3. Pendekatan Beda Hingga untuk Persamaan Poisson
a. Persamaan Poisson dalam Pelat Persegi Panjang
Bentuk persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang adalah ,
y x
f u
u
yy xx
= +
. 3.1.45
Domain dari persamaan Poisson dalam pelat persegi panjang adalah berbentuk persegi panjang
{
b y
a x
y x
D ≤
≤ ≤
≤ =
, ,
}
, yang akan ditutup dengan grid seragam dengan jarak
dan
x Δ
y Δ , yang telah ditunjukkan pada Gambar 3.1.1.
Pendekatan beda hingga di titik-titik dalam pada persamaan Poisson dalam domain D diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.15 dan 3.1.17 ke
dalam persamaan 3.1.45, maka diperoleh
2 ,
1 ,
, 1
2 x
u u
u
j i
j i
j i
Δ +
−
− +
+
2 1
, ,
1 ,
2 y
u u
u
j i
j i
j i
Δ +
−
− +
= ,
3.1.46
j i
f
,
dimana =
dan galat globalnya adalah .
j i
f
,
,
j i
y x
f
2 2
y O
x O
Δ +
Δ
Dengan mengalikan persamaan 3.1.46 dengan dan mensubstitusikan definisi
2
x Δ
β persamaan 3.1.20, akan dihasilkan . 3.1.47
j i
j i
j i
j i
j i
j i
f x
u u
u u
u
, 2
, 2
1 ,
2 1
, 2
, 1
, 1
1 2
Δ =
+ −
+ +
+
− +
− +
β β
β Jika jarak grid sama
= , maka
x Δ
y Δ
1 =
β sehingga persamaan 3.1.47 menjadi
. 3.1.48
j i
j i
j i
j i
j i
j i
f x
u u
u u
u
, 2
, 1
, 1
, ,
1 ,
1
4 Δ
= −
+ +
+
− +
− +
Pendekatan beda hingga di titik dalam untuk persamaan Poisson dalam domain
persegi panjang dapat diilustrasikan dalam Gambar 3.1.11.
j i
u
,
80 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
y
Gambar 3.1.11 Pendekatan beda hingga di titik dalam untuk persamaan Poisson
j i
u
,
dalam pelat persegi panjang
Jika kondisi batas yang digunakan adalah kondisi batas Neumann, maka analog dengan pada persamaan Laplace dalam domain persegi panjang akan
diperoleh pendekatan beda hingga untuk persamaan Poisson di titik pada tepi-tepi batas yang nilainya tidak diketahui berikut
j n
j n
j n
j n
j n
f x
u u
u u
, 2
, 2
1 ,
2 1
, 2
, 1
1 2
2 Δ
= +
− +
+
− +
−
β β
β di tepi kanan, 3.1.49
j j
j j
j
f x
u u
u u
, 1
2 ,
1 2
1 ,
1 2
1 ,
1 2
, 2
1 2
2 Δ
= +
− +
+
− +
β β
β di tepi kiri, 3.1.50
di tepi atas, 3.1.51
m i
m i
m i
m i
m i
f x
u u
u u
, 2
, 2
1 ,
2 ,
1 ,
1
1 2
2 Δ
= +
− +
+
− −
+
β β
1 ,
2 1
, 2
2 ,
2 1
, 1
1 ,
1
1 2
2
i i
i i
i
f x
u u
u u
Δ =
+ −
+ +
− +
β β
di tepi bawah. 3.1.52 Jika ada dua tepi batas yang nilainya tidak diketahui saling tegak lurus, maka
analog dengan pada persamaan Laplace dalam domain persegi panjang akan diperoleh pendekatan beda hingga di titik siku berikut
1 ,
1 2
1 ,
1 2
1 ,
2 2
, 1
2
1 2
2 2
f x
u u
u Δ
= +
− +
β β
di titik siku ,
3.1.53
1 ,
1
u
x a
b •
1 ,
+ j
i
u o
i
u
,
• •
i
x o
o
j
o o
o
j
y
j i
u
, 1
+ j
i
u
, 1
− 1
, −
j i
u x
Δ y
Δ
o
81 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
m m
m m
f x
u u
u
, 1
2 ,
1 2
, 2
1 ,
1 2
1 2
2 2
Δ =
+ −
+
−
β β
di titik siku ,
3.1.54
m
u
, 1
1 ,
2 1
, 2
2 ,
2 1
, 1
1 2
2 2
n n
n n
f x
u u
u Δ
= +
− +
−
β β
di titik siku ,
3.1.55
1 ,
n
u
m n
m n
m n
m n
f x
u u
u
, 2
, 2
1 ,
2 ,
1
1 2
2 2
Δ =
+ −
+
− −
β β
di titik siku .
3.1.56
m n
u
,
Contoh 3.1.5
Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Poisson dalam pelat
persegi panjang
xy u
− =
∇
2
{ }
4 ,
4 :
, ≤
≤ ≤
≤ =
y x
y x
D , dengan syarat batas
, 4
, =
= y
u y
u pada
4 y
, dan ,
= x
u ,
80 4
, =
x u
pada 4
x .
Penyelesaian:
Misalkan domain persegi panjang dibagi dengan grid berukuran dimana
, dengan nilai pada tepi-tepi batas ditunjukkan pada Gambar 3.1.12. 5
5 ×
1 =
Δ =
Δ y
x
Gambar 3.1.12 Grid berukuran
5 5
×
dimana
1 =
Δ =
Δ y
x
untuk persamaan Poisson dengan syarat batas Dirichlet
• •
• •
• •
• •
• •
•
• •
• •
•
• •
• •
•
1 ,
2
= u
1 ,
3
= u
1 ,
4
= u
80
5 ,
2
= u
5 ,
3
80 =
u 80
5 ,
4
u
4 ,
1
=
•
5 ,
1
= u
•
5 ,
5
= u
= u
3 ,
1
= u
2 ,
1
= u
4 ,
5
= u
3 ,
5
= u
2 ,
5
u
2 ,
2
u
3 ,
2
u
4 ,
2
u
2 ,
3
u
3 ,
3
u
4 ,
3
u
3 ,
4
u
2 ,
4
u
4 ,
4
u
=
1
2
= x
2
3
= x
3
4
= x
1
2
= y
2
3
= y
3
4
y =
• •
1 ,
1
= u
1 ,
5
= u
82 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karena , maka dengan pendekatan beda hingga 3.1.48 dengan
akan diperoleh persamaan beda hingga di titik dalam berikut
1 =
Δ =
Δ y
x
1 ,
2 2
, 1
= = u
u
2 ,
2
u 1
4
2 ,
3 3
, 2
2 ,
2
− =
+ +
− u
u u
. Dengan analog akan diperoleh persamaan beda hingga di titik dalam lainnya berikut:
2 4
3 ,
3 4
, 2
3 ,
2 2
, 2
− =
+ +
− u
u u
u ,
83 80
3 4
4 ,
3 4
, 2
3 ,
2
− =
− −
= +
− u
u u
, 2
4
2 ,
4 3
, 3
2 ,
3 2
, 2
− =
+ +
− u
u u
u ,
4 4
3 ,
4 4
, 3
3 ,
3 2
, 3
3 ,
2
− =
+ +
− +
u u
u u
u ,
68 80
6 4
4 ,
4 4
, 3
3 ,
3 4
, 2
− =
− −
= +
− +
u u
u u
, 3
4
3 ,
4 2
, 4
2 ,
3
− =
+ −
u u
u ,
6 4
4 ,
4 3
, 4
2 ,
4 3
, 3
− =
+ −
+ u
u u
u ,
89 80
9 4
4 ,
4 3
, 4
4 ,
3
− =
− −
= −
+ u
u u
. Jadi telah didapatkan 9 persamaan beda hingga dengan 9 variabel.
Contoh 3.1.6
Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Poisson dalam pelat
persegi panjang
xy u
− =
∇
2
{ }
4 ,
4 :
, ≤
≤ ≤
≤ =
y x
y x
D , dengan syarat batas
, ,
= =
y u
x u
x y
dan ,
4 =
y u
dan .
80 4
, =
x u
83 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penyelesaian:
Misalkan domain dibagi dengan grid berukuran 5
5 × dimana
1 =
Δ =
Δ y
x , dengan
nilai pada batas kiri dan bawah tidak diketahui yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.13.
Gambar 3.1.13 Grid berukuran
5 5
×
dimana
1 =
Δ =
Δ y
x
untuk persamaan Poisson dengan syarat batas Neumann
Dari Gambar 3.1.13 terdapat 16 titik yang nilainya tidak diketahui, maka dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.48, 3.150 dan 3.1.52 akan diperoleh
16 persamaan beda hingga dengan 16 variabel.
b. Persamaan Poisson dalam Pelat Cakram
Kategori