Dari diagram kompartemen di atas dapat dibuat model persamaan diferensial:
1 dS
S I
rS IS
dt K
2
dI mIP
IS I
q EI dt
a I
. dP
m IP n SP
dP dt
a I
a S
Di sini d adalah laju kematian populasi pemangsa, n adalah tingkat tertangkapnya mangsa rentan oleh pemangsa dan m adalah tingkat tertangkapnya
mangsa, adalah tingkat kemudahan pemangsa dalam menundukkan mangsa karena kelebihan mangsa dan a adalah tingkat kejenuhan pemangsa untuk
menghabiskan mangsa dalam satuan waktu tertentu.
3.6.2 Penerapan Model
Dari asumsi di atas dan berdasarkan acuan dari tulisan Bairagi et al 2009, maka penulis akan menerapkan model tersebut pada populasi udang Penaeidae sp
di perairan estuari. Model mangsa-pemangsa-parasit yang dikaji dalam tulisan ini melibatkan
1. Populasi udang penaid Penaeidae sp sebagai mangsa, yang terbagi menjadi
dua kelas yaitu mangsa rentan S dan mangsa terinfeksi I. 2.
Penyakit yang menyerang udang penaid Penaeidae sp, yaitu bercak putih Whitespot disease oleh Javier et al 2010.
3. Populasi pemangsa yaitu burung blekok A. raloides sebagai pemangsa udang.
3.6.3 Kerangka Analisis
Adapun kerangka analisis yang akan dikaji dan diterapkan pada model adalah sebagai berikut:
1. Menentukan titik tetap dari model taklinear.
2. Melakukan pelinearan di sekitar titik tetap melalui matriks Jacobi.
3. Menentukan nilai eigen dengan matriks Jacobi dari masing-masing titik tetap
4. Menganalisis kestabilan nilai eigen yang telah didapat dari langkah 3.
5. Menentukan kriteria kestabilan berdasarkan parameter-parameter E,
dan n.
3.14
6. Membuat simulasi dengan mengubah-ubah parameter-parameter E,
dan n.pada langkah 5 yang diaplikasikan pada model mangsa-pemangsa-parasit di
perairan estuari.
3.6.4 Bagan Kerangka Analisis
Gambar 3 Bagan kerangka analisis Menentukan titik tetap dari
model taklinear
Melakukan pelinearan melalui matriks Jacobi
Menentukan nilai eigen untuk masing-masing titik tetap
Stabil, jika semua nilai
eigen bernilai negatif
Tidak stabil, jika ada nilai eigen yang
bernilai tak negatif Menganalisis
kestabilan nilai eigen
Menentukan parameter E, , m dan n
Simulasi dan analisis sensitivitas dengan mengubah parameter E, , m
dan n Titik tetap disubstitusi ke
matriks Jacobi
IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Penentuan Titik Tetap
Model mangsa-pemangsa-parasit dengan pemanenan yang dikaji dalam tulisan ini adalah sebagai berikut:
1
1 dS
S I
nSP rS
IS q ES
dt K
a S
2
dI mIP
IS I
q EI dt
a I
. dP
m IP n SP
dP dt
a I
a S
Dalam menentukan suatu solusi yang tidak berubah menurut waktu dapat menggunakan analisis titik tetap pada sistem persamaan diferensial. Untuk sistem
persamaan 4.1 titik tetap diperoleh pada saat
dS dt
,
dI dt
dan
dP dt
dengan syarat St 0, It 0 dan Pt 0.
Dengan menyelesaikan ketiga persamaan secara simultan diperoleh 5 lima titik tetap, yaitu:
1. Titik tetap T
0, 0, 0 2.
Titik tetap T
1
K 3.
Titik tetap T
2
4. Titik tetap T
3
5. Titik tetap T
4
S , I
, P Penentuan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 1.
Adapun penjelasan untuk ke-5 lima titik tetap di atas ialah 1 T 0, 0, 0
artinya pada akhir periode maka semua populasi akan musnah, 2 T
1
S, 0, 0 artinya pada akhir periode maka hanya populasi mangsa rentan yang akan tersisa,
3 T
2
S, P, 0 artinya pada akhir periode maka hanya populasi mangsa rentan dan populasi mangsa terinfeksi yang tersisa sedangkan populasi pemangsa musnah,
4 T
3
S, 0, P artinya pada akhir periode maka hanya populasi mangsa rentan dan pemangsa saja yang tersisa sedangkan populasi mangsa terinfeksi musnah, 5
T
4
S , I
, P artinya pada akhir periode semua populasi tetap ada.
4.1
4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan dari model 4.1 didefinisikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
1 1
, , 1
S I
nSP f S I P
rS IS
q ES K
a S
2 2
, , mIP
f S I P
IS I
q EI a
I
3
, , m IP
n SP f
S I P dP
a I
a S
Dengan menggunakan 1.16 terhadap 4.3 diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
1 2
2 2
2 2
2 .
x x
r I
K S
anP S r
K nS
I Eq
K K
a S
a S
amP Im
I S
Eq a
I a
I anP
amP Im
nS d
a I
a S
a S
a I
J
4.3 Penentuan matriks Jacobi ini dapat dilihat pada Lampiran 2.
4.2.1 Kestabilan titik tetap T
Titik tetap T 0, 0, 0 adalah titik tetap yang selalu stabil. Untuk
menentukan kestabilan titik tetap T 0, 0, 0 yaitu dengan melakukan pelinearan
pada 4.1 di atas. Titik T 0, 0, 0 disubstitusi ke matriks Jacobi 4.3, sehingga
diperoleh:
1 2
r Eq
Eq d
J
4.4 Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
diperoleh nilai-nilai eigen berikut:
. 4.2
