yang dilakukan oleh manusia dalam suatu periode tertentu yang akan memengaruhi tingkat stok, dan faktor alamiah adalah faktor yang disebabkan oleh
alam yang memengaruhi jumlah populasi. Adapun persamaan untuk faktor alamiah adalah sebagai berikut:
Perubahan netto dalam populasi = arus masuk arus keluar
= kelahiran + imigrasi – kematian + emigrasi.
Atau dapat ditulis: Perubahan netto dalam populasi
= perubahan internal + perubahan eksternal = kelahiran
–kematian + migrasi, dengan migrasi adalah imigrasi dikurangi emigrasi.
Misalkan nt merupakan variabel yang memberikan kontribusi pada perubahan internal. Ukuran populasi pada suatu waktu adalah xt, yang
menyatakan banyaknya individu pada waktu t, maka perubahan internal dari populasi adalah nt xt.
Misalkan juga mt menotasikan migrasi yang terjadi pada suatu interval waktu t, maka mt menotasikan perubahan eksternal, sehingga laju perubahan
populasi dxtdt diberikan oleh:
. dx
n t x t m t
dt
3.1 Jika diasumsikan tidak ada migrasi maka mt = 0 untuk setiap t. Jika
diasumsikan juga ada pengurangan dalam proses pertumbuhan populasi yang proporsional terhadap ukuran populasi, dengan kata lain laju pertumbuhan r
direduksi oleh faktor axt maka variabel yang memberikan kontribusi pada perubahan internal pada populasi menjadi
nt = r axt 3.2
Dari asumsi tentang migrasi dan perubahan internal, maka persamaan 3.1 dapat dituliskan sebagai berikut:
1 1
. dx
x x
r ax t
r r
x t dt r a
K
3.3 Persamaan 3.3 merupakan persamaan logistik. Parameter
menyatakan daya dukung lingkungan carrying capacity yang menyatakan kapasitas
maksimum populasi dalam lingkungan tersebut. Hal ini berarti jika di dalam populasi ada x individu, maka lingkungan masih dapat mendukung kehidupan
individu.
3.2 Beberapa Model Mangsa Pemangsa 3.2.1 Model mangsa-pemangsa Holling
