f
1
dan
,
f
2
adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan y, dengan laju perubahan x dan y sendiri dan tidak mengandung t di dalamnya. Sistem persamaan
differensial disebut sebagai sistem persamaan differensial mandiri Autonomous.
4.2.3 Titik Kritis critical point
Analisis sistem persamaan differensial sistem dua persmaan terkopel sering digunakan untuk menentukan solusi yang tidak berubah terhadap waktu
Hirsch MW et al 2004, yaitu untuk tiap
,
dt
dy dt
dx
. Titik kritis
, y x
dari sistem dapat diperoleh dengan menentukan ,
dt dy
dt dx
27
4.2.4 Konstruksi Matrik Jacobi
Dengan melakukan pelinieran pada persamaan interaksi dua persamaan
terkopel maka diperoleh matriks Jacobi Hirsch MW et al 2004 berikut :
2 2
1 2
2 1
1 1
x f
x f
x f
x f
J
i
28
4.2.5 Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Diberikan matrik dengan koefisien konstan J berukuran
n n
dan SPD homogen berikut:
Jx x
, x
x
29 Suatu vektor tak nol x dalam ruang
n
disebut vektor eigen dari J jika untuk suatu skalar
berlaku:
x Jx
30 Nilai skalar
dinamakan nilai eigen dari J. 22
Untuk mencari nilai eigen dari matrik J maka persamaan 30 dapat
ditulis kembali sebagai:
x I
J
31
Dengan I matrik diagonal satuan. Persamaan 31 mempunyai solusi tak nol jika dan hanya jika
det
I J
I J
p
32
Persamaan 32 disebut persamaan karakteristik dari matrik Jacobi Hirsch MW et al 2004.
4.2.6 Orbit Kestabilan
Berdasarkan uraian di atas maka kestabilan titik kritis memiliki tiga kondisi Hirsch MW et al 2004, yaitu
Stabil, jika : a.
tiap nilai eigen real adalah negatif
i
untuk semua i
b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih kecil atau sama dengan
nol, Re
i
untuk setiap i.
Tak Stabil, jika : a.
tiap nilai eigen real adalah positif
i
untuk semua i
b. tiap komponen nilai eigen kompleks adalah lebih besar dari nol,
Re
i
untuk semua i.
Saddle, jika : Perkalian dua buah nilai eigen real sembarang adalah negatif
j i
untuk sembarang i dan j. Titik saddle ini bersifat tak stabil.
23
a b
c
d e
f
Gambar 8 . Orbit kestabilan disekitar titik kritis; a spiral stabil, b spiral tak stabil, c titik
saddle, d center, e titik stabil dan f titik tak stabil Hirsch MW et al 2004
4.2.7 Bifurkasi Hopf
Bifurkasi secara sederhana dapat diartikan sebagai suatu perubahan karakteristik orbit kestabilan disuatu titik kritis yang biasanya ditandai dengan
kehadiran suatu limit cycle. Sebagai contoh sederhana terjadinya bifurkasi pada persamaan van der Pol berupa persamaan diferensial pada R
2
Hirsch MW et al 2004.
x dt
dx x
x y
dt dx
3
33
Dengan parameter berada pada interval [-1, 1]. Dengan menggunakan
Linierisasi diperoleh nilai eigen berikut :
4 2
1
2
34
Kemudian dari nilai eigen tersebut dapat diamati sebuah bifurkasi pada titik kritisnya ketika parameter
divariasikan sebagai berikut : 24
Gambar 9. Bifurkasi pada persamaan van der Pol ketika parameter
divariasikan Hirsch MW et al 2004
4.3 Penentuan Titik Kritis Model Fitzhugh-Nagumo