AC B
4
2
−
=
2 2
2
1 4
c c
= ⋅
− ⋅
−
0. Jadi persamaan ini merupakan PDP hiperbolik.
Dalam skripsi ini, penulis hanya akan membahas persamaan Laplace dan persamaan Poisson.
B. Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson
Persamaan Laplace dan persamaan Poisson dapat timbul pada masalah- masalah fisis, seperti pada aliran panas dalam zat padat, difusi massa, aliran gas ideal,
dan elektrostatika. Dalam skripsi ini penulis hanya akan membahas persamaan Laplace dan persamaan Poisson yang timbul pada masalah aliran panas dua-dimensi
dalam zat padat, yaitu dalam pelat persegi panjang dan pelat cakram.
Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson dalam Pelat Persegi panjang
Misalkan suatu pelat baja persegi panjang dengan panjang p, lebar l, dan tebal γ , dipanaskan dan suhunya dijaga konstan pada bagian-bagian tepinya. Pada kedua
sisi permukaan pelat disekat sempurna, sehingga tidak ada aliran panas ke arah ketebalan
γ . Jadi diasumsikan bahwa didapatkan suatu bidang pelat x, y dengan aliran panas ke
arah x dan y saja, yang ditunjukkan pada Gambar 2.2.1.
12 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
penyekat Æ Å penyekat
gambaran dari depan gambaran dari samping
Gambar 2.2.1 Aliran panas dua-dimensi tetap dalam pelat persegi panjang
Dari Gambar 2.2.1, tampak bahwa elemen segi empat ABCD berukuran dan
laju aliran panas dalam arah x dan y secara berturut-turut adalah dan
melintasi tepi-tepi elemen dalam arah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2.1. Pada saat terjadi kesetimbangan, aliran panas yang masuk ke elemen pelat dalam
selang waktu harus sama dengan aliran panas yang keluar dari elemen pelat yaitu
y x
Δ ×
Δ x
Q y
Q
t Δ
[aliran panas yang masuk dalam arah horizontal] + [aliran panas yang masuk dalam arah vertikal] =
[aliran panas yang keluar dalam arah horizontal] + [aliran panas yang keluar dalam arah vertikal],
yang dapat ditulis menjadi ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ t
x y
y Q
t y
x x
Q t
x y
Q t
y x
Q Δ
Δ Δ
+ +
Δ Δ
Δ +
= Δ
Δ +
Δ Δ
γ γ
γ γ
. 2.2.1
x x
Q Δ
+
γ
y
y Q
y y
Q Δ
+
C D
p
x Q
y
A
l x
Q Q
Δ x
Δ x
x x
Δ +
Δ +
B
Q Q
y y
y
13 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan mengalikan persamaan 2.2.1 dengan
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ Δ
Δ t
y x
γ
1
dan menyusunnya
kembali, maka diperoleh =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ Δ
+ −
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ Δ
Δ +
− y
y y
Q y
Q x
x x
Q x
Q .
2.2.2 Dengan mengambil limitnya dan memandang turunan pertama fungsi dengan satu
variabel, maka persamaan 2.2.2 dapat ditulis menjadi
= ∂
∂ −
∂ ∂
− y
y Q
x x
Q
. 2.2.3
Berdasarkan hukum konduksi panas Fourier
bahwa laju aliran panas per-unit elemen dalam arah x
x Q
s cm
kal
2
adalah sebanding terhadap gradien temperatur
x t
y x
u ∂
∂ ,
, , maka diperoleh
x u
C k
x Q
∂ ∂
− =
ρ ,
2.2.4 dimana k adalah koefisien difusi panas
,
2
s cm
ρ adalah kerapatan massa
3
cm gr
, dan C adalah kapasitas panas dari massa
C gr
kal
. Analog dalam arah y akan diperoleh
y u
C k
y Q
∂ ∂
− =
ρ .
2.2.5 Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2.4 dan 2.2.5 ke dalam persamaan 2.2.3,
maka dihasilkan
14 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2 2
2 2
= ∂
∂ +
∂ ∂
y u
x u
, 2.2.6
dimana , karena dalam keadaan setimbang u tidak dipengaruhi oleh
waktu. Persamaan 2.2.6 disebut persamaan Laplace dalam bentuk dua dimensi. ,
y x
u u
=
Jika ada sumber panas yang timbul dalam pelat seperti: pertukaran panas, yang didiskripsikan oleh fungsi
C k
volume unit
per panas
hilangnya laju
y x
f
ρ
= ,
, dimana k adalah koefisien difusi panas,
ρ adalah kerapatan massa, dan C adalah kapasitas panas dari massa. Analog dengan cara diperolehnya persamaan Laplace,
maka akan diperoleh persamaan Poisson dalam bentuk dua dimensi berikut: ,
, ,
2 2
2 2
y x
f y
y x
u x
y x
u =
∂ ∂
+ ∂
∂ .
2.2.7 Persamaan Laplace 2.2.6 dan Poisson 2.2.7 dapat ditulis dalam bentuk:
dan ,
2
= ∇ u
,
2
y x
f u
= ∇
dimana .
yy xx
u u
u +
= ∇
2
Persamaan Laplace dan persamaan Poisson berhubungan dengan masalah kesetimbangan yaitu dalam keadaan fisis tidak dipengaruhi oleh waktu t. Dalam
kasus ini, penyelesaian di titik dalam dalam domain pada bidang-xy
bergantung pada penyelesaian di semua titik yang lain dalam domain itu, yang
disebut domain ketergantungan. Sebaliknya, perubahan penyelesaian di titik dalam akan mempengaruhi titik yang lain dalam domain itu, yang disebut range
, y
x u
, y
x u
15 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
pengaruh . Domain ketergantungan dan range pengaruh di titik P dalam domain
persegi panjang D diilustrasikan dalam Gambar 2.2.2.
domain ketergantungan
dan range
pengaruh y
batas tertutup
P •
D
Gambar 2.2.2 Domain penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang
x Penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah fungsi
, fungsi ini harus memenuhi syarat batas yang ditentukan. Dua tipe syarat batas yang
sering digunakan adalah: ,
y x
u
1. Syarat batas Dirichlet
Syarat batas Dirichlet untuk persamaan Laplace dan persamaan Poisson secara berturut-turut adalah
dalam domain D dan =
pada batas C, dan
2
= ∇ u
, y
x u
, y
x g
dalam domain D dan =
pada batas C,
,
2
y x
f u
= ∇
, y
x u
, y
x g
dimana adalah suhu yang ditentukan. Pada tipe syarat batas ini, suhu
di setiap titik pada batas diketahui. ,
y x
g
2. Syarat batas Neumann
Syarat batas Neumann untuk persamaan Laplace dan persamaan Poisson secara berturut-turut adalah
16 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dalam domain D dan
2
= ∇ u
, ,
y x
g n
y x
u =
∂ ∂
pada batas C, dan
dalam domain D dan
,
2
y x
f u
= ∇
, ,
y x
g n
y x
u =
∂ ∂
pada batas C. Pada tipe syarat batas ini, ada suhu di titik pada batas yang tidak diketahui.
Persamaan Laplace dan Persamaan Poisson dalam Pelat Cakram
Misalkan suatu pelat baja cakram dengan jari-jari lingkarannya r dan tebal γ ,
dipanaskan dan suhunya dijaga konstan pada tepi batasnya. Pada kedua sisi permukaan pelat disekat sempurna, sehingga tidak ada aliran panas ke arah ketebalan
γ . Jadi diasumsikan bahwa didapatkan suatu domain bidang lingkaran pelat ,
θ r
dengan aliran panas ke arah r dan θ saja, yang ditunjukkan pada Gambar 2.2.3.
γ
penyekat Æ Å penyekat
r
θ Q
gambaran dari depan gambaran dari samping
Gambar 2.2.3 Aliran panas dua-dimensi tetap dalam pelat cakram
, θ
r
Δ θ
Δ
r Q
r r
Q Δ
+
r r
Δ Q
+
• •
• •
C θ
θ Δ +
Q r
Q D
o
B A
θ θ Δ
+ Q
θ
Q
17 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karena domain dari persamaan Laplace berbentuk lingkaran, maka persamaan Laplace ditransformasikan dengan fungsi kontinu ke dalam sistem koordinat kutub
Gambar 2.2.4 dengan menggunakan transformasi x = r
θ
cos
dan y = r θ
sin
, 2.2.8
sehingga diperoleh sin
, cos
, θ
θ θ
r r
u r
U =
.
y
θ r
x
, θ
r U
Gambar 2.2.4 Koordinat kutub
Dengan menurunkan persamaan 2.3.8, akan didapatkan dx =
− dr
θ cos
r θ
sin
θ
d
dan dy = sin θ
dr
+ r θ
cos
θ
d
, yang akan memberikan
dr = θ
cos dx
+ θ
sin
dy dan θ
d
= dx
r θ
sin −
+ dy
r θ
cos .
Menggunakan aturan rantai untuk pendiferensialan akan diperoleh
dy y
r dx
x r
dr ∂
∂ +
∂ ∂
=
,
dy y
dx x
d ∂
∂ +
∂ ∂
=
θ θ
θ ,
dimana
18 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
θ cos
= ∂
∂ x
r ,
θ
sin =
∂ ∂
y r
, r
x θ
θ sin
− =
∂ ∂
,
r y
θ θ
cos =
∂ ∂
, dan
u r
r x
u x
r r
u x
u ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
= ∂
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
= ∂
∂ θ
θ θ
θ θ
sin cos
,
u r
r y
u y
r r
u y
u ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ +
∂ ∂
= ∂
∂ ∂
∂ +
∂ ∂
∂ ∂
= ∂
∂ θ
θ θ
θ θ
cos sin
. Kemudian,
2 2
x u
∂ ∂
=
2 2
2 2
2 2
2 2
sin cos
sin 2
cos
θ θ
θ θ
θ θ
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
− ∂
∂ U
r r
U r
r U
θ θ
θ θ
∂ ∂
+ ∂
∂ +
U r
r U
r
2 2
cos sin
2 sin
, 2.2.9
2 2
y u
∂ ∂
=
2 2
2 2
2 2
2 2
cos cos
sin 2
sin
θ θ
θ θ
θ θ
∂ ∂
+ ∂
∂ ∂
+ ∂
∂ U
r r
U r
r U
θ θ
θ θ
∂ ∂
− ∂
∂ +
U r
r U
r
2 2
cos sin
2 cos
. 2.2.10 Dengan mensubstitusikan persaman 2.3.9 dan 2.3.10 ke dalam persamaan Laplace
2.2.6, akan didapatkan persamaan Laplace dalam bentuk kutub dua dimensi berikut:
, 1
1
2 2
2 2
2
= ∂
∂ +
∂ ∂
+ ∂
∂
θ
U r
r U
r U
r
dimana sin
, cos
, θ
θ θ
r r
u r
U =
. Jika ada sumber panas yang timbul dalam pelat cakram seperti: pertukaran
panas, yang didiskripsikan oleh fungsi ,
θ r
f , maka akan timbul persamaan
Poisson dalam bentuk kutub dua dimensi berikut:
. ,
1 1
2 2
2 2
2
θ θ
r f
U r
r U
r U
r =
∂ ∂
+ ∂
∂ +
∂ ∂
19 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Domain ketergantungan dan range pengaruh di titik Q dalam domain lingkaran D diilustrasikan dalam Gambar 2.2.5 di bawah ini.
domain ketergantungan
dan range
pengaruh y
batas tertutup
D Q
• o
x
Gambar 2.2.5 Domain penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat cakram
Penyelesaian persamaan Laplace dan persamaan Poisson dalam pelat cakram adalah fungsi
, θ
r U
, fungsi ini harus memenuhi syarat batas yang ditentukan. Syarat batas yang digunakan serupa dengan yang digunakan dalam pelat persegi panjang.
C. Penyelesaian Persamaan Laplace Secara Eksak
