174
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Perhatikan uraian berikut. Pada Gambar 7.10 di samping, lingkaran berpusat di titik O
dengan jari-jari OB dan OB A
garis AB. Garis AB adalah garis singgung lingkaran melalui titik A di luar lingkaran.
Perhatikan segitiga siku-siku ABO. Dengan teorema Pythagoras berlaku
2 2
2 2
2 2
2 2
OB AB
OA AB
OA OB
AB OA
OB Panjang garis singgung lingkaran AB =
2 2
OA OB
.
A B
O
Gambar 7.10
Diketahui lingkaran berpu- sat di titik O dengan jari-
jari OB = 5 cm. Garis AB adalah garis singgung ling-
karan yang melalui titik A di luar lingkaran. Jika jarak
OA = 13 cm maka a. gambarlah sketsanya;
b. tentukan panjang garis
singgung AB.
Penyelesaian: a. Sketsa
b.
2 2
2 2
AB OA
OB 13
5 169
25 144
12
Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.
A B
O 13 cm
5 cm
4. Layang-Layang Garis Singgung
Perhatikan Gambar 7.11.
A
B P
O
Gambar 7.11
Di unduh dari : Bukupaket.com
175
Garis Singgung Lingkaran
Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Dengan demikian
OAP = OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur.
Perhatikan OAB.
Pada OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga OAB adalah
segitiga sama kaki. Sekarang, perhatikan
ABP. Pada
ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ABP adalah segitiga sama kaki.
Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB
yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB merupakan
layang-layang. Karena sisi layang- layang OAPB terdiri dari
jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garis
singgung. a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar
lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-
layang.
b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari
kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.
Gambar 7.12
Perhatikan gambar di atas. Dari titik P di luar lingkaran
yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA
dan PB. Jika panjang OA = 9 cm dan OP = 15 cm,
hitunglah
Penyelesaian: Perhatikan
OAP. a.
OAP siku-siku di titik A, sehingga
2 2
2 2
2
AP OP
OA 15
9 225 81
144 AP
144 12 cm
A
B P
O
Di unduh dari : Bukupaket.com
176
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
b. Luas OAP
2
1 OA AP
2 1
9 12 2
54 cm u
u u u
c. Luas layang-layang OAPB
2
2 luas OAP 2 54
108 cm u
u
d. Luas layang-layang 1
OAPB OP AB
2 1
108 15 AB
2 108 2
AB 15
14, 4 cm u
u u u
u
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
a. panjang AP; b. luas
OAP; c. luas layang-layang
OAPB; d. panjang tali busur AB.
1.
p l
k
n m
Dari garis-garis k, l, m, n, dan p pada
gambar di atas, manakah yang merupakan garis singgung lingkaran?
2. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat di titik O0, 0 dengan jari-jari
5 satuan panjang. Selanjutnya lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik
A0, 5.
3. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik P3, 2 dan jari-jari
4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik
Q–1, 2. 4. Berdasarkan keterangan pada gambar
berikut, hitunglah panjang setiap garis singgung lingkarannya.
a.
Q P
O
7 cm 5
cm
b.
A B
O
26 cm 1
cm
c.
O P
Q
1 2
cm 20 cm
Di unduh dari : Bukupaket.com
177
Garis Singgung Lingkaran
5.
A B
C O
Pada gambar di atas, garis AB dan AC adalah garis singgung lingkaran yang
melalui titik A. Jika OB = 10 cm dan OA = 26 cm maka tentukan
a. panjang garis singgung AB; b. luas layang-layang OBAC;
c. panjang tali busur BC.
C. KEDUDUKAN DUA LINGKARAN
