72
F. SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS
Selesaikan soal-soal berikut. 1.
Dalam aritmatika 2 x 3 = 3 x 2, dan dalam aljabar ab = ba. Jika deterapkan pada matriks apakah selalu berlaku AB = BA?
Petunjuk; coba gunakan matriks A= dan B=
2. Jika A=
dan O= , tentukan AO dan OA
3. Untuk semua bilangan real a, b, dan c, berlaku ab+c = ab + ac, disebut sebagai sifat
distributif.
a. Terapkan pada sebarang matriks 2 x 2, apakah berlaku AB + C = AB + AC
b. Ambil matriks A=
, B= dan C=
. Buktikan secara umum bahwa AB + C = AB + AC
c. Gunakan matriks yang dibuat pada soal a, untuk melihat apakah ABC = ABC
d. Gumakan matriks seperti pada soal b, untuk menunjuukan bahwa secara umum
berlaku ABC = ABC 4.
a. Jika =
, yaitu AX = X, tunjukkan bahwa w= z = 1 dan x = y = 0
b. Untuk sebarang bilangan real a, berlaku a x 1 = 1 x a = a. Apakah ada matriks I, sehingga berlaku AI = IA = A untuk semua matriks A 2 x 2? petunjuk: gunakan
hasil dari soal a 5.
Misalkan A
2
= AA A dikalikan dengan A, dan A
3
= AAA. a.
Tentukan A
2
jika A= b.
Tentukan A
3
jika A= 6.
a. Jika A= , cobalah untuk mencari A
2
b. Kapan A
2
dapat dicari? Kondisi apa yang harus dipenuhi? 7.
Tunjukkan bahwa jika I= , maka I
2
= I dan I
3
= I
I = disebut
Matriks Identitas
KAJI LATIH 7. Sifat-sifat Perkalian Matriks
73 Dari latihan yang sudah kalian kerjakan diatas, maka akan ditemukan sifat-sifat berikut
Aljabar biasa Aljabar Matriks
Jika a dan b bilangan real maka ab juga bilangan real
Jika A dan B matriks yang bisa dikalikan, maka AB juga matriks sifat tertutup
ab=ba, untuk semua a,b Secara umum
AB ≠ BA tidak komutatif a0 = 0a = 0 untuk semua a
Jika O matriks nol maka AO = OA = O untuk semua A
ab+c = ab + ac AB + C = AB + AC sifat distributif
a x 1 = 1 x a =a Jika I =
, maka AI = IA =A untuk semua matiks A
2 x 2
sifat identitas a
n
ada untuk semua a ≥ 0 A
n
untuk semua n≥ 2 dapat dicari jika A matriks bujur sangkar dan n integer.
8. Untuk semua matriks 2 × 2 dan I adalah matriks identitas jabarkan dan sederhanakan
a. AA + I
b. B + 2IB
c. AA
2
- 2A + I d.
AA
2
+ A - 2I e.
A + BC + D f.
A + B
2
g. A + BA - B
h. A + I
2
i. A + B
2
Jabarkan dan sederhanakan jika mungkin a.
A + 2I
2
b. A - B
2
Penyelesaian a. A + 2I
2
=A + 2I A + 2I {X
2
=XX, definisi} =A + 2IA + A + 2I2I
{BC + D = BC + BD} = A
2
+ 2 IA + 2AI + 4I { BC + D = BC + BD}
= A
2
+ 2A + 2A + 4I {AI = IA = A dan I
2
= I} = A
2
+ 4A + 4I b. A - B
2
=A - B A - B { X
2
=XX, definisi} =A - BA - A - BB
{CD - E = CD - CE} =A
2
- BA - AB + B
2
tidak bisa disederhanakan lagi karena AB≠BA
Solusi Math 6
74 9.
a. Jika A
2
= 2A - I, tentukan A
3
dan A
4
dalam bentuk linier, kA dan lI k dan l adalah skalar
b. Jika B
2
= 2I - B, tentukan B
3
, B
4
dan B
5
dalam bentuk linier c. Jika C
2
= 4C - 3I, tentukan C
3
dan C
5
dalam bentuk linier 10.
a. Jika A
2
= I, sederhanakan: i. AA + 2I ii. A-I
2
iii. AA + 3I
2
b. Jika A
3
=I, sederhanakan A
2
A + I
2
c. Jika A
2
= O, sederhanakan: i. A2A - 3I ii. AA+2IA-I iii. AA + I
3
11. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 untuk bilangan real, tidak berlaku untuk matriks.
a. Jika A=
dan B= , tentukan AB
soal ini membuktikan bahwa pernyataan jika AB = 0 maka A = O atau B = O adalah salah
b. Jika A=
, tentukan A
2
c. Tentukan semua matriks A 2x2 , dimana berlaku A
2
= A petunjuk: misalkan A=
12. Berikan satu contoh yang menunjukkan bahwa pernyataan Jika A
2
= O maka A = O adalah pernyataan yang salah.
Jika A
2
= 2A + 3I, tentukan A
3
dan A
4
dalam bentuk kA + lI k dan l adalah skalar
Penyelesaian A
2
= 2A + 3 I A
3
= A + A
2
= A 2A + 3 I = 2 A
2
+ 3AI = 22A + 3I + 3AI
= 7A + 6I A
4
= A × A
3
= A7A + 6I = 7A
2
+ 6AI = 72A + 3I + 6A
= 20A + 21I
Solusi Math 7
75 13.
Tentukan konstanta a dan b sedemikian hingga A
2
= aA + bI untuk A a.
b. 14.
Jika A = , tentukan konstanta p dan q sedemikian hingga A
2
= pA + qI a.
Tuliskan A
3
dalam bentuk linear, rA dan sI dimana r dan s skalar b.
Tuliskan A
4
dalam bentuk linier.
G. INVERS MATRIKS 2 x 2
Kategori