Contoh 3.1.12
Analisislah kekonsistenan pendekatan beda hingga 3.1.59 untuk persamaan Poisson dalam domain lingkaran.
Penyelesaian:
Analog dengan cara mendapatkan PDT untuk persamaan Laplace dalam domain persegi panjang, maka akan diperoleh PDT berikut
L L
− Δ
− Δ
− −
Δ −
Δ −
⋅⋅ ⋅
− Δ
− Δ
− =
+ +
θθθθθθ θθθθ
θθ
θ θ
θ
U r
U r
U r
r U
r r
U r
U r
r f
U r
U U
r
rrrrr rrr
rrrrrr rrrr
rr r
2 4
2 2
4 2
4 2
2
6 2
4 2
5 3
6 2
4 2
, 1
1
3.1.69
Untuk dan
→ Δr
→ Δ
θ , maka persamaan 3.1.69 mendekati persamaan
Poisson ,
1 1
2
θ
θθ
r f
U r
U U
r
rr r
= +
+ . Sehingga pendekatan beda hingga 3.1.59
adalah pendekatan konsisten dari persamaan Poisson dalam bentuk kutub.
b. Orde
Definisi 3.1.2
Orde pendekatan beda hingga dari persamaan diferensial parsial adalah laju pada galat global dari penyelesaian beda hingga yang mendekati nol, untuk
dan .
→ Δx
→ Δy
94 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 3.1.3
Orde global dari persamaan beda hingga adalah orde dari suku galat pemenggalan dalam pendekatan beda hingga dari turunan-turunan parsial eksak
dalam PDP.
Bila galat pemenggalan dari pendekatan beda hingga diketahui, seperti persamaan 3.1.10 dan 3.1.14, maka orde dari persamaan beda hingga jelas dapat
langsung diketahui. Sedangkan, bila galat pemenggalan dari pendekatan beda hingga tidak diketahui, maka orde persamaan beda hingga dapat ditentukan dari persamaan
diferensial termodifikasi. Pandang pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace dan Poisson
dalam domain persegi panjang, yaitu persamaan 3.1.21 dan 3.1.47. Dari persamaan diferensial termodifikasi 3.1.66 dan 3.1.68, maka secara berturut-turut
persamaan 3.1.21 dan 3.1.47 adalah pendekatan dari persamaan Laplace dan Poisson orde
.
2 2
y O
x O
Δ +
Δ
Kemudian pandang pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace dan Poisson dalam domain lingkaran, yaitu persamaan 3.1.42 dan 3.1.59. Dari
persamaan diferensial termodifikasi 3.1.67 dan 3.1.69, maka secara berturut-turut persamaan 3.1.42 dan 3.1.59 adalah pendekatan dari persamaan Laplace dan
Poisson dalam bentuk kutub orde .
2
2 2
θ
Δ +
Δ O
r O
95 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c. Kekonvergenan
Definisi 3.1.4
Persamaan-persamaan beda hingga adalah konvergen, jika penyelesaiannya mendekati penyelesaian eksak dari persamaan diferensial parsial, untuk
dan .
→ Δx
→ Δy
Misalkan
j i
u
,
menotasikan penyelesaian eksak dari PDP, menotasikan penyelesaian pendekatan dari PDP, dan
menotasikan beda diantara mereka. Maka pernyataan kekonvergenan adalah
j i
u
, j
i
e
,
, ,
,
→ =
−
j i
j i
j i
e u
u , untuk
→ Δx
dan →
Δy .
Dari definisi kekonvergenan dan kekonsistenan, maka penyelesaian dari sistem persamaan linear yang terdiri dari persamaan-persamaan beda hingga adalah
konvergen, jika persamaan beda hingganya konsisten dengan PDP. Pendekatan beda hingga dari persamaan Laplace dan Poisson dalam domain
persegi panjang dan lingkaran akan menghasilkan sistem persamaan linear yang dominan secara diagonal, karena nilai mutlak koefisien diagonal dari persamaan beda
hingga yaitu koefisien lebih besar atau sama dengan nilai mutlak dari jumlah
empat koefisien lainnya dalam persamaan atau dapat ditulis dalam bentuk:
j i
u
,
1 ,
1 ,
, 1
, 1
,
− +
− +
+ +
+ ≥
j i
j i
j i
j i
j i
a a
a a
a
,
96 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dimana adalah koefisien
, adalah koefisien
, adalah
koefisien ,
adalah koefisien , dan
adalah koefisien .
j i
a
, j
i
u
, j
i
a
, 1
+
j i
u
, 1
+
j i
a
, 1
−
j i
u
, 1
− 1
, +
j i
a
1 ,
+ j
i
u
1 ,
− j
i
a
1 ,
− j
i
u
B. Penyelesaian Numerik Persamaan Laplace dengan Metode Beda-Hingga
