Syarat Awal dan Syarat Batas
Persamaan diferensial parsial yang timbul dalam masalah fisis mempunyai banyak penyelesaian, maka akan dipilih satu penyelesaian dengan menetapkan syarat-
syarat bantu. Syarat-syarat bantu akan dirumuskan untuk menentukan penyelesaian tunggal. Syarat-syarat ini terjadi secara fisis dalam dua peubah, yaitu syarat awal dan
syarat batas. Syarat awal menentukan keadaan fisis pada waktu . Bentuk persamaan
syarat awal adalah ux, =
t t
φ x, dimana x = x, y dan φ x = φ x, y adalah
fungsi yang diberikan. Sebagai contoh untuk masalah aliran panas
φ x adalah suhu
awal, dan untuk masalah penyebaran zat
φ x adalah konsentrasi awal. Untuk masalah getaran senar terdapat sepasang syarat awal, yaitu ux,
=
t
φ x dan
t u
∂ ∂
x, =
t
ψ x, dimana φ x adalah posisi awal dan ψ x adalah kecepatan awal.
Persamaan diferensial parsial yang timbul dalam masalah-masalah fisis akan
mempunyai domain D. Sebagai contoh untuk masalah aliran panas, D adalah daerah
bidang dengan batas D adalah kurva tertutup, Untuk masalah peyebaran zat, D adalah lubang wadah zat cair dengan batas D adalah permukaan wadah, jadi batasnya adalah
permukaan S yang disebut bdy D. Sedangkan untuk masalah getaran senar, D adalah
interval 0 x l dengan batas D adalah dua titik ujung yaitu x = 0 dan x = l.
Syarat batas menentukan keadaan fisis di x pada domain D. Terdapat tiga
macam syarat batas yang cukup penting, yaitu:
8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1. Syarat batas Dirichlet, yaitu jika u diketahui. Syarat batas Dirichlet dapat
ditulis sebagai
ux, t = gx, t,
dimana gx, t adalah fungsi yang diberikan yang biasanya disebut data batas.
2. Syarat batas Neumann, yaitu jika turunan normal
n u
∂ ∂
diketahui. Syarat batas Neumann dapat ditulis sebagai
n u
∂ ∂
x, t = gx, t,
dimana gx, t adalah fungsi yang diberikan. Misalkan n =
menotasikan vektor normal satuan dalam bdy D di setiap titik pada batas C. Sedangkan
,
2 1
n n
n y
x u
∂ ∂
,
= n
, y
x u
∇ ⋅
menotasikan turunan berarah dari dalam arah normal pada batas C.
, y
x u
batas C n
n n
n
D
n n
n n
Gambar 2.1.1 Vektor normal di setiap titik pada batas C
3. Syarat batas Robin, yaitu jika
au n
u + ∂
∂ diketahui, dimana a adalah fungsi
dalam x, y, t yang diberikan. Syarat batas Robin ditulis menjadi persamaan
9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
n u
∂ ∂
x, t + aux, t = gx, t,
dimana gx, t adalah fungsi yang diberikan dan a adalah fungsi dalam x, y, t
yang diberikan.
Masing-masing berlaku pada semua t dan x = x, y yang berada dalam bdy D.
Persamaan Diferensial Parsial Orde-Dua
Disini penulis hanya akan membahas persamaan diferensial parsial linear orde-2 dengan dua variabel bebas.
Definisi 2.1.4
Bentuk umum persamaan diferensial parsial linear orde-2 dengan dua variabel bebas
adalah:
S u
F u
E u
D u
C u
B u
A
y x
yy xy
xx
= +
+ +
+ + 2
, 2.1.5
dengan x dan y adalah variabel bebas, u adalah variabel terikat, dan A, B, C, D, E, F, S adalah fungsi dalam x dan y. Turunan
dan kontinu pada domain,
sehingga .
, ,
,
xy y
x
u u
u
yx
u
yx xy
u u
=
Berdasarkan nilai koefisien A, B, dan C dari persamaan 2.1.5, maka persamaan diferensial parsial linear orde-2 dengan dua variabel bebas dapat
diklasifikasikan menjadi tiga bentuk berikut:
10 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1. Jika
dalam domain D, maka disebut PDP eliptik,
4
2
− AC B
2. Jika
dalam domain D, maka disebut PDP parabolik,
4
2
= − AC
B
3. Jika
dalam domain D, maka disebut PDP hiperbolik.
4
2
− AC B
Contoh 2.2.2
Untuk memperjelas dalam membedakan PDP eliptik, parabolik, dan hiperbolik, diberikan contoh PDP yang timbul dalam masalah-masalah fisis berikut ini:
1.
Persamaan Laplace
= +
yy xx
u u
dan persamaan Poisson
yang timbul dalam masalah aliran panas, dengan variabel bebas x, y dan variabel terikat ux, y. Nilai koefisien A = C = 1 dan B = 0,
maka . Jadi kedua persamaan ini
merupakan PDP eliptik; ,
y x
f u
u
yy xx
= +
4 1
1 4
4
2 2
− =
⋅ ⋅
− =
− AC B
2. Persamaan
Difusi
= −
xx t
ku u
yang timbul dalam masalah penyebaran zat, dengan variabel bebas x, t, variabel terikat ux, t, dan k adalah koefisien difusi
termal. Nilai koefisien k
A −
= dan B = C = 0, maka
= . Jadi persamaan ini merupakan PDP parabolik;
AC B
4
2
− 4
2
= ⋅
− ⋅
− k
3.
Persamaan Gelombang
0 yang timbul dalam masalah getaran senar, dengan variabel bebas x, t, variabel terikat ux, t, dan c adalah
kecepatan gelombang. Nilai koefisien A = , B = 0, dan C = 1, maka
2
= −
xx tt
u c
u
2
c −
11 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
AC B
4
2
−
=
2 2
2
1 4
c c
= ⋅
− ⋅
−
0. Jadi persamaan ini merupakan PDP hiperbolik.
Dalam skripsi ini, penulis hanya akan membahas persamaan Laplace dan persamaan Poisson.
B. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson
