Penyelesaian:
Misalkan domain persegi panjang dibagi dengan grid berukuran dimana
, dengan nilai di tepi batas bawah tidak diketahui.
5 5
×
1 =
Δ =
Δ y
x
180
3
=
5 ,
Gambar 3.1.5 Grid berukuran
5 5
×
dimana
1 =
Δ =
Δ y
x
untuk persamaan Laplace dengan syarat batas Neumann
Dari Gambar 3.1.5 terdapat 12 titik yang nilainya tidak diketahui, maka dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.22 dan 3.1.28 akan diperoleh 12
persamaan beda hingga dengan 12 variabel.
b. Persamaan Laplace dalam Pelat Cakram
Persamaan Laplace dalam pelat cakram adalah .
1 1
2
= +
+
θθ
U r
U U
r
rr r
3.1.36 Domain dari persamaan Laplace dalam pelat cakram adalah berbentuk lingkaran
{ }
2 2
2
, r
y x
y x
D =
+ =
. Domain lingkaran tersebut akan ditutup dengan grid beda •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
• •
• •
•
1 ,
2
u
1 ,
3
u
1 ,
4
u 180
5 ,
2
= u
u 180
5 ,
4
= u
80
4 ,
1
= u
80
3 ,
1
• •
• •
•
80
5 ,
1
= u
5 ,
5
= u
= u
80
2 ,
1
= u
4 ,
5
= u
3 ,
5
= u
2 ,
5
u
2 ,
2
u
3 ,
2
u
4 ,
2
u
2 ,
3
u
3 ,
3
u
4 ,
3
u
3 ,
4
u
2 ,
4
u
4 ,
4
u
=
• •
1 ,
5
= u
u 80
1 ,
1
=
72 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
hingga berbentuk garis-garis jari-jari grid dan lingkaran-lingkaran grid dengan jarak r
Δ dan θ
Δ
, yang ditunjukkan pada Gambar 3.1.6. y
Gambar 3.1.6 Grid beda hingga pada domain lingkaran
Titik-titik potong dari garis jari-jari grid dengan lingkaran grid disebut titik- titik grid, di titik-titik inilah penyelesaian pendekatan untuk persamaan Laplace akan
diperoleh. Jumlah garis jari-jari grid r dan jumlah lingkaran grid θ ditunjukkan
dalam Gambar 3.1.6 oleh n dan m, dengan ukuran grid adalah m
n × .
Jarak dari dua titik yang searah garis jari-jari r dan jarak dari dua titik yang searah lingkaran
θ , dinotasikan dengan r Δ dan
θ
Δ
dengan n
r r
= Δ
dan m
π θ
2 =
Δ .
Didefinisikan titik grid i, j, dengan i dan j menunjukkan padanan garis jari- jari untuk nilai konstan r dan padanan lingkaran untuk nilai konstan
θ . Serupa dengan persamaan 3.1.1, fungsi
, θ
r U
di titik grid i, j ditunjukkan oleh
j i
j i
U r
U
,
, =
θ .
1 =
i 2
= i
3 =
i ⋅
⋅ ⋅
n i
= 1
= j
2 =
j 3
= j
m j
= 1
− = m
j
r Δ
θ Δ
• • •
• •
•
• •
x
• •
•
o
batas
M
73 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Serupa dengan pendekatan beda-pusat orde-2 dari ,
,
xx x
u u
dan
yy
u , maka akan diperoleh pendekatan beda hingga untuk
j i
r
U
,
,
j i
rr
U
,
, dan
j i
U
,
θθ
berikut ini
r U
U U
j i
j i
j i
r
Δ −
≈
− +
2
, 1
, 1
,
, 3.1.37
2 ,
1 ,
, 1
,
2 r
U U
U U
j i
j i
j i
j i
rr
Δ +
− ≈
− +
, dan 3.1.38
2 1
, ,
1 ,
,
2 θ
θθ
Δ +
− ≈
− +
j i
j i
j i
j i
U U
U U
, 3.1.39
dengan galat pemenggalannya adalah dan
.
, ,
2 2
r O
r O
Δ Δ
2
θ
Δ O
Pendekatan beda hingga di titik-titik dalam sampai dengan
diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.37, 3.1.38 dan 3.1.39 ke dalam persamaan 3.1.36, yang menghasilkan
j
U
, 2
j n
U
, 1
−
r U
U r
j i
j i
Δ −
− +
2 1
, 1
, 1
+
2 ,
1 ,
, 1
2 r
U U
U
j i
j i
j i
Δ +
−
− +
+
2 1
, ,
1 ,
2
2 1
θ Δ
+ −
− +
j i
j i
j i
U U
U r
= 0, 3.1.40
dengan galat globalnya adalah .
2
2 2
θ
Δ +
Δ O
r O
Misalkan didefinisikan r
r Δ
= α
. 3.1.41
Dengan mengalikan persamaan 3.1.40 dengan dan mensubstitusikan
persamaan 3.1.41, akan dihasilkan
2
r Δ
. 1
1 2
1 1
2 1
1 2
1 1
, 2
2 1
, 2
2 1
, 2
2 ,
1 ,
1
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
+ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ +
− +
− +
j i
j i
j i
j i
j i
U U
U U
U
θ α
θ α
θ α
α α
3.1.42
Perlu dicatat bahwa dan
m i
i
U U
, ,
=
1 ,
1 ,
i m
i
U U
=
+
, untuk n
i ,
, 3
, 2
, 1
K =
.
74 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Stensil beda hingga untuk persamaan 3.1.42 diilustrasikan pada Gambar 3.1.7.
r Δ
θ
Δ
α 2
1 1
− α
2 1
1 +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
−
2 2
1 1
2 θ
α
j i
U
, j
i
U
, 1
+
j i
U
, 1
−
1 ,
+ j
i
U
1 ,
− j
i
U
2 2
1
θ α
Δ
o
2 2
1 θ
α Δ
Gambar 3.1.7 Stensil beda hingga di titik dalam sampai dengan
j
U
, 2
j n
U
, 1
−
untuk persamaan Laplace dalam pelat cakram
Jika kondisi batas yang digunakan adalah kondisi batas Neumann, maka analog dengan cara mendapatkan pendekatan beda hingga di titik-titik pada tepi batas
dalam domain persegi panjang akan diperoleh pendekatan beda hingga di titik batas yang nilainya tidak diketahui berikut
. 1
1 2
1 1
2
, 2
2 1
, 2
2 1
, 2
2 ,
1
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
− +
− j
n j
n j
n j
n
U U
U U
θ α
θ α
θ α
3.1.43 Stensil beda hingga untuk persamaan 3.1.43 diilustrasikan dalam Gambar 3.1.8.
Dengan prosedur analog juga, maka akan diperoleh pendekatan beda hingga di titik-titik dalam
dengan
j
U
, 1
m j
, ,
3 ,
2 ,
1 K
= adalah
. 1
1 2
1 1
2
, 1
2 2
1 ,
1 2
2 1
, 1
2 2
, 2
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ Δ
+ −
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
− +
j j
j j
U U
U U
θ α
θ α
θ α
3.1.44 Stensil beda hingga persamaan 3.1.44 juga diilustrasikan dalam Gambar 3.1.8.
75 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1 ,
+ j
n
U
Gambar 3.1.8 Stensil beda hingga di titik dalam dan titik pada batas
j
U
, 1
j n
U
,
untuk persamaan Laplace dalam pelat cakram
Contoh 3.1.3
Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace 1
1
2
= +
+
θθ
u r
u u
r
rr r
dalam pelat cakram
{ }
4 ,
2 2
= +
= y
x y
x D
, dengan syarat batas
100 ,
2 =
θ U
pada π
θ 2
≤ ≤
.
Penyelesaian:
Misalkan domain lingkaran dibagi dengan grid berukuran 4 garis jari-jari grid
×
8 lingkaran grid, maka diperoleh
5 ,
4 2 =
= Δr
, 4
8 2
π π
θ =
= Δ
, dan
4 5
, 2 =
=
α .
r Δ
θ
Δ
2
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
−
2 2
1 1
2 θ
α
j
U
, 1
1 ,
1 −
j 1
+
U
j
U
, 2
U
, 1 j
2 2
1 θ
α Δ
2 2
1 θ
α Δ
j n
U
,
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
Δ +
−
2 2
1 1
2 θ
α
o
2
j n
U
, 1
−
2 2
1 θ
α Δ
1 ,
− j
n
U
2 2
1 θ
α Δ
76 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1 ,
1
U
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
1 ,
2
U
1 ,
3
U 100
, 4 3
= U
8 ,
3
Gambar 3.1.9 Grid berukuran
8 4
×
dimana
5 ,
= Δr
dan
4 π
θ = Δ
untuk persamaan Laplace dengan syarat batas dirichlet
Dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.44 akan diperoleh persamaan beda hingga di titik dalam
berikut
j
U
, 1
2 1
, 1
, 2
, 2
1 ,
2 8
, 1
2 ,
1 1
, 1
= +
+ +
− U
U U
U ,
2 1
, 2
, 2
1 ,
2 ,
2 3
, 1
2 ,
1 1
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
3 ,
2 4
, 1
3 ,
1 2
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
4 ,
2 5
, 1
4 ,
1 3
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
5 ,
2 6
, 1
5 ,
1 4
, 1
= +
+ −
U U
U U
, 2
1 ,
2 ,
2 1
,
6 ,
2 7
, 1
6 ,
1 5
, 1
= +
+ −
U U
U U
2 1
, 2
, 2
1 ,
7 ,
2 8
