Persamaan Laplace dalam Pelat Persegi Panjang

2. Pendekatan Beda Hingga untuk Persamaan Laplace

a. Persamaan Laplace dalam Pelat Persegi Panjang

Bentuk persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang adalah = + yy xx u u . 3.1.18 Domain dari persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang adalah berbentuk persegi panjang { b y a x y x D ≤ ≤ ≤ ≤ = , , } . Domain persegi panjang itu akan ditutup dengan grid seragam dengan jarak 1 − = Δ n a x dan 1 − = Δ m b y dimana ukuran grid tersebut adalah m n × , yang telah ditunjukkan pada Gambar 3.1.1. Pendekatan beda hingga di titik-titik dalam domain Dx, y diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.15 dan 3.1.17 ke dalam persamaan 3.1.18, dan akan dihasilkan 2 , 1 , , 1 2 x u u u j i j i j i Δ + − − + + 2 1 , , 1 , 2 y u u u j i j i j i Δ + − − + = 0, 3.1.19 dengan galat globalnya adalah . 2 2 y O x O Δ + Δ Misalkan didefinisikan y x Δ Δ = β . 3.1.20 Dengan mengalikan persamaan 3.1.19 dengan dan mensubstitusikan persamaan 3.1.20, maka akan dihasilkan 2 x Δ 1 2 , 2 1 , 2 1 , 2 , 1 , 1 = + − + + + − + − + j i j i j i j i j i u u u u u β β β . 3.1.21 Jika jarak grid sama = , maka x Δ y Δ 1 = β sehingga persamaan 3.1.21 menjadi 65 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4 , 1 , 1 , , 1 , 1 = − + + + − + − + j i j i j i j i j i u u u u u . 3.1.22 Persamaan beda hingga di titik dalam dapat diilustrasikan secara bergambar dengan stensil beda hingga, yang merupakan gambar dari bagian-bagian grid beda hingga. Titik-titik grid digambarkan dengan lingkaran terbuka, yang masing-masing memuat faktor koefisien dari fungsi pada titik-titik grid yang berdekatan. Pada Gambar 3.1.2 secara berturut-turut mengilustrasikan stensil beda hingga untuk persamaan Laplace dengan , y x u y x Δ ≠ Δ dan y x Δ = Δ . 1 , + j i u 1 , + j i u 2 β 1 Gambar 3.1.2 Stensil beda hingga di titik dalam untuk persamaan Laplace j i u , dalam pelat persegi panjang Jika yang dipakai adalah kondisi batas Neumann, maka perlu ditentukan pendekatan beda hingga di titik-titik pada tepi batas yang nilainya tidak diketahui. Syarat batas Neumann menentukan turunan berarah dari ux, y normal untuk tepi batas. Sebagai ilustrasi, digunakan syarat turunan normal nol , = ∂ ∂ n y x u . Untuk penerapan dalam luasan dari aliran panas, tepi disekat secara termal dan laju perubahan panas pada tepi itu sama dengan nol. 1 2 2 β + − 2 β 1 1 1 1 4 − j i u , 1 + j i u , 1 − j i u , 1 − j i u , j i u , j i u , 1 + 1 , − j i u 1 , − j i u 1 y x Δ ≠ Δ y x Δ = Δ 66 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Misalkan adalah konstan dan tepi kanan persegi panjang n x x = { b y a x y x D ≤ ≤ ≤ ≤ = , , } adalah x = . Syarat batas normal yang digunakan sepanjang tepi ini adalah a , , = = ∂ ∂ j n x j n y x u n y x u . Kemudian dari persamaan 3.1.21 akan diperoleh pendekatan beda hingga di titik , yaitu , j n y x 1 2 , 2 1 , 2 1 , 2 , 1 , 1 = + − + + + − + − + j n j n j n j n j n u u u u u β β β . 3.1.23 Nilai tidak diketahui, karena titik ini terletak di luar daerah Dx, y. Tetapi dengan menggunakan pendekatan beda pusat orde-2 dari persamaan 3.1.11 akan diperoleh j n u , 1 + x u , 2 , 1 , 1 = ≈ Δ − − + j n x j n j n y x u x u u , yang menghasilkan pendekatan j n j n u u , 1 , 1 − + ≈ , 3.1.24 dengan orde akurasi . 2 x O Δ Dengan mensubstitusikan pendekatan 3.1.24 ke dalam persamaan 3.1.23, maka diperoleh . 1 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 , 1 = + − + + − + − j n j n j n j n u u u u β β β Dengan prosedur analog akan didapatkan pendekatan beda hingga di titik-titik pada tepi batas lainnya yang nilainya tidak diketahui, yaitu sebagai berikut 1 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 , 1 = + − + + − + − j n j n j n j n u u u u β β β tepi kanan, 3.1.25 1 2 2 , 1 2 1 , 1 2 1 , 1 2 , 2 = + − + + − + j j j j u u u u β β β tepi kiri, 3.1.26 67 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1 2 2 , 2 1 , 2 , 1 , 1 = + − + + − − + m i m i m i m i u u u u β β tepi atas, 3.1.27 1 2 2 1 , 2 2 , 2 1 , 1 1 , 1 = + − + + − + i i i i u u u u β β tepi bawah. 3.1.28 Stensil beda hingga untuk persamaan 3.1.25 sampai dengan 3.2.28 diilustrasikan pada Gambar 3.1.3. a. Stensil kanan b. Stensil kiri c. Stensil atas d. Stensil bawah Gambar 3.1.3 Stensil-stensil beda hingga di titik pada tepi batas untuk persamaan Laplace dalam domain persegi panjang Misalkan ada dua tepi batas yang nilainya tidak diketahui saling tegak lurus, yaitu tepi kiri dan bawah. Syarat batas normal yang digunakan di dua tepi ini adalah , , 1 1 = = ∂ ∂ j x j y x u n y x u dan , , 1 1 = = ∂ ∂ y x u n y x u i y i . 1 2 2 β + − 2 β 2 β 2 j n u , j n u , 1 − 1 , + j n u 1 , − j n u 1 2 2 β + − 2 1 , 1 + j u j u , 1 2 β j u , 2 1 , 1 − j u 2 β 1 2 2 β + − 1 2 2 β + − m i u , 2 2 , i u 2 β 1 1 m i u , 1 − m i u , 1 + 1 , i u 1 , 1 − i u 1 , 1 + i u 2 2 β 1 , − m i u 1 1 68 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dengan menggunakan pendekatan beda pusat orde-2 dari dan persamaan 3.1.11 dan 3.1.16 diperoleh x u y u , 2 1 , , 2 = ≈ Δ − j x j j y x u x u u dan , 2 1 , 2 , = ≈ Δ − y x u x u u i y i i , yang menghasilkan pendekatan j j u u , 2 , ≈ dan 2 , , i i u u ≈ . 3.1.29 Kemudian dari persamaan 3.1.21 akan diperoleh pendekatan beda hingga di titik siku , yaitu , 1 1 y x . 3.1.30 1 2 1 , 1 2 , 1 2 2 , 1 2 1 , 1 , 2 = + − + + + u u u u u β β β Nilai dan tidak diketahui, karena dua titik ini terletak di luar daerah Dx, y. Akan tetapi, dari pendekatan 3.1.29 akan diperoleh pendekatan di titik siku berikut 1 , u , 1 u , 1 1 y x 1 , 2 1 , u u ≈ dan 1 , 2 1 , u u ≈ . 3.1.31 Sehingga dengan mensubstitusikan pendekatan 3.1.31 ke dalam persamaan 3.1.30 akan diperoleh . 1 2 2 2 1 , 1 2 2 , 1 2 1 , 2 = + − + u u u β β Dengan prosedur analog akan didapatkan pendekatan beda hingga di titik siku lainnya yang nilainya tidak diketahui, yaitu sebagai berikut 1 2 2 2 1 , 1 2 1 , 2 2 , 1 2 = + − + u u u β β di titik siku , 3.1.32 1 , 1 u 1 2 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 2 = + − + − m m m u u u β β di titik siku , 3.1.33 m u , 1 1 2 2 2 1 , 2 2 , 2 1 , 1 = + − + − n n n u u u β β di titik siku , 3.1.34 1 , n u 69 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1 2 2 2 , 2 1 , 2 , 1 = + − + − − m n m n m n u u u β β di titik siku . 3.1.35 m n u , Contoh 3.1.1 Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace dalam pelat persegi panjang 2 = ∇ u { } 4 , 4 : , ≤ ≤ ≤ ≤ = y x y x D , dengan syarat batas dan 20 , = x u 180 4 , = x u , untuk 4 x , dan dan 80 , = y u , 4 = y u , untuk 4 y . Penyelesaian: Misalkan domain persegi panjang tersebut dibagi dengan grid berukuran yang ditunjukkan pada pada Gambar 3.1.4. Karena domain dibagi dengan grid berukuran , maka diperoleh 5 5 × 5 5 × 1 1 5 4 = − = Δx , 1 1 5 4 = − = Δy , dan 1 1 1 = = β . Gambar 3.1.4 Grid berukuran 5 5 × dimana 1 = Δ = Δ y x untuk persamaan Laplace dengan syarat batas Dirichlet • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 20 1 , 2 = u 20 1 , 3 = u 20 1 , 4 = u 180 5 , 2 = u 180 5 , 3 = u 180 5 , 4 = u 80 4 , 1 = u 80 3 , 1 = u 80 2 , 1 = u 4 , 5 • • u 5 , 5 = 80 1 , 1 = u 80 5 , 1 = u = u 3 , 5 = u 2 , 5 u 2 , 2 u 3 , 2 u 4 , 2 u 2 , 3 u 3 , 3 u 4 , 3 u 3 , 4 u 2 , 4 u 4 , 4 u = • • 1 , 5 = u 70 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Karena , maka dengan pendekatan beda hingga 3.1.22 dengan dan diperoleh persamaan beda hingga di titik berikut: 1 = Δ = Δ y x 80 2 , 1 = u 20 1 , 2 = u 2 , 2 u 100 4 2 , 3 3 , 2 2 , 2 − = + + − u u u . Dengan analog akan diperoleh persamaan beda hingga di titik dalam lainnya berikut: 80 4 3 , 3 4 , 2 3 , 2 2 , 2 − = + + − u u u u , 2 4 4 , 3 4 , 2 3 , 2 60 − = + − u u u , 20 4 2 , 4 3 , 3 2 , 3 2 , 2 − = + + − u u u u , 4 3 , 4 4 , 3 3 , 3 2 , 3 3 , 2 = + + − + u u u u u , 1 4 4 , 4 4 , 3 3 , 3 4 , 2 80 − = + − + u u u u , 20 4 3 , 4 2 , 4 2 , 3 − = + − u u u , 4 4 , 4 3 , 4 2 , 4 3 , 3 = + − + u u u u , 1 4 4 , 4 3 , 4 4 , 3 80 − = − + u u u . Jadi diperoleh 9 persamaan beda hingga dengan 9 variabel. Contoh 3.1.2 Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace , dalam pelat persegi panjang 2 = ∇ u { } 4 , 4 : , ≤ ≤ ≤ ≤ = y x y x D , dengan syarat batas 180 4 , = x u , untuk , = x u y 4 x dan 80 , = y u , untuk , 4 = y u 4 y . 71 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Penyelesaian: Misalkan domain persegi panjang dibagi dengan grid berukuran dimana , dengan nilai di tepi batas bawah tidak diketahui. 5 5 × 1 = Δ = Δ y x 180 3 = 5 , Gambar 3.1.5 Grid berukuran 5 5 × dimana 1 = Δ = Δ y x untuk persamaan Laplace dengan syarat batas Neumann Dari Gambar 3.1.5 terdapat 12 titik yang nilainya tidak diketahui, maka dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.22 dan 3.1.28 akan diperoleh 12 persamaan beda hingga dengan 12 variabel.

b. Persamaan Laplace dalam Pelat Cakram