4.2 Analisis Kestabilan Titik Tetap
Misalkan dari model 4.1 didefinisikan fungsi-fungsi sebagai berikut:
1 1
, , 1
S I
nSP f S I P
rS IS
q ES K
a S
2 2
, , mIP
f S I P
IS I
q EI a
I
3
, , m IP
n SP f
S I P dP
a I
a S
Dengan menggunakan 1.16 terhadap 4.3 diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:
1 2
2 2
2 2
2 .
x x
r I
K S
anP S r
K nS
I Eq
K K
a S
a S
amP Im
I S
Eq a
I a
I anP
amP Im
nS d
a I
a S
a S
a I
J
4.3 Penentuan matriks Jacobi ini dapat dilihat pada Lampiran 2.
4.2.1 Kestabilan titik tetap T
Titik tetap T 0, 0, 0 adalah titik tetap yang selalu stabil. Untuk
menentukan kestabilan titik tetap T 0, 0, 0 yaitu dengan melakukan pelinearan
pada 4.1 di atas. Titik T 0, 0, 0 disubstitusi ke matriks Jacobi 4.3, sehingga
diperoleh:
1 2
r Eq
Eq d
J
4.4 Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
diperoleh nilai-nilai eigen berikut:
. 4.2
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T bersifat stabil
menuju titik jika kondisi berikut terpenuhi:
0 atau ekivalen dengan E . Kondisi E
menunjukkan bahwa kestabilan akan tercapai jika pemanenan mangsa rentan lebih besar daripada laju pertumbuhan. Namun
demikian, kondisi ini akan membuat semua populasi habis di akhir periode. Jika kondisi E tidak terpenuhi maka titik T
bersifat takstabil.
4.2.2 Kestabilan di titik
Dengan mensubstitusikan titik tetap T
1
1
Kq E K
r
, 0, 0 ke dalam 4.3 diperoleh matriks Jacobi berikut:
1 1
1 1
1 1
2 1
. 1
r K
r Eq
Kn r Eq
r Eq
r a
k r EKq
EK q K
Eq r
ar d
n a
K r EKq
J
4.5
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut: =
= K =
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
1
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1
r E
q
.
1 2
r K E
K q q r
untuk
K
1
rK n d
dar E
q K d n
untuk
d a K
n K
.
Secara ringkas, kondisi kestabilan dapat dituliskan sebagai berikut:
1 2
r K K q
q r
E
1
, r
q
dengan .
lihat Lampiran 2
4.2.3 Kestabilan titik tetap T
2
Dengan mensubstitusikan titik tetap T
2
ke dalam 4.3 diperoleh matriks Jacobi berikut:
2
= 4.6
dengan:
2 11
H r
Eq K
2 12
H r
K Eq
K
13 2
H 1
a n
a Eq
1 2
21
H EK q
r K
Eq r
K
1 2
23 1
2
H m EK q
r K
Eq a
K r aK
r EK q
Erq
33 2
1 2
H .
am r
K an
d m
n a
Eq a
K r aK
r E K q
rq
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut:
2 2
2 2
2 2
1 2
2 1
2 2
1 4
4 4
4 2
r Eq
Eq K r
r Kr
EK q
Er q EKr q
K
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
1 4
4 4
4 2
r Eq
Eq K r
r Kr
EK q
Er q EKr q
K
3 2
1 2
an am
r K
d m
n a
Eq a
K r aK
r E K q
rq
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
2
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1 2
r K E
K q rq
dengan
K 1
2 r K
E K q
rq
dengan
K
atau E .
Untuk kondisi yang ketiga didapat dengan memasukkan nilai parameter selain E, , m dan n. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Lampiran 3.
Secara ringkas, kondisi kestabilan T
2
dapat dituliskan sebagai berikut: E
q1 q2
r K K
r
dengan .
4.2.4 Kestabilan titik tetap T
3
Dengan mensubstitusikan titik tetap
2 1
2
, , 0
r K Eq
EK q Eq
r K
ke dalam 4.3 diperoleh matriks Jacobi berikut
= 4.7
dengan: H
11
=
1
dr d a K
a K n
dEK d
n q
Kn d
n
H
12
=
ad r K
K d n
H
13
=
d
H
22
=
1 2
2
m d a
K r Knr
EK d
n q
ad Eq
d n
K d n
H
31
=
1
d a K r
Knr EK d
n q
Kn
H
32
= .
Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh
nilai-nilai eigen berikut:
2 2
2 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
3 3
2 2
2 2
3 2
2 2
1 1
1
1 2
4 2
2 ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr ad nr
d Knr dKn r
d EKq d EKn q
dEKn q
.
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2
2 2
2 1
1 3
3 2
2 2
2 3
2 2
2 1
2
1 1
1 2
4 2
2 ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr adnr
dKnr d EKq
dEKn q dKn
Kn ad r
d Kr ad nr
d Knr dKn r
d EKq d EKn q
dEKn q
1 3
2 2
. m
d a K r
Knr EK
d n
q ad
Eq d
n K d
n
Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif, titik tetap T
2
bersifat stabil jika ketiga nilai eigen di atas bernilai negatif, yaitu ketika kondisi-kondisi berikut
terpenuhi:
1
adr Kr d
n E
Kq d n
dengan
d a K
n K
1
adr Kr d
n E
Kq d n
dengan
d a K
n K
1 2
ad mr K d
n K d
n mr
d n
E K d
n m q
d n
q
dengan
d n
. Secara ringkas, kondisi kestabilan T
2
dapat dituliskan sebagai
1 2
ad mr K d
n K d
n mr
d n
E K d
n m q
d n
q
1
adr Kr d
n Kq d
n
dengan
d a K
n K
.
