Penyelesaian:
Misalkan domain dibagi dengan grid berukuran 5
5 × dimana
1 =
Δ =
Δ y
x , dengan
nilai pada batas kiri dan bawah tidak diketahui yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.13.
Gambar 3.1.13 Grid berukuran
5 5
×
dimana
1 =
Δ =
Δ y
x
untuk persamaan Poisson dengan syarat batas Neumann
Dari Gambar 3.1.13 terdapat 16 titik yang nilainya tidak diketahui, maka dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.48, 3.150 dan 3.1.52 akan diperoleh
16 persamaan beda hingga dengan 16 variabel.
b. Persamaan Poisson dalam Pelat Cakram
Persamaan Poisson dalam pelat cakram adalah ,
1 1
2
θ
θθ
r f
U r
U U
r
rr r
= +
+ .
3.1.57 Domain dari persamaan Poisson dalam pelat cakram adalah berbentuk lingkaran
{ }
2 2
2
, r
y x
y x
D =
+ =
, yang akan ditutup dengan grid beda hingga dengan jarak r
Δ dan θ
Δ
, yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.6. •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
• •
• •
•
1 ,
2
u
1 ,
3
u
5 ,
2
1 ,
4
u 80
= u
80
5 ,
3
= u
5 ,
4
80 u
= u
4 ,
1
u
3 ,
1
u
2 ,
1
u
4 ,
5
= u
3 ,
5
= u
2 ,
5
= u
2 ,
2
u
3 ,
2
u
4 ,
2
u
2 ,
3
u
3 ,
3
u
4 ,
3
u
3 ,
4
u
2 ,
4
u
4 ,
4
u
1
2
= x
2
3
= x
3
4
= x
1
2
= y
2
3
= y
3
4
= y
•
1 ,
1
u
1 1
= = y
x
• •
80
5 ,
1
= 4
5
= y
1 ,
5
= u
84 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pendekatan beda hingga di titik-titik dalam sampai dengan
diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.37, 3.1.38 dan 3.1.39 ke dalam persamaan 3.1.57, yang menghasilkan
j
U
, 2
j n
U
, 1
−
r U
U r
j i
j i
Δ −
− +
2 1
, 1
, 1
+
2 ,
1 ,
, 1
2 r
U U
U
j i
j i
j i
Δ +
−
− +
+
2 1
, ,
1 ,
2
2 1
θ Δ
+ −
− +
j i
j i
j i
U U
U r
= , 3.1.58
j i
f
,
dimana ,
, j
i j
i
r f
f θ
= dan galat globalnya adalah
.
2
2 2
θ
Δ +
Δ O
r O
Dengan mengalikan persamaan 3.1.58 dengan dan mensubstitusikan
definisi
2
r Δ
α persamaan 3.1.41, akan dihasilkan
. 1
1 2
1 1
2 1
1 2
1 1
, 2
, 2
2 1
, 2
2 1
, 2
2 ,
1 ,
1 j
i j
i j
i j
i j
i j
i
f r
U U
U U
U Δ
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− +
− +
θ α
θ α
θ α
α α
3.1.59 Perlu dicatat bahwa
m i
i
U U
, ,
= dan
1 ,
1 ,
i m
i
U U
=
+
, untuk .
Pendekatan beda hingga di titik dalam sampai dengan
diilustrasikan dalam Gambar 3.1.14.
n i
, ,
3 ,
2 ,
1 K
=
j
U
, 2
j n
U
, 1
−
Gambar 3.1.14 Stensil beda hingga di titik dalam sampai dengan
j
U
, 2
j n
U
, 1
−
untuk persamaan Poisson dalam pelat cakram
r Δ
θ
Δ
j i
U
, j
i
U
, 1
+
j i
U
, 1
−
1 ,
+ j
i
U
1 ,
− j
i
U
o
j
θ o
o o
o o
o
i
r o
85 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika kondisi batas yang digunakan adalah kondisi batas Neumann, maka analog dengan pada persamaan Laplace dalam domain lingkaran akan diperoleh
pendekatan beda hingga di titik-titik pada batas yang nilainya tidak diketahui berikut .
