2.1.6 Sistem Persamaan Linear 2.1.6.1 Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Menurut Johannes 2006:132, bentuk umum dalam persamaan linear dua variabel dalam x dan y dapat dituliskan sebagai berikut :
c by
ax =
+
, dengan a,b,c bilangan real Contoh persamaan linear dengan dua variabel:
12 3
2 =
+ y x
7 2
5 -
= y x
6 -
= x y
Contoh bukan persamaan linear dengan dua variabel:
3 + y
x
tidak terdapat tanda =
3 2 =
+ +
z y
x
terdapat 3 variabel
2.1.6.2 Penyelesaian Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Bila p
x = dan
q y =
, sedemikian hingga persamaan
c by
ax =
+
menjadi
c bq
ap =
+
merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka p,q disebut penyelesaian dari persamaan
c by
ax =
+
.
2.1.6.3 Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel SPLDV
Menurut Wirodikromo 2007: 109, SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai
î í
ì =
+ =
+ r
qy px
c by
ax atau
î í
ì =
+ =
+
2 2
2 1
1 1
c y
b x
a c
y b
x a
dengan
r q
p c
b a
, ,
, ,
,
atau
2 1
2 1
2 1
, ,
, ,
, c
c b
b a
a merupakan bilangan real. Untuk
selanjutnya digunakan bentuk umum SPLDV yang kedua.
Jika
2 1
= = c
c maka SPLDV itu dinamakan homogen, sedangkan jika
1
¹ c
atau
2
¹ c
maka SPLDV itu dinamakan tak homogen.
2.1.6.4 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Jika nilai
x x =
dan
y y =
dalam pasangan terurut ditulis
, y x
, memenuhi SPLDV
î í
ì =
+ =
+
2 2
2 1
1 1
c y
b x
a c
y b
x a
maka haruslah berlaku hubungan
1 1
1
c y
b x
a =
+
dan
2 2
2
c y
b x
a =
+
. Dalam hal demikian, maka
, y x
disebut penyelesaian SPLDV itu dan himpunan penyelesaiannya ditulis
{ }
, y x
. Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan dua
peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:
1 Metode grafik Langkah-langkah untuk menentukan himpunan penyelesaian SPLDV
dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut: Langkah 1
Gambarkan grafik dari masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesius.
Langkah 2 · Jika kedua garis berpotongan pada satu titik, maka himpunan penyelesaiannya
tepat memiliki satu anggota.
· Jika kedua garis sejajar, maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota.
· Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.
Dengan menggunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis sejajar dan dua garis berimpit, banyaknya anggota dari himpunan penyelesaian SPLDV
î í
ì =
+ =
+
2 2
2 1
1 1
c y
b x
a c
y b
x a
dapat ditetapkan sebagai berikut · Jika
1 2
2 1
¹ - b
a b
a , maka sistem persamaan tepat memiliki satu anggota
dalam himpunan penyelesaiannya. · Jika
1 2
2 1
= - b
a b
a dan
1 2
2 1
¹ - c
a c
a atau
1 2
2 1
¹ - b
c b
c , maka SPLDV
tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya. · Jika
1 2
2 1
= - b
a b
a dan
1 2
2 1
= - c
a c
a atau
1 2
2 1
= - b
c b
c , maka SPLDV
memiliki anggota yang tak hingga banyaknya. 2 Metode substitusi
Penyelesaian SPLDV dengan memakai metode substitusi dapat ditentukan dengan memakai langkah-langkah sebagai berikut:
Langkah 1 Pilihlah salah satu persamaan jika ada, pilih yang sederhana, kemudian nyatakan
x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x. Langkah 2
Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain
3 Metode eliminasi Penyelesaian SPLDV dua peubah dengan metode eliminasi dapat
ditentukan sebagai berikut. Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y, sedangkan nilai y dicari
dengan cara mengeliminasi peubah x. 4 Metode eliminasi substitusi
Metode ini merupakan metode gabungan antara metode eliminasi dan metode substitusi. Oleh karena itu, metode ini sering disebut metode gabungan.
Langkah-langkah dalam metode ini merupakan gabungan dari langkah- langkah pada metode eliminasi dan metode substitusi.
Langkah 1 Menggunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x saja atau y saja tetapi tidak
keduanya. Langkah 2
Menggunakan metode substitusi untuk mencari nilai variabel yang belum ditemukan nilainya.
5 Metode determinasi Metode ini tidak dibahas pada kelas X SMA.
2.1.6.5 Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel SPLTV
