75 13.
Tentukan konstanta a dan b sedemikian hingga A
2
= aA + bI untuk A a.
b. 14.
Jika A = , tentukan konstanta p dan q sedemikian hingga A
2
= pA + qI a.
Tuliskan A
3
dalam bentuk linear, rA dan sI dimana r dan s skalar b.
Tuliskan A
4
dalam bentuk linier.
G. INVERS MATRIKS 2 x 2
Perhatikan persamaan berikut
secara aljabar kita bisa menemukan bahwa x = 5 dan y=-2. Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks, sebagai berikut
hasil dari perhitungan aljabar, yaitu x = 5 dan y=-2 dapat dengan mudah diperiksa dalam perkalian matriks sebagai berikut
hasil sesuai Tentukan konstanta a dan b sedemikian hingga berlaku A
2
= aA + bI untuk A=
Penyelesaian: A
2
= aA + bI
sehingga a+b = 7 dan 2a = 10 a = 5 dan b = 2
Solusi Math 8
76
persamaan matriks mempunyai bentuk AX = B , dimana A adalah matriks dari koefisien
persamaan dan X adalah matriks konstanta.
Pertanyaan :
Jika AX = B, bagaimana kita menemukan X hanya dengan menggunakan matriks? Untuk menjawabnya, kita misalkan ada matriks C sedemikian hingga CA=I
kita kalikan bentuk AX = B dengan C di kedua sisinya
CAX = CB
CAX = CB IX = CB
jadi X = CB
selanjutnya lihat kembali C sedemikian hingga CA = I.
C adalah invers perkalian dari A, dan dinotasikan C = A
-1
. Secara umum, invers dari matriks A jika ada harus memenuhi A
-1
A=AA
-1
=I. Perhatikan bahwa
= I perhatikan pula
dan
perhatikan bahwa semua jawaban diatas merupakan skalar dikalikan dengan I, dalam bentuk umum, dihasilkan
= I, untuk sebarang skalar k jika dijabarkan menjadi
ad-bc ad-bcI = kI
sehingga k = ad - bc
77 akibatnya
sehingga diperoleh A=
maka A
-1
ada jika ad-bc ≠ 0. Jika tidak, ad - bc = 0, maka
tak terdefinisi. jika ad - bc
≠ 0, maka dikatakan bahwa A adalah invertible atau non singular. Sehingga nilai ad - bc menentukan detemines apakah matriks 2 x 2 mempunyai invers.
Akibatnya untuk A=
, nilai ad - bc disebut sebagai deteminan dari A, dinyatakan
dengan |A| atau detA
Selesaikan soal-soal berikut.
1. a. Carilah hasil dari
dan cari invers dari b. Carilah hasil dari
dan cari invers dari 2.
Cari |A| untuk A a.
b. c.
d.
Definisi 5
A mempunya i invers jika |A|≠0, yaitu A non singular, akibatnya jika A=
maka dimana |A|= ad-bc
KAJI LATIH 8. Determinan Invers Matriks 2x2
78 e.
3. Untuk
, carilah a.
|a| b.
|a|
2
c. |2A|
4. Buktikan bahwa jika A adalah sebarang matriks 2 x 2 dan k konstanta, maka |kA| = k
2
|A| 5.
Dengan mengambil dan
a. Hitunglah |A| dan |B|
b. Hitunglah AB dan |AB|
c. Tunjukkan bahwa |AB| = |A||B| untuk semua matriks A dan B 2x2
6. dan
a. Gunakan hasil yang diperoleh pada soal 4 dan 5 untuk menghitung
i. |A| ii. |2A|
iii. |-A| iv. |-3B|
v. |AB| b.
Bandingkan jawabanmu tanpa menggunakan hasil dari soal no 4 dan 5 diatas 7.
Hitunglah jika ada, invers dari matriks berikut: a.
b. c.
d. e.
f. g.
h.
79
G. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