1 1
2 1
1 2
, 2
, 2
2 1
, 2
2 1
, 2
2 ,
1 j
i j
n j
n j
n j
n
f r
U U
U U
Δ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+
− +
−
θ α
θ α
θ α
3.1.60 Analog dengan pada persamaan Laplace dalam domain lingkaran akan
diperoleh pendekatan beda hingga di titik-titik dalam adalah
j
U
, 1
. 1
1 2
1 1
2
, 2
, 1
2 2
1 ,
1 2
2 1
, 1
2 2
, 2
j i
j j
j j
f r
U U
U U
Δ =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
− ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+
− +
θ α
θ α
θ α
3.1.61
Contoh 3.1.7
Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Poisson sin
1 1
2
θ
θθ
= +
+ u
r u
u r
rr r
dalam pelat cakram
{ }
16 ,
2 2
= +
= y
x y
x D
, dengan syarat batas
50 ,
4 =
θ U
, untuk π
θ ≤
dan ,
4 =
θ U
, untuk ≤
− θ
π ,
Penyelesaian:
Misalkan domain lingkaran dibagi dengan grid berukuran 4 garis jari-jari grid
×
8 lingkaran grid, maka diperoleh
1 4
4 = =
Δr ,
4 8
2 π
π θ
= =
Δ , dan
4 1
4 = =
α .
86 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
π θ =
3
Gambar 3.1.15 Grid berukuran
8 4
×
dimana
1 =
Δr
dan
4 π
θ = Δ
untuk persamaan Poisson dengan syarat batas Dirichlet
Sehingga dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.61 akan diperoleh persamaan beda hingga di titik dalam
berikut ini:
j
U
, 1
2 1
, 1
, 2
, 2
1 ,
2 8
, 1
2 ,
1 1
, 1
= +
+ +
− U
U U
U .
7 ,
2 1
, 2
, 2
1 ,
2 ,
2 3
, 1
2 ,
1 1
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 1
2 1
, 2
, 2
1 ,
3 ,
2 4
, 1
3 ,
1 2
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 7
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
4 ,
2 5
, 1
4 ,
1 3
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
5 ,
2 6
, 1
5 ,
1 4
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 7
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
6 ,
2 7
, 1
6 ,
1 5
, 1
− =
+ +
− U
U U
U 1
2 1
, 2
, 2
1 ,
7 ,
2 8
, 1
7 ,
1 6
, 1
− =
+ +
− U
U U
U ,
7 ,
2 2
, 2
1 ,
1 ,
8 ,
2 8
, 1
7 ,
1 1
, 1
− =
+ −
+ U
U U
U ,
1 ,
1
U
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
1 ,
2
U
1 ,
3
U 50
2 ,
4
= U
2 ,
1
U
2 ,
2
U
2 ,
3
U
3 ,
1
U
3 ,
2
U
3 ,
3
U
4 ,
1
U
4 ,
2
U
4 ,
3
U
5 ,
1
U
5 ,
2
U
5 ,
3
U
6 ,
1
U
6 ,
2
U
6 ,
3
U
7 ,
1
U
7 ,
2
U
7 ,
3
U
8 ,
1
U
8 ,
2
U
8 ,
3
U
j
U
,
4
2
π θ =
50
3 ,
4
= U
4 3
4
π θ =
2
4 ,
4
= U
50
θ −
=
5
π
4
6
3 π
θ −
= 2
7
π θ
− =
4
8
π θ
− =
1
= θ
50 =
1 ,
4
U U
8
=
, 4
U 1
1
= r
2
2
= r
3
3
= r
4
= r
4
o
5 ,
4
=
6 ,
4
= U
7 ,
4
= U
87 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kemudian dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.59 akan diperoleh: 125
, 1
1 ,
1 ,
2 ,
2 875
,
1 ,
3 8
, 2
2 ,
2 1
, 2
1 ,
1
= +
+ +
− U
U U
U U
7 ,
125 ,
1 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
2 ,
3 3
, 2
2 ,
2 1
, 2
2 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 1
125 ,
1 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
3 ,
3 4
, 2
3 ,
2 2
, 2