, 1
7 ,
1 6
, 1
= +
+ −
U U
U U
,
2 2
, 2
1 ,
1 ,
8 ,
2 8
, 1
7 ,
1 1
, 1
= +
− +
U U
U U
, Dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.42 akan diperoleh persamaan
100
1 ,
4
= U
100
2 ,
4
= U
2 ,
1
U
2 ,
2
U
2 ,
3
U
3 ,
1
U
3 ,
2
U
3 ,
3
U
4 ,
4
= U
100
4 ,
3
U
4 ,
1
U
4 ,
2
U U
5 ,
1
U
5 ,
2
U
5 ,
3 6
, 1
U
6 ,
2
U
6 ,
3
U
7 ,
1
U
7 ,
2
U
7 ,
3
U
8 ,
1
U
8 ,
2
U U
j
U
o
100
5 ,
4
= U
0,
U 100
8 ,
4
=
6 ,
4
= U
100 U
100 =
7 ,
4
77 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
beda hingga di titik dalam sampai dengan
berikut
j
U
, 2
j
U
, 3
125 ,
1 1
, 1
, 2
, 2
875 ,
1 ,
3 8
, 2
2 ,
2 1
, 2
1 ,
1
= +
+ +
− U
U U
U U
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
2 ,
3 3
, 2
2 ,
2 1
, 2
2 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
3 ,
3 4
, 2
3 ,
2 2
, 2
3 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
4 ,
3 5
, 2
4 ,
2 3
, 2
4 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
5 ,
3 6
, 2
5 ,
2 4
, 2
5 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 125
, 1
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
6 ,
3 7
, 2
6 ,
2 5
, 2
6 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
125 ,
1 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
7 ,
3 8
, 2
7 ,
2 6
, 2
7 ,
1
= +
+ −
+ U
U U
U U
, 125
, 1
2 ,
2 1
, 1
, 875
,
8 ,
3 8
, 2
7 ,
2 1
, 2
8 ,
1
= +
− +
+ U
U U
U U
, 5
, 112
1 ,
1 ,
2 ,
2 875
,
8 ,
3 2
, 3
1 ,
3 1
, 2
− =
+ +
− U
U U
U ,
5 ,
112 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
3 ,
3 2
, 3
1 ,
3 2
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U ,
5 ,
112 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
4 ,
3 3
, 3
2 ,
3 3
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U ,
5 ,
112 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
5 ,
3 4
, 3
3 ,
3 4
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U ,
5 ,
112 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
6 ,
3 5
, 3
4 ,
3 5
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U ,
5 ,
112 1
, 2
, 2
1 ,
875 ,
7 ,
3 6
, 3
5 ,
3 6
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U 5
, 112
1 ,
2 ,
2 1
, 875
,
8 ,
3 7
, 3
6 ,
3 7
, 2
− =
+ −
+ U
U U
U ,
5 ,
112 2
, 2
1 ,
1 ,
875 ,
8 ,
3 7
, 3
1 ,
3 8
, 2
− =
− +
+ U
U U
U .
Jadi diperoleh 24 persamaan beda hingga dengan 24 variabel.
78 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.1.4
Carilah pendekatan beda hingga untuk persamaan Laplace dalam pelat cakram
{ }
4 ,
2 2
= +
= y
x y
x D
, dengan syarat batas ,
2 =
θ
r
U pada
π θ
≤ , dan
100 ,
2 =
θ U
pada ≤
− θ
π .
Penyelesaian:
Misalkan domain lingkaran dibagi dengan grid berukuran 4 garis jari-jari grid
×
8 lingkaran grid, dengan nilai batas
π θ
≤ tidak diketahui.
U
3 ,
4
Gambar 3.1.10 Grid berukuran
8 4
×
dimana
5 ,
= Δr
dan
4 π
θ = Δ
1 ,
1
U
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•
, 4
U
, 3
U
2 3
U
4 ,
4
U
4 ,
3
U U
2 ,
3 ,
2 3
U
4 ,
2 2
, 1
U
2 ,
2
U
untuk persamaan Laplace dengan syarat batas Neumann
Dari Gambar 3.1.10 terdapat 28 titik yang nilainya tidak diketahui, maka dengan menggunakan pendekatan beda hingga 3.1.42, 3.1.43 dan 3.1.44 akan diperoleh
28 persamaan beda hingga dengan 28 variabel.
•
1 ,
2
U
1 ,
3
U
1 ,
4
U 100
5 ,
4
= U
3 ,
1
U
, 1
U
4
U
5 ,
1
U
5 ,
2
U
5 ,
3
o
U
, 1
U
6 6
, 2
U
6 ,
3
U
7 ,
1
U
7 ,
2
U
7 ,
3
U
8 ,
1
U
8 ,
2
U
8 ,
3
100
j ,
U U
100
8 ,
4
=
6 ,
4
= U
100 U
7 ,
4
=
79 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3. Pendekatan Beda Hingga untuk Persamaan Poisson
a. Persamaan Poisson dalam Pelat Persegi Panjang
