PERSAMAAN L INEAR S ATU VARIABEL PERSAMAAN LINEAR DUA V ARIABEL 1. Pengertian Persamaan Linear Dua V ariabel

96 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Tentukan himpunan pe- nyelesaian persamaan berikut. a. 3 x + 1 = 4; x  B B himpunan bilangan bulat b. 2 y + 5 = –3y + 7; x  Q Q himpunan bilangan rasional Penyelesaian: a. 3 x + 1 = 4 3 1 1 4 1 3 3 1 1 3 3 3 3 1 œ œ œ u u œ x x x x Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1}. b. 2 y + 5 = –3y + 7 2 5 5 3 7 5 2 3 2 2 3 3 3 2 5 2 1 1 5 2 5 5 œ œ œ œ œ u u y y y y y y y y y y Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai terlebih dahulu mengenai persamaan linear satu variabel, himpunan, sistem koordinat Cartesius, dan persamaan garis lurus.

A. PERSAMAAN L INEAR S ATU VARIABEL

Coba kalian ingat kembali mengenai persamaan linear satu variabel yang telah kalian pelajari di kelas VII. Perhatikan persamaan-persamaan berikut. 1. 2 x + 5 = 3 2. 1 – 2 y = 6 3. z + 1 = 2z Variabel pada persamaan 1 adalah x, pada persamaan 2 adalah y, dan pada persamaan 3 adalah z. Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear satu variabel, karena masing-masing persamaan memiliki satu variabel dan berpangkat satu. Variabel x, y, dan z adalah variabel pada himpunan tertentu yang ditentukan dari masing-masing persamaan tersebut. Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax = b atau ax + b = c dengan a, b, dan c adalah konstanta, a z 0, dan x variabel pada suatu himpunan. Berpikir kritis Buatlah tabel pasang- an nilai x, y yang me- menuhi persamaan garis y = 2x – 3 dan 3x – 4y = 7. Kemudian, gambarlah kedua persamaan t ersebut dalam b idang k oordi- nat Cartesius. Di manakah titik potongnya? Lalu, tentukan titik potong kedua persamaan tersebut tanpa meng- gambar grafiknya. Bandingkan hasilnya. Apakah hasil yang kalian peroleh sama? Di unduh dari : Bukupaket.com 97 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel 2 5 œ y Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah ` 2 5 . Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut jika variabelnya pada himpunan bilangan bulat. 1. 3 x + 2 = 8 2. 23 x + 6 = 3x – 2 3. 1 2 3 3 6 15 2 3 p p 4. 3 x – 4 = x – 8 5. 5 p – p = –16 6. 2 2 3 6 3 x 7. r + 5 = 7 8. 2 3 5 4 4 2 4 y y 9. 5 x + 3 = 2x – 9 10. 2 3 5 6 4 2 4 x x

B. PERSAMAAN LINEAR DUA V ARIABEL 1. Pengertian Persamaan Linear Dua V ariabel

Coba kalian ingat kembali bahwa persamaan garis lurus pada bidang Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c konstanta real dengan a, b z 0, dan x, y adalah variabel pada himpunan bilangan real. Perhatikan persamaan-persamaan berikut. a. x + 5 = y b. 2 a – b = 1 c. 3 p + 9q = 4 Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q. Perhatikan bahwa pada setiap contoh persamaan di atas, banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu. Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c  R, a, b z 0, dan x, y suatu variabel. Menumbuhkan kreativitas Bacalah buku-buku referensi yang berkait- an dengan materi persamaan. Pelajari m engenai bentuk-bentuk persa- maan. Buatlah u lasan mengenai b entuk- bentuk persamaan. Berikan contoh-contoh yang mendukung. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas. Di unduh dari : Bukupaket.com 98 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Perhatikan persamaan x + y = 5. Persamaan x + y = 5 masih merupakan kalimat terbuka, artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika nilai x kita ganti bilangan 1 maka nilai y yang memenuhi adalah 4. Karena pasangan bilangan 1, 4 memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan x + y = 5 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa 1, 4 merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 5. Apakah hanya 1, 4 yang merupakan penyelesaian x + y = 5? Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari x + y = 5 dengan x + y variabel pada himpunan bilangan cacah maka kita harus mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mencari nilai x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 5 akan lebih mudah dengan membuat tabel seperti berikut. Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan x + y = 5 adalah {0, 5, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 5, 0}. Gambar grafik persamaan x + y = 5 pada bidang Cartesius tampak seperti Gambar 4.1 berikut. 1 2 4 3 2 1 _1 _2 3 4 5 6 7 8 5 _3 X Y _4 6 9 Gambar 4.1 Jika x dan y variabel pada himpunan bilangan cacah maka grafik penyelesaian persamaan x + y = 5 berupa noktahtitik-titik. Adapun, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real maka titik-titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk garis lurus seperti Gambar 4.2. x 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 x, y 0, 5 1, 4 2, 3 3, 2 4, 1 5, 0 Di unduh dari : Bukupaket.com 99 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Jika kalian ambil pasangan bilangan 2, 1 dan disubstitusikan pada persamaan x + y = 5 maka diperoleh 2 + 1 z 5 kalimat salah. Karena pasangan bilangan 2, 1 tidak memenuhi persamaan x + y = 5 maka bilangan 2, 1 disebut bukan penyelesaian persamaan x + y = 5. 1 2 4 3 2 1 3 4 5 X Y 6 5 6 Gambar 4.2 1. Gambarlah grafik him- punan penyelesaian persamaan x + 2y = 4 untuk x, y variabel pada himpunan bilangan cacah. Penyelesaian: Buatlah tabel untuk menentukan pasangan bilangan x, y yang memenuhi persamaan x + 2y = 4. 1 2 4 3 2 1 3 5 X Y 0, 2 2, 1 4, 0 6 4 Gambar 4.3 Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 4 dengan x, y variabel pada himpunan bilangan cacah adalah {0, 2, 2, 1, 4, 0}. Grafiknya seperti tampak pada Gambar 4.3. x 2 4 y 2 1 x, y 0, 2 2, 1 4, 0 Berpikir kritis Perhatikan pernyataan berikut. 1. Jika x dan y bilang- an cacah maka grafik penyelesaian persamaan ax + by = c pada bidang Cartesius berupa noktahtitik. 2. Jika x dan y bilang- an real maka grafik penyelesaian per- samaan ax + by = c pada bidang Carte- sius membentuk garis lurus. Tunjukkan alasan per- bedaan kedua pernya- taan di atas. Di unduh dari : Bukupaket.com 100 Matematika Konsep dan Aplikasinya 2 Penyelesaian: Untuk mempermudah dalam menggambar grafik persamaan 2 x – y = 4 dibuat tabel berikut. Karena x, y variabel pada himpunan bilangan real, maka grafik himpunan penyelesaiannya berbentuk garis lurus, seperti tampak pada Gambar 4.4. Semua titik-titik yang terletak pada garis tersebut merupa- kan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 x – y = 4. 2. Gambarlah grafik himpunan penyelesaian persamaan 2 x – y = 4 untuk x, y variabel pada himpunan bilangan real. x 2 y –4 x, y 0, –4 2, 0 1 2 3 2 1 3 X Y _1 _2 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9 _3 4 4 Gambar 4.4 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Bandingkan persamaan-persamaan berikut dengan bentuk persamaan ax + by = c, kemudian tentukan nilai a, b, dan c. a. 3 x + 2y = 0 c. x + 2y = 5 b. 2 x – 5y = 3 d. 1 3 5 y x 2. Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk ax + by = c, kemudian tentukan koefisien dari masing-masing variabel. a. x = 2y – 5 b. x + 3y + 1 = 0 Di unduh dari : Bukupaket.com 101 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel c. 3 x – 1 = 2y d. 1 2 2 y x 3. Tentukan himpunan penyelesaian persa- maan berikut jika x, y variabel pada him- punan bilangan cacah. Kemudian, gam- bar grafik dari masing-masing persamaan tersebut pada bidang koordinat Cartesius. a. x + y = 3 c. x + 2y = 4 b. 2 x + 3y = 6 d. 3 x – y = 6 4. Tentukan persamaan dari grafik berikut ini. a. Y X 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 0, 6 1, 5 2, 4 3, 3 4, 2 5, 1 6, 0 1 3 b. Y X 1 1 2 2 3 4 5 6 7 1 2 1 2 3 3 4 5 6 5. Tentukan himpunan penyelesaian per- samaan berikut jika x, y variabel pada himpunan bilangan real. Kemudian, gambarlah grafik dari masing-masing persamaan tersebut pada bidang Cartesius. a. 2 x + y = 6 b. 2 x + 3y = 12 c. 1 2 2 y x d. 1 1 1 4 3 2 x y

C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL