96
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Tentukan himpunan pe- nyelesaian persamaan
berikut. a. 3
x + 1 = 4; x
B B himpunan bilangan
bulat b. 2
y + 5 = –3y + 7; x
Q
Q himpunan bilangan rasional
Penyelesaian: a.
3 x + 1 = 4
3 1 1
4 1 3
3 1
1 3
3 3
3 1
u
u
x x
x x
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1}. b.
2 y + 5 = –3y + 7
2 5 5
3 7 5
2 3
2 2
3 3
3 2
5 2
1 1
5 2
5 5
u
u y
y y
y y
y y
y y
y Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian harus
menguasai terlebih dahulu mengenai persamaan linear satu variabel, himpunan, sistem koordinat Cartesius, dan persamaan garis lurus.
A. PERSAMAAN L INEAR S ATU VARIABEL
Coba kalian ingat kembali mengenai persamaan linear satu variabel yang telah kalian pelajari di kelas VII.
Perhatikan persamaan-persamaan berikut. 1. 2
x + 5 = 3 2. 1 – 2
y = 6 3.
z + 1 = 2z Variabel pada persamaan 1 adalah
x, pada persamaan 2 adalah
y, dan pada persamaan 3 adalah z. Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear satu variabel, karena
masing-masing persamaan memiliki satu variabel dan berpangkat satu. Variabel
x, y, dan z adalah variabel pada himpunan tertentu yang ditentukan dari masing-masing persamaan tersebut.
Persamaan linear satu variabel dapat dinyatakan dalam bentuk
ax = b atau ax + b = c dengan a, b, dan c adalah konstanta,
a
z
0, dan x variabel pada suatu himpunan.
Berpikir kritis Buatlah tabel pasang-
an nilai x, y yang me- menuhi persamaan
garis y = 2x – 3 dan 3x – 4y = 7. Kemudian,
gambarlah kedua persamaan t ersebut
dalam b idang k oordi- nat Cartesius.
Di manakah titik potongnya? Lalu,
tentukan titik potong kedua persamaan
tersebut tanpa meng- gambar grafiknya.
Bandingkan hasilnya. Apakah hasil yang
kalian peroleh sama?
Di unduh dari : Bukupaket.com
97
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
2 5
y
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
`
2 5
.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. Tentukan himpunan penyelesaian dari
persamaan berikut jika variabelnya pada himpunan bilangan bulat.
1. 3 x + 2 = 8
2. 23 x + 6 = 3x – 2
3. 1
2 3
3 6
15 2
3 p
p 4. 3
x – 4 = x – 8 5. 5
p – p = –16 6.
2 2
3 6
3 x
7. r + 5 = 7
8.
2 3
5 4
4 2
4 y
y
9. 5 x + 3 = 2x – 9
10. 2
3 5
6 4
2 4
x x
B. PERSAMAAN LINEAR DUA V ARIABEL 1. Pengertian Persamaan Linear Dua V ariabel
Coba kalian ingat kembali bahwa persamaan garis lurus pada bidang Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk
ax + by = c dengan
a, b, c konstanta real dengan a, b
z
0, dan x, y adalah
variabel pada himpunan bilangan real. Perhatikan persamaan-persamaan berikut.
a. x + 5 = y
b. 2 a – b = 1
c. 3 p + 9q = 4
Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan
x + 5 = y adalah
x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1 adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q.
Perhatikan bahwa pada setiap contoh persamaan di atas, banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu.
Persamaan linear dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk
ax + by = c dengan a, b, c
R, a, b
z
0, dan x, y
suatu variabel.
Menumbuhkan kreativitas
Bacalah buku-buku referensi yang berkait-
an dengan materi persamaan.
Pelajari m engenai bentuk-bentuk persa-
maan. Buatlah u lasan
mengenai b entuk- bentuk persamaan.
Berikan contoh-contoh yang mendukung.
Ceritakan hasilnya secara singkat di
depan kelas.
Di unduh dari : Bukupaket.com
98
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Perhatikan persamaan x + y = 5. Persamaan x + y = 5 masih
merupakan kalimat terbuka, artinya belum mempunyai nilai
kebenaran. Jika nilai x kita ganti bilangan 1 maka nilai y yang
memenuhi adalah 4. Karena pasangan bilangan 1, 4 memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan
x + y = 5 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa 1, 4 merupakan salah
satu penyelesaian dari persamaan x + y = 5.
Apakah hanya 1, 4 yang merupakan penyelesaian x + y =
5? Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari x + y = 5 dengan
x + y variabel pada himpunan bilangan cacah maka kita harus mencari nilai
x dan y yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mencari nilai
x dan y yang memenuhi persamaan x + y = 5 akan lebih mudah dengan membuat tabel seperti berikut.
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan x + y = 5 adalah
{0, 5, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 5, 0}. Gambar grafik persamaan x + y = 5 pada bidang Cartesius tampak seperti Gambar 4.1 berikut.
1 2
4 3
2 1
_1 _2
3 4
5 6
7 8
5 _3
X Y
_4 6
9
Gambar 4.1
Jika x dan y variabel pada himpunan bilangan cacah maka
grafik penyelesaian persamaan x + y = 5 berupa noktahtitik-titik.
Adapun, jika x dan y variabel pada himpunan bilangan real maka
titik-titik tersebut dihubungkan sehingga membentuk garis lurus seperti Gambar 4.2.
x 1
2 3
4 5
y 5
4 3
2 1
x, y 0, 5 1, 4 2, 3 3, 2 4, 1 5, 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
99
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Jika kalian ambil pasangan bilangan 2, 1 dan disubstitusikan pada persamaan
x + y = 5 maka diperoleh 2 + 1
z
5 kalimat salah. Karena pasangan bilangan 2, 1 tidak memenuhi persamaan
x + y = 5 maka bilangan 2, 1 disebut bukan penyelesaian persamaan
x + y = 5.
1 2
4 3
2 1
3 4
5 X
Y
6 5
6
Gambar 4.2
1. Gambarlah grafik him- punan penyelesaian
persamaan x + 2y = 4
untuk x, y variabel pada
himpunan bilangan cacah.
Penyelesaian: Buatlah tabel untuk menentukan pasangan bilangan
x, y yang memenuhi persamaan
x + 2y = 4.
1 2
4 3
2 1
3
5 X
Y
0, 2 2, 1
4, 0
6 4
Gambar 4.3
Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 4
dengan x, y variabel pada himpunan bilangan cacah adalah
{0, 2, 2, 1, 4, 0}. Grafiknya seperti tampak pada Gambar 4.3.
x 2
4 y
2 1
x, y 0, 2 2, 1 4, 0
Berpikir kritis Perhatikan pernyataan
berikut. 1. Jika x dan y bilang-
an cacah maka grafik penyelesaian
persamaan ax + by = c pada bidang
Cartesius berupa noktahtitik.
2. Jika x dan y bilang- an real maka grafik
penyelesaian per- samaan ax + by = c
pada bidang Carte- sius membentuk
garis lurus. Tunjukkan alasan per-
bedaan kedua pernya- taan di atas.
Di unduh dari : Bukupaket.com
100
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Penyelesaian: Untuk mempermudah dalam menggambar grafik
persamaan 2 x – y = 4 dibuat tabel berikut.
Karena x, y variabel pada himpunan bilangan real, maka
grafik himpunan penyelesaiannya berbentuk garis lurus, seperti tampak pada Gambar 4.4.
Semua titik-titik yang terletak pada garis tersebut merupa- kan himpunan penyelesaian dari persamaan 2
x – y = 4. 2. Gambarlah grafik
himpunan penyelesaian persamaan 2
x – y = 4 untuk
x, y variabel pada himpunan bilangan real.
x 2
y –4
x, y 0, –4 2, 0
1 2
3 2
1 3
X Y
_1 _2
_1 _2
_3 _4
_5 _6
_7 _8
_9 _3
4 4
Gambar 4.4
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Bandingkan persamaan-persamaan
berikut dengan bentuk persamaan ax + by = c, kemudian tentukan nilai a,
b, dan c. a. 3
x + 2y = 0 c.
x + 2y = 5 b. 2
x – 5y = 3 d.
1 3
5 y
x
2. Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk
ax + by = c, kemudian tentukan koefisien dari masing-masing variabel.
a. x = 2y – 5
b. x + 3y + 1 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
101
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
c. 3 x – 1 = 2y
d. 1
2 2
y x
3. Tentukan himpunan penyelesaian persa- maan berikut jika
x, y variabel pada him- punan bilangan cacah. Kemudian, gam-
bar grafik dari masing-masing persamaan tersebut pada bidang koordinat Cartesius.
a. x + y = 3
c. x + 2y = 4
b. 2 x + 3y = 6
d. 3 x – y = 6
4. Tentukan persamaan dari grafik berikut ini.
a.
Y
X 1
1 1
2 2
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7
0, 6 1, 5
2, 4 3, 3
4, 2 5, 1
6, 0
1 3
b.
Y
X
1 1
2 2
3 4 5 6 7 1
2 1
2 3
3 4
5 6
5. Tentukan himpunan penyelesaian per- samaan berikut jika
x, y variabel pada himpunan bilangan real. Kemudian,
gambarlah grafik dari masing-masing persamaan tersebut pada bidang
Cartesius.
a. 2 x + y = 6
b. 2 x + 3y = 12
c. 1
2 2
y x d.
1 1
1 4
3 2
x y
C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL