Selanjutnya dicari nilai dari .
n
b
Dengan mengalikan persamaan 2.2.58 dengan θ
n sin
, maka analog dengan cara mencari nilai
akan diperoleh
n
a
∫
− −
=
π π
θ θ
θ π
d n
g A
n b
n n
sin 1
1
, n = 1, 2, 3, ... .
2.3.59 Sehingga diperoleh penyelesaian dari persamaan 2.3.51 dengan syarat-syarat batas
2.3.52 berikut
,
∑
∞ =
+ +
=
1
sin cos
,
n n
n n
n b
n a
r a
r U
θ θ
θ
dimana
a
adalah kostanta sisa,
∫
− −
=
π π
θ θ
θ π
d n
g A
n a
n n
cos 1
1
, dan
∫
− −
=
π π
θ θ
θ π
d n
g A
n b
n n
sin 1
1
.
D. Penyelesaian Persamaan Poisson Secara Eksak
Jika dalam pelat terdapat sumber panas yang diketahui, maka persamaan Laplace akan menjadi persamaan yang nonhomogen berikut
, 2.4.1
,
2
y x
f u
= ∇
dimana fx, y adalah fungsi yang mendiskripsikan sumber panas tersebut. Persamaan 2.4.1 disebut persamaan Poisson. Persamaan Poisson adalah nonhomogen, maka
tidak dapat diselesaikan dengan metode Pemisahan Variabel.
39 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Cara penyelesaiannya adalah dengan membagi persamaan Poisson dengan syarat batas dalam dua masalah, yaitu:
1. Mengubah persamaan Poisson menjadi persamaan homogen yaitu persamaan
Laplace dengan syarat batas nonhomogen; 2.
Persamaan Poisson dengan syarat batas yang homogen. Sehingga penyelesaian lengkapnya adalah gabungan dari penyelesaian dari dua
masalah tadi.
Contoh 2.4.1
Carilah penyelesaian persamaan Poisson dalam
, ,
2
y x
f y
x u
= ∇
a x
dan b
y ,
dengan syarat batas Dirichlet berikut 2.4.2
, ,
, =
= =
x u
y a
u y
u , dan
, x
g b
x u
= ,
yang dapat diilustrasikan dalam Gambar 2.4.1 di bawah ini. x
g u
=
Gambar 2.4.1 Persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet
Penyelesaian:
Cara penyelesaiannya adalah dengan membagi masalah 2.4.2 menjadi dua masalah: x
= u
= u
, y
x f
u u
yy xx
= +
= u
a b
y
40 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1. Persamaan Laplace
dalam
,
2
= ∇
y x
u
a x
dan b
y ,
dengan syarat batas 2.4.3
, ,
, =
= =
x u
y a
u y
u , dan
, x
g b
x u
= ,
yang penyelesaiannya dinotasikan dengan ;
, y
x u
L
2. Persamaan Poisson
dalam
, ,
2
y x
f y
x u
= ∇
a x
dan b
y ,
dengan syarat batas 2.4.4
, ,
, ,
= =
= =
b x
u x
u y
a u
y u
, yang penyelesaiannya dinotasikan dengan
. ,
y x
u
P
Sehingga penyelesaian lengkapnya adalah ,
, ,
y x
u y
x u
y x
u
P L
+ =
. 2.4.5
Akan dicari penyelesaian masalah 2.4.3 terlebih dahulu. Cara penyelesaian masalah 2.4.3 analog dengan penyelesaian persamaan Laplace
2.3.1 dengan syarat batas 2.3.2 dan 2.3.3, sehingga penyelesaiannya adalah
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
1
sinh sin
,
n n
L
a y
n a
x n
A y
x u
π π
, 2.4.6
dengan
dx a
x n
x g
a b
n a
A
a n
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
π π
sin sinh
2
.
Selanjutnya akan dicari penyelesaian masalah 2.4.4
41 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Untuk menyelesaikan masalah 2.4.4, diasumsikan bahwa penyelesaiannya serupa
dengan penyelesaian persamaan Helmholtz
dalam
, ,
2
= +
∇ y
x y
x
λφ φ
a x
dan b
y ,
2.4.7 dengan syarat batas
, ,
, ,
= =
= =
b x
x y
a y
φ φ
φ φ
. Misalkan penyelesaian persamaan Helmholzt berbentuk
, y
Y x
X y
x =
φ .
2.4.8 Persamaan 2.4.8 dicari turunan parsial tingkat dua terhadap x dan y, kemudian
disubstitusikan ke persamaan 2.4.7 dan menyusunnya kembali, maka diperoleh λ
− −
= y
Y y
Y x
X x
X .
Misalkan nilai perbandingannya adalah ,
μ maka μ
λ − =
− −
= y
Y y
Y x
X x
X
Selanjutnya akan diperoleh dua persamaan diferensial biasa =
+ x
X x
X μ
, =
= a
X X
, dan 2.4.9
= −
+ y
Y y
Y μ
λ ,
= = b
Y Y
. 2.4.10
Akan dicari penyelesaian persamaan 2.4.9 terlebih dahulu. Persamaan 2.3.9 serupa dengan persamaan 2.3.5 yaitu dengan
μ λ = , sehingga
akan diperoleh
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= a
m
m
π μ
, dengan K
, 3
, 2
, 1
= m
.
42 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dan penyelesaian persamaan 2.4.9 dengan mengambil
m
A d
=
2
berikut ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
a x
m A
x X
m m
π sin
, dimana K
, 3
, 2
, 1
= m
. 2.4.11 Selanjutnya akan dicari penyelesaian persamaan 2.4.10.
Persamaan 2.3.10 juga serupa dengan persamaan 2.3.5 yaitu dengan μ
λ λ
− =
, sehingga akan diperoleh
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= −
b n
m n
π μ
λ , dengan
K ,
3 ,
2 ,
1 =
n ,
dan penyelesaian persamaan 2.4.10 dengan mengambil
n
A d
=
2
berikut ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
b y
n A
x Y
n n
π sin
, dimana K
, 3
, 2
, 1
= n
. 2.4.12 Sehingga diperoleh nilai
λ pada persamaan Helmholtz 2.4.8 berikut
2 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
= b
n a
m
mn
π π
λ λ
, K
, 3
, 2
, 1
= = n
m .
2.4.13 Dengan mensubstitusikan penyelesaian 2.4.11 dan 2.4.12 ke dalam persamaan
2.4.8, maka diperoleh penyelesaian persamaan Helmholtz 2.4.7 berikut ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
b y
n a
x m
A y
x
mn mn
π π
φ sin
sin ,
, dimana .
n m
mn
A A
A =
Dengan menggunakan prinsip superposisi, maka
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
1 1
sin sin
,
m n
mn mn
b y
n a
x m
A y
x π
π φ
2.4.14
juga merupakan penyelesaian persamaan Helmholzt 2.4.8.
43 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sehingga penyelesaian masalah 2.4.4 adalah
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= =
1 1
sin sin
, ,
m n
mn mn
P
b y
n a
x m
A y
x y
x u
π π
φ .
2.4.15
Akan dicari nilai .
mn
A
Dengan mensubstitusikan penyelesaian persamaan Helmholzt 2.4.14 ke dalam persamaan Poisson 2.4.4 akan diperoleh
, ,
,
1 1
2
y x
f y
x
m n
mn
= ∇
∑ ∑
∞ =
∞ =
φ
Dari persamaan Helmholzt 2.4.8 diperoleh relasi ,
maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi ,
,
2
y x
y x
mn mn
mn
φ λ
φ −
= ∇
, ,
,
1 1
y x
f y
x
m n
mn mn
= −
∑∑
∞ =
∞ =
φ λ
dengan mensubstitusikan persamaan 2.4.14 akan menjadi ,
sin sin
1 1
y x
f b
y n
a x
m A
m n
mn mn
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
∑∑
∞ =
∞ =
π π
λ .
2.4.16
Misalkan
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
1
sin
n mn
m
b y
n B
y E
π , dengan
mn mn
mn
A B
λ
− =
. 2.4.17
Dengan mensunstitusikan persamaan 2.4.17 ke dalam persamaan 2.4.16 diperoleh
∑
∞ =
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛
1
, sin
m m
y x
f a
x m
y E
π .
2.4.18
44 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan 2.4.18 merupakan deret sinus Fourier yang serupa dengan persamaan 2.3.13 yaitu dengan n = m,
y E
b
m n
=
dan ,
y x
f x
g =
, sehingga diperoleh
K ,
3 ,
2 ,
1 ,
sin ,
2 =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
m dx
a x
m y
x f
a y
E
a m
π .
2.4.19
Persamaan 2.4.19 juga merupakan deret sinus Fourier yang serupa dengan persamaan 2.3.13 yaitu dengan = b, x = y,
a
mn n
B b
=
dan , sehingga
diperoleh
y E
x g
m
=
K ,
3 ,
2 ,
1 ,
sin 2
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
∫
n dy
b y
n y
E b
B
b m
mn
π ,
karena
mn mn
mn
A B
λ
− =
, maka dihasilkan
dy b
y n
y E
b B
A
b m
mn mn
mn mn
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
− =
∫
π λ
λ
sin 2
. 2.4.20
Dengan mensubstitusikan nilai λ 2.4.13 dan persamaan 2.4.19 ke dalam
persamaan 2.4.20, maka diperoleh
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f b
n a
m ab
A
0 0 2
2 2
2 2
2
sin sin
, 4
π π
π π
. 2.4.21
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.4.21 ke dalam persamaan 2.4.15 akan diperoleh penyelesaian untuk masalah 2.4.4 berikut
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
1 1
sin sin
,
m n
mn P
b y
n a
x m
A y
x u
π π
, 2.4.22
dimana
45 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f b
n a
m ab
A
0 0 2
2 2
2 2
2
sin sin
, 4
π π
π π
.
Sehingga dari penyelesaian 2.4.6 dan 2.4.22 akan diperoleh penyelesaian lengkap untuk masalah 2.4.2 berikut
, ,
, y
x u
y x
u y
x u
P L
+ =
=
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
1
sinh sin
n n
a y
n a
x n
A π
π
+
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
1 1
sin sin
m n
mn
b y
n a
x m
A π
π ,
2.2.23
dimana
dx a
x n
x g
a b
n a
A
a n
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
π π
sin sinh
2
, dan
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f b
n a
m ab
A
0 0 2
2 2
2 2
2
sin sin
, 4
π π
π π
.
Contoh 2.4.1
Carilah penyelesaian persamaan Poisson dalam
dan , dengan syarat batas berikut
2.4.24
, ,
2
y x
f y
x u
= ∇
a x
b y
, ,
= =
b x
u x
u
y y
pada a
x ≤
≤ , dan
, ,
, y
g y
a u
y u
x x
= =
pada b
y ≤
≤ ,
yang dapat diilustrasikan dalam Gambar 2.4.2 di bawah ini.
46 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
y
Gambar 2.4.2 Persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann
Penyelesaian:
Cara penyelesaiannya adalah dengan membagi masalah 2.4.24 menjadi dua masalah berikut:
1. Persamaan , dalam
,
2
= ∇
y x
u
a x
dan b
y , dengan syarat batas
pada ,
, =
= b
x u
x u
y y
a x
≤ ≤
, dan 2.4.25
, ,
, y
g y
a u
y u
x x
= =
pada b
y ≤
≤ .
2. Persamaan , dalam
, ,
2
y x
f y
x u
= ∇
a x
dan b
y , dengan syarat
batas 2.4.26
, ,
= =
b x
u x
u
y y
pada a
x ≤
≤ , dan
, ,
, =
= y
a u
y u
x x
pada b
y ≤
≤ .
Akan dicari penyelesaian masalah 2.4.25 terlebih dahulu. Masalah 2.4.25 serupa dengan persamaan 2.3.15 dengan syarat batas 2.3.16 dan
2.3.17, sehingga penyelesaiannya adalah
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
1
cos cosh
,
n n
L
b y
n b
x n
A A
y x
u π
π ,
2.4.27 x
=
y
u y
g u
x
=
, y
x f
u u
yy xx
= +
a b
=
y
u =
x
u
47 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan adalah kostanta sisa, dan
A dy
b y
n y
g b
a n
n A
b n
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
π π
π
cos sinh
2
.
Selanjutnya akan dicari penyelesaian masalah 2.4.26 Untuk menyelesaikan masalah 2.4.26, diasumsikan juga bahwa penyelesaiannya
serupa dengan penyelesaian persamaan Helmholtz, dengan syarat batas ,
, =
= b
x u
x u
y y
pada a
x ≤
≤ , dan
, ,
, =
= y
a u
y u
x x
pada b
y ≤
≤ .
Analog dengan persamaan Helmholtz 2.4.8, maka diperoleh dua persamaan diferensial biasa
= +
x X
x X
μ ,
, 2.4.28
= =
a X
X
= −
+ y
Y y
Y μ
λ ,
. 2.4.29
= =
b Y
Y
Akan dicari penyelesaian persamaan 2.3.28 terlebih dahulu. Persamaan 2.4.28 serupa dengan persamaan 2.3.19 yaitu dengan
μ λ = , sehingga
akan diperoleh
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= a
m
π μ
, K
, 2
, 1
, =
m ,
dan penyelesaian persamaan 2.4.28 dengan mengambil
n
A d
=
1
berikut ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
a x
m A
x X
m
π cos
. 2.4.30
Kemudian akan dicari penyelesaian persamaan 2.4.29.
48 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persamaan 2.4.29 juga serupa dengan persamaan 2.3.19 yaitu dengan μ
λ λ
− =
, sehingga akan diperoleh
2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= −
b n
m n
π μ
λ , dengan
K ,
2 ,
1 ,
= n
, dan penyelesaian persamaan 2.4.33 dengan mengambil
m
A d
=
1
berikut ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
b y
n A
y Y
n n
π cos
. 2.4.31
Sehingga diperoleh nilai λ pada persamaan Helmholtz berikut
2 2
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
= b
n a
m
mn
π π
λ λ
, K
, 2
, 1
, =
= n m
. 2.4.32
Sehingga akan diperoleh penyelesaian persamaan Helmholtz berikut ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ =
b y
n a
x m
A y
x
mn mn
π π
φ cos
cos ,
. Menurut prinsip superposisi, maka
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
1 1
00
cos cos
,
m n
mn mn
b y
n a
x m
A A
y x
π π
φ 2.3.33
adalah juga merupakan penyelesaian persamaan Helmholtz. Sehingga penyelesaian masalah 2.4.26 adalah
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
=
1 1
00
cos cos
, ,
m n
mn mn
P
b y
n a
x m
A A
y x
y x
u π
π φ
2.4.34
Akan dicari nilai dan
.
00
A
mn
A
49 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan mensubstitusikan penyelesaian persamaan Helmholzt 2.4.33 ke dalam persamaan Poisson 2.4.26 akan diperoleh
, ,
,
1 1
2
y x
f y
x
m n
mn
= ∇
∑ ∑
∞ =
∞ =
φ
Dari persamaan Helmholzt diperoleh relasi , maka
persamaan di atas dapat ditulis menjadi ,
,
2
y x
y x
mn mn
mn
φ λ
φ −
= ∇
, ,
,
1 1
y x
f y
x
m n
mn mn
= −
∑∑
∞ =
∞ =
φ λ
dengan mensubstitusikan persamaan 2.4.33 akan menjadi ,
cos cos
1 1
00
y x
f b
y n
a x
m A
A
m n
mn mn
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
+
∑∑
∞ =
∞ =
π π
λ .
Dengan
mn mn
mn
A B
λ
− =
, maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi ,
cos cos
1 1
00
y x
f b
y n
a x
m B
A
m n
mn
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
∑∑
∞ =
∞ =
π π
. 2.4.35
Akan dicari nilai terlebih dahulu.
00
A
Dengan mengintegralkan rangkap ruas kiri dan kanan persamaan 2.4.35 dengan batas bawah 0 dan batas atas
a
dan
b
, maka akan diperoleh
∫∫
b a
dy dx
A
0 0 00
+
∑∑∫∫
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
1 1 0 0
cos cos
m n
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
B
π π
= ,
∫∫
b a
dy dx
y x
f
0 0
,
yang menghasilkan
[ ]
∑∑
∞ =
∞ =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+
1 1
2 00
sin sin
m n
mn
n m
mn ab
B ab
A π
π π
= ,
∫∫
b a
dy dx
y x
f
0 0
,
50 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
karena dengan memandang bahwa sin
= π
n untuk
K ,
3 ,
2 ,
1 =
n , maka akan
dihasilkan =
00
A
∫∫
b a
dy dx
y x
f ab
0 0
, 1
. 2.4.36
Kemudian akan dicari nilai .
mn
A
Dengan mangalikan persamaan 2.4.35 dengan ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ b
y n
a x
m π
π cos
cos dan
mengintegralkan rangkap ruas kiri dan kanan dengan batas bawah 0 dan batas atas
a
dan , maka akan diperoleh
b
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
b a
dy dx
b y
n a
x m
y x
f
0 0
cos cos
,
π π
=
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
b a
dy dx
b y
n a
x m
A
0 0 00
cos cos
π π
+
∑∑∫∫
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
1 1 0 0
2 2
cos cos
m n
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
B
π π
,
yang menghasilkan
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
b a
dy dx
b y
n a
x m
y x
f
0 0
cos cos
,
π π
= ⎥⎦
⎤ ⎢⎣
⎡ sin
sin
2 00
π π
π n
m mn
ab A
+
∑∑
∞ =
∞ =
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
1 1
4
m n
mn
ab B
,
dengan memandang bahwa sin
= π
n untuk
K ,
3 ,
2 ,
1 =
n , maka diperoleh
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f ab
B
0 0
cos cos
, 4
π π
.
Karena
mn mn
mn
A B
λ
− =
, maka dihasilkan
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
− =
b a mn
mn mn
mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f ab
B A
0 0
cos cos
, 4
π π
λ λ
. 2.4.37
51 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan mensubstitusikan nilai λ 2.4.32 ke dalam persamaan 2.4.37, maka
diperoleh
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f b
n a
m ab
A
0 0 2
2 2
2 2
2
cos cos
, 4
π π
π π
. 2.4.38
Sehingga dengan mensubstitusikan persamaan 2.4.36 dan 2.4.38 ke dalam persamaan 3.4.34 akan diperoleh penyelesaian untuk masalah 2.4.26 berikut
∑∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ =
1 1
00
cos cos
,
m n
mn P
b y
n a
x m
A A
y x
u π
π ,
2.4.39
dimana
00
A
=
∫∫
b a
dy dx
y x
f ab
0 0
, 1
,
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f b
n a
m ab
A
0 0 2
2 2
2 2
2
cos cos
, 4
π π
π π
.
Sehingga dari penyelesaian 2.4.27 dan 2.4.39 akan diperoleh penyelesaian lengkap untuk masalah 2.4.24 berikut
, y
x u
=
∑
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+
1
cos cosh
n n
b y
n b
x n
A A
π π
+
∑ ∑
∞ =
∞ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+
1 1
00
cos cos
m n
mn
b y
n a
x m
A A
π π
,
dimana
A
adalah kostanta sisa,
dy b
y n
y g
b a
n n
A
b n
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
=
∫
π π
π
cos sinh
2
,
00
A
=
∫∫
b a
dy dx
y x
f ab
0 0
, 1
,
∫∫
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
+ −
=
b a mn
dy dx
b y
n a
x m
y x
f b
n a
m ab
A
0 0 2
2 2
2 2
2
cos cos
, 4
π π
π π
.
52 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
E. Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode iterasi Gauss-Seidel digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
, dengan n persamaan linear non-homogen dan n variabel yang tidak diketahui berikut:
n n
×
n
x x
x ,
... ,
,
2 1
, ...
, ...
, ...
3 3
2 2
1 1
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
n n
nn n
n n
n n
n n
c x
a x
a x
a x
a c
x a
x a
x a
x a
c x
a x
a x
a x
a
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ M
2.5.1
dimana adalah koefisien-koefisien variabel dan adalah konstanta.
a
n
c c
c ,
... ,
,
2 1
Metode iterasi adalah metode hampiran berurutan yang dimulai dari hampiran awal yang dipilih sembarang, biasanya hampiran awalnya adalah nol. Hampiran ke-k
untuk penyelesaian akan dinotasikan oleh
, dengan k = 0, 1, 2, …, n. Langkah awalnya adalah dengan menyelesaikan persamaan pertama
untuk , yang kedua untuk
, dan seterusnya hingga dihasilkan:
n
x x
x ,
... ,
,
2 1
2 1
, ...
, ,
k n
k k
x x
x
1
x
2
x ,
...
11 1
3 13
2 12
1 1
a x
a x
a x
a c
x
n n
− −
− −
= 2.5.2
, ...
22 2
3 23
1 21
2 2
a x
a x
a x
a c
x
n n
− −
− −
= 2.5.3
, ...
33 3
2 32
1 31
3 3
a x
a x
a x
a c
x
n n
− −
− −
= 2.5.4
M ,
...
1 1
3 3
1 1
nn n
nn n
n n
n
a x
a x
a x
a c
x
− −
− −
− −
= 2.5.5
53 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Proses iterasinya dapat dimulai dengan nilai awal bagi sama
dengan nol. Nilai awal nol ini disubstitusikan ke persamaan 2.5.2 untuk mendapatkan nilai baru
2 1
, ...
, ,
n
x x
x
11 1
1 1
a c
x =
. Nilai baru disubstitusikan ke persamaan
2.5.3 bersama nilai awal lain untuk mendapatkan nilai
baru . Demikian seterusnya hingga mendapatkan nilai baru
. Prosedur tadi diulangi lagi dari awal dengan nilai-nilai baru yang didapatkan.
1 1
x
...
4 3
= =
= =
n
x x
x
1 2
x
1 n
x
Iterasi dihentikan setelah terjadi kekonvergenan. Kriteria kekonvergenan yaitu
s k
i k
i x
x x
i
ε ε
− =
− 1
, 2.5.6
dimana i = 1, 2, 3, ... , n,
i
x
ε adalah nilai kesalahan relatif , adalah nilai
pada iterasi sekarang, adalah nilai
pada iterasi sebelumnya, dan
i
x
k i
x
i
x
1
−
k i
x
i
x
s
ε adalah nilai batas toleransi
00001 ,
=
s
ε . Untuk menjamin kekonvergenan, maka sistem
persamaan linear harus dominan secara diagonal.
Definisi 2.5.1
Sistem persamaan linear n
n × disebut dominan secara diagonal, jika nilai mutlak
dari koefisien diagonal pada setiap persamaan lebih besar atau sama dengan nilai mutlak dari jumlah koefisien lainnya dalam persamaan atau dapat ditulis dalam
bentuk:
54 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑
≠ =
≥
n i
j j
j i
i i
a a
; 1
, ,
,
dimana adalah koefisien persamaan-persamaan, n adalah jumlah persamaan dan
jumlah variabel, dan .
j i
a
,
n j
i ,
, 3
, 2
, 1
K =
=
Algoritma penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi Gauss- Seidel
Lanhkah 1. Masukkan koefisien-koefisien persamaan 5.2.2 sampai dengan 5.2.5 ke dalam matriks A, jumlah variabel n, dan toleransi TOL.
Langkah 2. Tentukan nilai awal untuk semua variabel. Untuk n
i ,
, 2
, 1
K =
hitung , dimana
adalah hasil penyelesaian sebelumnya. 1
, 1
, =
= i
w i
x 1
, i
w Langkah 3. Susunlah penyelesaian persamaan untuk
, untuk i = 1 dan hitung xi, 1 = Ai, 1 dan xi, 1 = xi, 1 + [Ai, j xj, 1].
1
x n
j ,
, 2
, 1
K =
Susunlah penyelesaian persamaan untuk , untuk
dan hitung: xi, 1 = Ai, 1,
n
x x
x ,
, ,
3 2
K
n i
, ,
3 ,
2 K
= n
j ,
, 2
, 1
K =
] 1
, 1
, [
1 ,
1 ,
i x
j i
A i
x i
x ⋅
+ +
= ,
m = j +1, dan jika i tidak sama dengan n, maka untuk 1
, ,
2 ,
1 −
= n
k K
hitung xi, 1 = xi, 1 + [Ai, m+k xm+k, 1]. Langkah 4. Hitung kesalahan relatif dan kesalahan relatif tertinggi M.
Untuk hitung
n i
, ,
2 ,
1 K
= 1
, 1
, ,
i w
i u
abs j
i C
− =
. Hitung M = maks Ci, j.
55 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Langkah 5. Analisislah kekonvergenan. Jika M TOL, maka lanjutkan ke langkah 8. Jika tidak, maka lanjutkan ke langkah 6.
Langkah 6. Simpan hasil penyelesaian ke dalam matriks .
, j
i w
Untuk , hitung
n i
, ,
2 ,
1 K
= ,
, j
i u
j i
w =
. Langkah 7. Kembali ke langkah 3.
Langkah 8. Stop.
Contoh 2.5.1
Selesaikanlah sistem persamaan linear berikut dengan metode iterasi Gauss-Seidel: ,
5 1
2 4
3 2
1
= +
+ x
x x
21 2
3 2
3 2
1
= −
+ x
x x
, dan
30 5
2
3 2
1
− =
+ −
x x
x
.
Penyelesaian:
Menyusun kembali tiga persamaan linear diatas menjadi bentuk penyelesaian berikut:
4 2
5
3 2
1
x x
x −
− =
, 3
2 2
21
3 1
2
x x
x +
− =
, dan 5
2 30
2 1
3
x x
x +
− −
= .
Dengan bantuan program Matlab pada Lampiran 2.5.1, maka diperoleh penyelesaian: A=[54 -24 -14;213 -23 23;-305 -15 25];
GaussSeidelA,3,0.00001 Penyelesaian sistem persamaan linear adalah
x =
1.0000 3.0000
-5.0000
Jadi penyelesaiannya adalah ,
3 ,
1
2 1
= =
x x
dan
5
3
− =
x
.
56 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE DAN
PERSAMAAN POISSON SECARA NUMERIK
Dalam bab ini akan dibahas tentang penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram secara numerik
dengan metode Beda-Hingga. Terlebih dahulu akan diperkenalkan tentang metode
Beda-Hingga dengan pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace dan persamaan Poisson.
A. Metode Beda-Hingga
Metode beda hingga terdiri dari grid beda hingga diskrit untuk menunjukkan domain penyelesaian kontinu dan pendekatan-pendekatan beda hingga yang
digunakan untuk menunjukkan turunan-turunan parsial eksak dalam PDP. Terlebih dahulu akan dibahas beberapa karakteristik umum grid-grid beda hingga dan
pendekatan-pendekatan beda hingga dari turunan-turunan eksak yang muncul dalam PDP, seperti
dan .
, ,
,
y xx
x
u u
u
yy
u
1. Pendekatan Beda Hingga
Domain Dx, y dalam bidang xy untuk masalah aliran panas dua-dimensi
dalam pelat persegi panjang ditunjukkan pada Gambar 3.1.1. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI