Penyelesaian Numerik Persamaan Laplace dengan Metode Beda-Hingga

dimana adalah koefisien , adalah koefisien , adalah koefisien , adalah koefisien , dan adalah koefisien . j i a , j i u , j i a , 1 + j i u , 1 + j i a , 1 − j i u , 1 − 1 , + j i a 1 , + j i u 1 , − j i a 1 , − j i u

B. Penyelesaian Numerik Persamaan Laplace dengan Metode Beda-Hingga

1. Persamaan Laplace dalam Pelat Persegi Panjang

Perambatan panas di titik-titik dalam dan tepi batas pelat yang suhunya tidak diketahui dapat diselesaikan dengan metode Beda-Hingga, yaitu dengan pendekatan beda hingga persamaan 3.1.21 untuk titik-titik dalam, persamaan 3.1.25 sampai dengan 3.1.28 untuk titik-titik pada tepi batas pelat yang suhunya tidak diketahui, dan persamaan 3.1.32 sampai dengan 3.1.35 untuk titik-titik siku yang suhunya tidak diketahui. Pendekatan beda hingga tersebut akan menghasilkan suatu sistem persamaan linear yang dapat diselesaikan dengan metode iterasi Gauss-Seidel. Algoritma penyelesaian persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet Langkah 1. Masukkan suhu tepi bawah G1, tepi atas G2, tepi kiri G3, dan tepi kanan G4, panjang pelat a, lebar pelat b, jumlah garis grid pada sumbu x n, jumlah garis grid pada sumbu y m, dan toleransi TOL. Langkah 2. Hitung 1 − = Δ n a h x , 1 − = Δ m b k y , dan k h B = β . Langkah 3. Tentukan suhu di titik-titik pada tepi batas dan rata-rata suhunya ave. Untuk , hitung m j , , 3 , 2 , 1 K = 3 , 1 G j u = dan . 4 , G j n u = 97 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K , hitung 1 1 , G i u = dan . 2 , G m i u = Hitung ave = [u1, j + un, j + ui, 1 + ui, m] [jumlah titik pada batas p]. Langkah 4. Tentukan suhu awal di titik-titik dalam. Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K dan 1 , , 3 , 2 − = m j K , hitung ave j i w j i u = = , , , dimana adalah hasil pendekatan beda hingga sebelumnya. , j i w Langkah 5. Hitung pendekatan beda hingga di titik-titik dalam. Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K dan 1 , , 3 , 2 − = m j K , hitung 2 2 2 1 2 ] 1 , 1 , , 1 , 1 [ , B j i u B j i u B j i u j i u j i u + − + + + − + + = . Langkah 6. Hitung kesalahan relatif dan kesalahan yang tertinggi M. Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K dan 1 , , 3 , 2 − = m j K , hitung , , 1 , 1 j i w j i u abs j i C − = − − . Hitung M = maks Ci, j. Langkah 7. Simpan hasil pendekatan beda hingga ke dalam matriks . , j i w Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K dan 1 , , 3 , 2 − = m j K , hitung . , , j i u j i w = Langkah 8. Analisislah kekonvergenan. Jika M TOL, maka lanjutkan ke langkah 9. Jika tidak, maka kembali ke langkah 5. Langkah 9. Stop. 98 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Algoritma penyelesaian persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann Langkah 1. Masukkan G1, G2, G3, G4, a, b, n, m, dan TOL. Untuk tepi batas yang suhunya tidak diketahui, masukkan tanda − . Langkah 2. Hitung 1 − = Δ n a h x , 1 − = Δ m b k y , dan k h B = β . Langkah 3. Tentukan suhu di titik-titik batas yang tidak sama dengan dan hitung rata-rata suhunya ave. − Jika , maka untuk 1 − ≠ G n i , , 2 , 1 K = hitung . 1 1 , G i u = Jika , maka untuk 2 − ≠ G n i , , 2 , 1 K = hitung . 2 , G m i u = Jika , maka untuk 3 − ≠ G m j , , 2 , 1 K = hitung . 3 , 1 G j u = Jika , maka untuk 4 − ≠ G m j , , 2 , 1 K = hitung . 4 , G j n u = Hitung ave = [u1, j + un, j + ui, 1 + ui, m] [jumlah titik pada batas yang suhuya tidak sama dengan − p]. Langkah 4. Tentukan suhu awal di titik-titik dalam. Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K dan 1 , , 3 , 2 − = m j K , hitung ave j i w j i u = = , , . Langkah 5. Tentukan suhu awal di titik-titik batas yang suhunya sama dengan − . Jika , maka untuk 1 − = G 1 , , 3 , 2 − = n i K hitung ave i w i u = − = 1 , 1 1 1 , . Jika , maka untuk 2 − = G 1 , , 3 , 2 − = n i K hitung ave i w m i u = − = 1 , 1 2 , . Jika , maka untuk 3 − = G 1 , , 3 , 2 − = m j K hitung ave j w j u = − = 1 , 1 3 , 1 . Jika , maka untuk 4 − = G 1 , , 3 , 2 − = m j K hitung ave j n w j n u = − = 1 , 4 , . 99 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Langkah 6. Tentukan suhu awal di titik siku yang suhunya sama dengan . − Jika dan 1 − = G 3 − = G , maka hitung ave w u = = 11 1 , 1 . Jika dan 2 − = G 3 − = G , maka hitung ave m w m u = = 1 , 1 . Jika dan 1 − = G 4 − = G , maka hitung ave wn n u = = 1 1 , . Jika dan 2 − = G 4 − = G , maka hitung ave wnm m n u = = , . Langkah 7. Hitung pendekatan beda hingga, kesalahan relatif, dan simpan hasil pendekatan di titik siku yang suhunya sama dengan − . Jika dan 1 − = G 3 − = G , maka tentukan di titik siku u1, 1: , 1 2 1 , 2 2 2 , 1 2 1 , 1 2 2 B u u B u + + = , 11 1 , 1 11 w u abs C − = . 1 , 1 11 u w = Jika dan 2 − = G 3 − = G , maka tentukan di titik siku u1, m: , 1 2 , 2 2 1 , 1 2 , 1 2 2 B m u m u B m u + + − = , 1 , 1 1 m w m u abs m C − = . , 1 1 m u m w = Jika dan 1 − = G 4 − = G , maka tentukan titik siku un, 1: , 1 2 2 , 2 1 , 1 2 1 , 2 2 B n u B n u n u + + − = , 1 1 , 1 wn n u abs Cn − = . 1 , 1 n u wn = Jika dan 2 − = G 4 − = G , maka tentukan di titik siku un, m: , 1 2 1 , 2 , 1 2 , 2 2 B m n u B m n u m n u + − + − = , , wnm m n u abs Cnm − = . , m n u wnm = Langkah 8. Hitung pendekatan beda hingga, kesalahan relatif, dan simpan hasil pendekatan di titik-titik pada tepi batas yang suhunya sama dengan − . 100 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jika , maka untuk 1 − = G 1 , , 3 , 2 − = n i K hitung: , 1 2 2 , 2 1 , 1 1 , 1 1 , 2 2 B i u B i u i u i u + + − + + = , 1 , 1 1 1 , 1 , 1 1 − − = − i w i u abs i C dan 1 , 1 , 1 1 i u i w = − . Jika , maka untuk 2 − = G 1 , , 3 , 2 − = n i K hitung 1 2 1 , 2 , 1 , 1 , 2 2 B m i u B m i u m i u m i u + − + − + + = , 1 , 1 2 , 1 , 1 2 − − = − i w m i u abs i C , dan . , 1 , 1 2 m i u i w = − Jika , maka untuk 3 − = G 1 , , 3 , 2 − = m j K hitung 1 2 1 , 1 1 , 1 , 2 2 , 1 2 2 2 B j u B j u B j u j u + − + + + = , 1 , 1 3 , 1 1 , 1 3 − − = − j w j u abs j C , dan . , 1 1 , 1 3 j u j w = − Jika , maka untuk 4 − = G 1 , , 3 , 2 − = m j K hitung 1 2 1 , 1 , , 1 2 , 2 2 2 B j n u B j n u B j n u j n u + − + + + − = , 1 , 1 4 , 1 , 1 4 − − = − j w j n u abs j C , dan . , 1 , 4 j n u j n w = − Langkah 9. Hitung pendekatan beda hingga, kesalahan relatif, dan simpan hasil pendekatan di titik-titik dalam. Untuk 1 , 3 , 2 − = n i dan 1 , 3 , 2 − = m j , hitung 2 2 2 1 2 ] 1 , 1 , , 1 , 1 [ , B j i u B j i u B j i u j i u j i u + − + + + − + + = , 101 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , , 1 , 1 j i w j i u abs j i C − = − − , dan , , j i u j i w = . Langkah 10. Hitung kesalahan relatif tertinggi M. M = maks [maks C maks C1 maks C2 maks C3 maks C4 maks C11 maks C1m maks Cn1 maks Cnm]. Langkah 11. Analisislah kekonvergenan. Jika M TOL, maka lanjutkan ke langkah 12. Jika tidak, maka kembali ke langkah 7. Langkah 12. Stop. Contoh 3.2.1 Suatu pelat baja persegi panjang dengan panjang 4 cm, lebar 4 cm, dan tebal 1 cm, dengan suhu pada tepi-tepi batas pelat diilustrasikan pada Gambar 3.2.1. Carilah suhu di titik-titik dalam pelat tersebut pada saat mancapai kesetimbangan. y C o 180 C o 80 C o = + yy xx u u C o 20 x 4 4 Gambar 3.2.1 Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Dirichlet Penyelesaian: Misalkan domain persegi panjang dalam Gambar 3.2.1 dibagi dengan grid berukuran dimana , yang dapat dilihat pada Gambar 3.1.4. 5 5 × 1 = Δ = Δ y x 102 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Masalah diatas dapat diselesaikan dengan bantuan program Matlab dalam Lampiran 3.2.1 yang menghasilkan: LaplaceSikuDirichlet20,180,80,0,4,4,5,5,0.00001 Penyelesaian di titik-titik dalam pelat disertai dengan suhu batas: uij = 80.0000 180.0000 180.0000 180.0000 0 80.0000 112.8571 111.7857 84.2857 0 80.0000 79.6429 70.0000 45.3571 0 80.0000 55.7143 43.2143 27.1429 0 80.0000 20.0000 20.0000 20.0000 0 Contoh 3.2.2 Suatu pelat baja persegi panjang dengan panjang 4 cm, lebar 4 cm, dan tebal 1 cm, yang diilustrasikan pada Gambar 3.2.2. Carilah suhu di titik-titik dalam dan tepi bawah pelat pada saat mancapai kesetimbangan. y C o 180 C o 80 C o = + yy xx u u x C u y o = 4 4 Gambar 3.2.2 Persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang dengan syarat batas Neumann Penyelesaian: Misalkan domain persegi panjang dalam Gambar 3.2.2 dibagi dengan grid berukuran dimana , dengan suhu pada tepi bawah tidak diketahui yang dapat dilihat pada Gambar 3.1.5. 5 5 × 1 = Δ = Δ y x 103 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Masalah diatas dapat diselesaikan dengan bantuan program Matlab dalam Lampiran 3.2.2 yang menghasilkan: LaplaceSikuNeumann-,180,80,0,4,4,5,5,0.00001 Penyelesaian di titik-titik dalam: uij = 115.6276 115.1468 86.3492 87.3636 78.6103 50.2502 75.2165 61.6806 36.0413 Penyelesaian di titik-titik pada tepi batas bawah: ui1 = 71.8218 56.8543 32.2342

2. Persamaan Laplace dalam Pelat Cakram

Perambatan panas di titik-titik dalam dan tepi batas pelat cakram yang suhunya tidak diketahui dapat diselesaikan dengan metode Beda-Hingga, yaitu dengan pendekatan beda hingga persamaan 3.1.44 dan 3.1.42 untuk titik-titik dalam dan persamaan 3.1.43 untuk titik-titik pada tepi batas pelat yang suhunya tidak diketahui. Pendekatan beda hingga tersebut akan menghasilkan suatu sistem persamaan linear yang dapat diselesaikan dengan metode iterasi Gauss-Seidel. Algoritma penyelesaian persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas Dirichlet Langkah 1. Masukkan suhu batas 2 π θ ≤ G1, batas π θ π ≤ 2 G2, batas 2 π θ π − ≤ − G3, dan batas 2 ≤ − θ π G4, jari-jari pelat r, jumlah lingkaran grid n, jumlah garis grid m, dan toleransi TOL. 104 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Langkah 2. Hitung n a h r = Δ , m k π θ 2 = Δ , dan k h A = α . Langkah 3. Tantukan suhu pada titik-titik batas dan hitung rata-rata suhunya ave. Untuk 4 , , 2 , 1 m j K = , hitung , 1 , G j n U = , 2 4 , G j m n U = + , 3 4 2 , G j m n U = + dan . 4 4 3 , G j m n U = + Hitung [ ] m j m n u j m n u j m n u j n u ave + + + + + + = 4 3 , 4 2 , 4 , , . Langkah 4. Tentukan suhu awal di titik-titik dalam. Untuk 1 , , 2 , 1 − = n i K dan m j , , 2 , 1 K = , hitung , ave j i W j i U = = , , dimana adalah hasil pendekatan beda hingga sebelumnya. , j i W Langkah 5. Hitung pendekatan beda hingga di titik-titik dalam . , 1 j U Untuk dan 1 = i m j , , 2 , 1 K = , hitung 1 , 1 1 , 1 , , 1 , 1 U m U m U U = + = , 2 2 2 2 2 2 1 2 ] 1 , 1 1 1 , 1 1 , 2 2 [ , 1 k A j U k A j U k A j U j U + − + + + = . Langkah 6. Hitung pendekatan beda di titik-titik dalam sampai . , 2 j U , 1 j n U − Untuk 1 , , 2 , 1 − = n i K dan m j , , 2 , 1 K = , hitung , 1 , 1 , , , , i U m i U m i U i U = + = dan ]. 1 2 [ ] 1 , 1 1 , 1 , 1 2 1 1 , 1 2 1 1 [ , 2 2 2 2 2 2 k A j i U k A j i U k A j i U A j i U A j i U + − + + + − − + + + = Langkah 7. Hitung kesalahan relatif dan kesalahan relatif tertinggi M. Untuk 1 , , 2 , 1 − = n i K dan m j , , 2 , 1 K = , hitung 105 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , , , j i w j i u abs j i C − = . Hitung M = maks Ci, j. Langkah 8. Simpan hasil pendekatan beda hingga dalam matriks . , j i w Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K dan 1 , , 3 , 2 − = m j K , hitung . , , j i u j i w = Langkah 9. Analisislah kekonvergenan. Jika M TOL, maka dilanjutkan ke langkah 10. Jika tidak, maka kembali ke langkah 5. Langkah 10. Stop. Algoritma penyelesaian persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas Neumann Langkah 1. Masukkan G1, G2, G3, G4, r, n, m, dan TOL. Untuk tepi batas yang suhuya tidak diketahui, masukkan tanda . − Langkah 2. Hitung n a h r = Δ , m k π θ 2 = Δ , dan k h A = α . Langkah 3. Tentukan suhu pada titik-titik batas dan hitung rata-rata suhunya ave. Untuk 4 , , 2 , 1 m j K = : Jika , hitung 1 − ≠ G 1 , G j n U = , Jika , hitung 2 − ≠ G 2 4 , G j m n U = + , Jika , hitung 3 − ≠ G 3 4 2 , G j m n U = + , Jika , hitung 4 − ≠ G 2 4 3 , G j m n U = + . Hitung 106 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Ave = ] 4 3 , 4 2 , 4 , , [ j m n U j m n U j m n U j n U + + + + + + [jumlah titik-titik pada batas yang suhuya diketahui p]. Langkah 4. Tentukan suhu awal di titik-titik dalam. Untuk 1 , , 2 , 1 − = n i K dan m j , , 2 , 1 K = , hitung , ave j i W j i U = = , , dimana adalah hasil pendekatan beda hingga sebelumnya. , j i W Langkah 5. Tentukan suhu awal di titik pada batas yang suhunya sama dengan − . Untuk 4 , , 2 , 1 m j K = : jika , hitung 1 − = G ave j W j n U = = , 1 1 , , jika , hitung 2 − = G ave j W j m n U = = + , 1 2 4 , , jika , hitung 3 − = G ave j W j m n U = = + , 1 3 4 2 , , jika , hitung 4 − = G ave j W j m n U = = + , 1 4 4 3 , . Langkah 6. Hitung pendekatan beda hingga, kesalahan relatif, dan hasil pendekatan di titik pada batas yang suhunya sama dengan − . Jika , maka untuk 1 − = G 4 , , 2 , 1 m j K = dan hitung , , m n U n U = 2 2 2 2 2 2 1 2 ] 1 , 1 1 , 1 , 1 2 [ , k A j n U k A j n U k A j n U j n U + − + + + − = , , 1 1 , , 1 1 j w j n U abs j C − = , dan , , 1 1 j n U j W = . Jika , maka untuk 2 − = G 4 , , 2 , 1 m j K = hitung ], 1 2 [ ] 1 4 , 1 1 4 , 1 4 , 1 2 [ 4 , 2 2 2 2 2 2 k A j m n U k A j m n U k A j m n U j m n U + − + + + + + + − = + 107 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI , 1 2 4 , , 1 2 j w j m n U abs j C − + = , dan j m n U j W + = 4 , , 1 2 . Jika , maka untuk 3 − = G 4 , , 2 , 1 m j K = hitung ], 1 2 [ ] 1 4 2 , 1 1 4 2 , 1 4 2 , 1 2 [ 4 2 , 2 2 2 2 2 2 k A j m n U k A j m n U k A j m n U j m n U + − + + + + + + − = + , 1 2 4 , , 1 2 j w j m n U abs j C − + = , dan j m n U j W + = 4 2 , , 1 3 . Jika , maka untuk 4 − = G 4 , , 2 , 1 m j K = dan hitung 1 , 1 , n U m n U = + ], 1 2 [ ] 1 4 3 , 1 1 4 3 , 1 4 3 , 1 2 [ 4 3 , 2 2 2 2 2 2 k A j m n U k A j m n U k A j m n U j m n U + − + + + + + + − = + , 1 4 4 3 , , 1 4 j w j m n U abs j C − + = , dan j m n U j W + = 4 3 , , 1 4 . Langkah 7. Hitung pendekatan beda hingga, kesalahan relatif, dan hasil pendekatan di titik-titik dalam . Untuk , 1 j U m j , , 2 , 1 K = , , dan , 1 , 1 m U U = 1 , 1 1 , 1 U m U = + hitung 2 2 2 2 2 2 1 2 ] 1 , 1 1 1 , 1 1 , 2 2 [ , 1 k A j U k A j U k A j U j U + − + + + = , , 1 , 1 , 1 j W j U abs j C − = , dan , 1 , 1 j U j W = . Langkah 8. Hitung pendekatan beda hingga, kesalahan relatif, dan hasil pendekatan di titik-titik dalam sampai , 2 j U , 1 j n U − . Untuk 1 , , 3 , 2 − = n i K , , m j , , 2 , 1 K = , , m i U i U = , dan 1 , 1 , i U m i U = + hitung ], 1 2 [ ] 1 , 1 1 , 1 , 1 2 1 1 , 1 2 1 1 [ , 2 2 2 2 2 2 k A j i U k A j i U k A j i U A j i U A j i U + − + + + − − + + + = , , , j i W j i U abs j i C − = , dan , , j i U j i W = . 108 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Langkah 9. Hitung kesalahan relatif yang tertinggi. M = maks [maks C maks C1 maks C2 maks C4]. Langkah 10. Analisilah kekonvergenan. Jika M TOL, maka dilanjutkan ke langkah 11. Jika tidak, maka kembali ke langkah 6. Langkah 11. Stop. Contoh 3.2.3 Suatu pelat baja berbentuk cakram dengan jari-jari 2 cm dan tebal 1 cm, dengan syarat batas pada tepi lingkaran pelat adalah 100 , 2 = θ U pada π θ 2 ≤ ≤ , yang diilustrasikan pada Gambar 3.2.3. Carilah suhu di titik-titik dalam pelat tersebut pada saat mancapai kesetimbangan. Gambar 3.2.3 Persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas Dirichlet • cm 2 • C o 100 Penyelesaian: Misalkan domain lingkaran dalam Gambar 3.2.3 dibagi dengan grid berukuran 4 garis jari-jari grid × 8 lingkaran grid yang dapat dilihat pada Gambar 3.1.9. Masalah diatas dapat diselesaikan dengan bantuan program Matlab dalam Lampiran 3.2.3 yang menghasilkan: 1 1 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂U U θ U r r r r 109 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI LaplaceKutubDirichlet100,100,100,100,2,4,8,0.00001 Penyelesaian pendekatan di titik-titik dalam disertai dengan suhu pada batas: Uij = 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 0.1772 1.9197 13.8407 100.0000 Contoh 3.2.4 Suatu pelat baja berbentuk cakram dengan jari-jari 2 cm dan tebal 1 cm, dengan syarat batas pada tepi lingkaran pelat adalah , 2 = θ r U pada π θ ≤ , dan 100 , 2 = θ U pada ≤ − θ π , yang diilustrasikan pada Gambar 3.2.4. Carilah suhu di titik-titik dalam dan titik-titik pada batas pelat tersebut pada saat mancapai kesetimbangan. 100 C U r o = C o π • • cm 4 • 1 1 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ θ U r r U r U r Gambar 3.2.4 Persamaan Laplace dalam pelat cakram dengan syarat batas Neumann 110 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Penyelesaian: Misalkan domain lingkaran dalam Gambar 3.2.4 dibagi dengan grid berukuran 4 garis jari-jari grid × 8 lingkaran grid yang dapat dilihat pada Gambar 3.1.10. Masalah diatas dapat diselesaikan dengan bantuan program Matlab dalam Lampiran 3.2.4 yang menghasilkan: LaplaceKutubNeumann-,-,100,100,2,4,8,0.00001 Penyelesaian pendekatan di titik-titik dalam dan batas disertai dengan suhu yang diketahui pada batas: Uij = 0.1753 1.9022 13.7774 100.0000 0.1772 1.9196 13.8404 100.0000 0.1772 1.9196 13.8404 100.0000 0.1753 1.9022 13.7774 100.0000 0.0022 0.0210 0.0888 0.1855 0.0000 0.0002 0.0005 0.0004 0.0000 0.0002 0.0005 0.0004 0.0022 0.0210 0.0888 0.1855

C. Penyelesaian Numerik Persamaan Poisson dengan Metode Beda-Hingga