4.2.5 Kestabilan titik tetap T
4
S ,
I ,
P
Titik tetap {
}
lihat Lampiran 1. Kestabilan titik tetap T
4
dapat ditentukan secara numerik dan didekati dengan pemilihan parameter E, , m dan n dapat dilihat lebih lanjut pada simulasi.
V SIMULASI
5.1 Parameter yang Ditetapkan
Untuk melakukan simulasi maka diperlukan beberapa parameter yang mendukung, parameter ditetapkan berdasarkan data-data sekunder yang diperoleh
dari berbagai sumber di antaranya Bairagi et al. 2009, Yusmansyah et al. 2005, Supriyadi et al. 2005 dan Lafferty Morris 1996.
Tabel 1 Notasi untuk variabel dan parameter Variabel
parameter Keterangan
Nilai S
Banyaknya populasi mangsa rentan Variabel
I Banyaknya populasi mangsa
terinfeksi Variabel
P Banyaknya populasi pemangsa
Variabel r
Laju kelahiran mangsa 3
K Daya dukung lingkungan
45 λ
Laju penyebaran penyakit Parameter
n Tingkat tertangkap mangsa rentan
Parameter m
Tingkat tertangkap mangsa terinfeksi 31n
a Tingkat kejenuhan pemangsa
15 µ
Laju kematian alami mangsa terinfeksi
0.24 α
Tingkat kemudahan mangsa mendapatkan mangsa
0.4
d q
1
q
2
E Laju kematian alami pemangsa
Kemampuan alat tangkap menangkap mangsa rentan
Kemampuan alat tangkap menangkap mangsa terinfeksi
Upaya pemanenan 0.09
0.2
0.5
Parameter
5.2 Simulasi Analisis Kestabilan
Tabel 2 Analisis sensitivitas untuk λ = 0.03, n = 0.029 dan m = 0.899
Titik tetap
Batas pemanenan
Nilai Nilai Titik tetap
gambar
T
4
E 1.64 E=1
E=1.4 E=1.6
39.7, 1.5, 8.4 38.5, 1.5, 3
38, 1, 1 7a
7b 7c
T
2
1.65 E 1.89 E = 1.8
37, 1, 0 7d
T
1
1.9 E 15 E=5
32, 0, 0 7e
T E 15
E=15 0, 0, 0
7f
Hasil simulasi untuk Tabel 2 di atas adalah sebagai berikut: Gambar 7a
50 100 150 200 250 300 350 Waktu
t
10 20
30 40
s,i,p
Predator Infected
Susceptible
Gambar 7c
50 100 150 200 250 300 350 Waktu
t
10 20
30 40
s,i,p
Predator Infected
Susceptible
Gambar 7d
50 100 150 200 250 300 350 Waktu
t
10 20
30 40
s,i, p
Predator Infected
Susceptible
Gambar 7b
50 100 150 200 250 300 350 Waktu
t 10
20 30
40 s,i,p
Predator Infected
Susceptible
Gambar 7 Hasil simulasi untuk λ = 0.03, n = 0.029 dan m = 0.899
Dari Gambar 7a pada awal periode laju pertumbuhannya mengalami penurunan sehingga laju pertumbuhan mangsa terinfeksi meningkat dan kemudian
konstan dan kembali menurun pada hari ke-50 sampai seterusnya mengalami fluktuasi, pada hari ke-200 laju pertumbuhan mangsa rentan telah mengalami
kestabilan, untuk pemangsa kestabilan terjadi pada hari ke-300 begitu juga pada mangsa terinfeksi, pada pemanenan ini dikatakan sudah ideal karena jumlah
populasi mangsa rentan meningkat dari jumlah awal, jumlah populasi pemangsa menurun, sehingga mangsa terinfeksi menurun sangat tajam. Sedangkan untuk
Gambar 2 keadaannya sudah tidak ideal karena jumlah populasi pemangsa hampir mendekati jumlah populasi mangsa terinfeksi, jika pemanenan terus ditingkatkan
maka semua populasi akan musnah seperti yang terlihat pada Gambar 7f. Tabel 3 Analisis sensitivitas untuk
λ = 0.3, n = 0.200 dan m = 6.2
Titik tetap
Batas pemanenan
Nilai Nilai Titik tetap
gambar T
4
E 3.97 E = 1
E = 3 40, 0.07, 27
34, 0.08, 20 8a
8b T
2
3.97 E 9.11
E = 5.5 E = 8
E = 9 27, 0. 17
20, 0. 4 17, 0, 1
8c 8d
8e T
1
9. 10 E 15 E =10 15, 0, 0
8f
Hasil simulasi untuk Tabel 3 di atas adalah sebagai berikut: Gambar 7e
50 100 150 200 250 300 350 Waktu
t
10 20
30 40
s,i, p
Predator Infected
Susceptible
Gambar 7f
50 100 150 200 250 300 350 Waktu
t
5 10
15 20
s,i, p
Predator Infected
Susceptible
Kategori