Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
2
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1 2
r K E
K q rq
dengan
K 1
2 r K
E K q
rq
dengan
K
atau E .
Untuk kondisi yang ketiga didapat dengan memasukkan nilai parameter selain E, , m dan n. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Lampiran 3.
Secara ringkas, kondisi kestabilan T
2
dapat dituliskan sebagai berikut: E
q1 q2
r K K
r
dengan .
4.2.4 Kestabilan titik tetap T
3
Dengan mensubstitusikan titik tetap
2 1
2
, , 0
r K Eq
EK q Eq
r K
ke dalam 4.3 diperoleh matriks Jacobi berikut
= 4.7
dengan: H
11
=
1
dr d a K
a K n
dEK d
n q
Kn d
n
H
12
=
ad r K
K d n
H
13
=
d
H
22
=
1 2
2
m d a
K r Knr
EK d
n q
ad Eq
d n
K d n
H
31
=
1
d a K r
Knr EK d
n q
Kn
H
32
= .
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut:
2 2
2 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
3 3
2 2
2 2
3 2
2 2
1 1
1
1 2
4 2
2 ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr ad nr
d Knr dKn r
d EKq d EKn q
dEKn q
.
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 3
3 2
2 2
2 3
2 2
2 1
2
1 1
1 2
4 2
2 ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr ad nr
d Knr dKn r
d EKq d EKn q
dEKn q
1 3
2 2
. m
d a K r
Knr EK
d n
q ad
Eq d
n K d
n
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
2
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1
adr Kr d
n E
Kq d n
dengan
d a K
n K
1
adr Kr d
n E
Kq d n
dengan
d a K
n K
1 2
ad mr K d
n K d
n mr
d n
E K d
n m q
d n
q
dengan
d n
. Secara ringkas, kondisi kestabilan T
2
dapat dituliskan sebagai
1 2
ad mr K d
n K d
n mr
d n
E K d
n m q
d n
q
1
adr Kr d
n Kq d
n
dengan
d a K
n K
.
4.2.5 Kestabilan titik tetap T
4
S ,
I ,
P
Titik tetap {
}
lihat Lampiran 1. Kestabilan titik tetap T
4
dapat ditentukan secara numerik dan didekati dengan pemilihan parameter E, , m dan n dapat dilihat lebih lanjut pada simulasi.
V SIMULASI
5.1 Parameter yang Ditetapkan
Untuk melakukan simulasi maka diperlukan beberapa parameter yang mendukung, parameter ditetapkan berdasarkan data-data sekunder yang diperoleh
dari berbagai sumber di antaranya Bairagi et al. 2009, Yusmansyah et al. 2005, Supriyadi et al. 2005 dan Lafferty Morris 1996.
Tabel 1 Notasi untuk variabel dan parameter Variabel
parameter Keterangan
Nilai S
Banyaknya populasi mangsa rentan Variabel
I Banyaknya populasi mangsa
terinfeksi Variabel
P Banyaknya populasi pemangsa
Variabel r
Laju kelahiran mangsa 3
K Daya dukung lingkungan
45 λ
Laju penyebaran penyakit Parameter
n Tingkat tertangkap mangsa rentan
Parameter m
Tingkat tertangkap mangsa terinfeksi 31n
a Tingkat kejenuhan pemangsa
15 µ
Laju kematian alami mangsa terinfeksi
0.24 α
Tingkat kemudahan mangsa mendapatkan mangsa
0.4
d q
1
q
2
E Laju kematian alami pemangsa
Kemampuan alat tangkap menangkap mangsa rentan
Kemampuan alat tangkap menangkap mangsa terinfeksi
Upaya pemanenan 0.09
0.2
0.5
Parameter