3 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 7
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
4 ,
3 5
, 2
4 ,
2 3
, 2
4 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
5 ,
3 6
, 2
5 ,
2 4
, 2
5 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 7
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
6 ,
3 7
, 2
6 ,
2 5
, 2
6 ,
1
− =
+ +
− +
U U
U U
U 1
125 ,
1 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
7 ,
3 8
, 2
7 ,
2 6
, 2
7 ,
1
− =
+ +
− +
U U
U U
U ,
7 ,
125 ,
1 2
, 2
1 ,
1 ,
875 ,
8 ,
3 8
, 2
7 ,
2 1
, 2
8 ,
1
− =
+ −
+ +
U U
U U
U ,
25 ,
56 50
125 ,
1 1
, 1
, 2
, 2
875 ,
8 ,
3 2
, 3
1 ,
3 1
, 2
− =
⋅ −
= +
+ −
U U
U U
, 55
, 55
25 ,
56 7
, 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
3 ,
3 2
, 3
1 ,
3 2
, 2
− =
− =
+ −
+ U
U U
U ,
25 ,
55 25
, 56
1 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
4 ,
3 3
, 3
2 ,
3 3
, 2
− =
− =
+ −
+ U
U U
U ,
55 ,
55 25
, 56
7 ,
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
5 ,
3 4
, 3
3 ,
3 4
, 2
− =
− =
+ −
+ U
U U
U ,
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
6 ,
3 5
, 3
4 ,
3 5
, 2
= +
− +
U U
U U
, 7
, 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
7 ,
3 6
, 3
5 ,
3 6
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
8 ,
3 7
, 3
6 ,
3 7
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U ,
7 ,
2 ,
2 1
, 1
, 875
,
8 ,
3 7
, 3
1 ,
3 8
, 2
− =
− +
+ U
U U
U .
Jadi diperoleh 24 persamaan beda hingga dengan 24 variabel.
88 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.1.8
Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Poisson sin
1 1
2
θ
θθ
= +
+ u
r u
u r
rr r
dalam pelat cakram
{ }
16 ,
2 2
= +
= y
x y
x D
, dengan syarat batas ,
4 =
θ
r
U pada
2 π
θ ≤
dan 50
, 4
= θ
U pada
2 ≤
θ π
.
Penyelesaian:
Misalkan domain lingkaran dibagi dengan grid berukuran 4 garis jari-jari grid
×
8 lingkaran grid, dengan
1 =
Δr ,
4 π
θ = Δ
, 4
= α
, dan nilai pada batas 2
π θ
≤ tidak diketahui.
U 50
3 ,
4
=
1 ,
1
U
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
1 ,
2
U
1 ,
3
U
2 ,
4
U
2 ,
1
U
2 ,
2
U
2 ,
3
U
3 ,
1
U
3 ,
2
U
3 ,
3
U
4 ,
1
U
4 ,
2
U
4 ,
3
U
5 ,
1
U
5 ,
2
U
5 ,
3
U
6 ,
1
U
6 ,
2
U
6 ,
3
U
7 ,
1
U
7 ,
2
U
7 ,
3
U
8 ,
1
U
8 ,
2
U
8 ,
3
U
j
U
,
4
2
π θ =
2
3
π θ =
Gambar 3.1.16 Grid berukuran
8 4
×
dimana
1 =
Δr
dan
4 π
θ = Δ
untuk persamaan Poisson dengan syarat batas Neumann
4 3
4
π θ =
50
4 ,
4
= U
θ −
=
5
π
4
6
3 π
θ −
= 2
7
π θ
− =
4
8
π θ
− =
1
= θ
1 ,
4
U U
5 ,
4
=
6 ,
4
= U
7 ,
4
= U
8 ,
4
= U
1
1
= r
2
2
= r
3
3
r 4
4
= r
=
o
89 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dari Gambar 3.1.16 terdapat 26 titik yang nilainya tidak diketahui, maka dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.59, 3.1.60, dan 3.1.61 akan diperoleh
26 persamaan beda hingga dengan 26 variabel.
4. Kekonsistenan, Orde , dan Kekonvergenan Pendekatan Beda Hingga
