III MODEL BINOMIAL UNTUK DERIVATIF
Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga derivatif yang dijelaskan oleh Hoek Elliott 2006. Model ini dapat dikerjakan
dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree sederhana.
3.1 Model Binomial Satu Langkah
Model binomial merupakan metode untuk mengaproksimasi harga opsi pergerakan saham pada masa mendatang dengan dua kemungkinan yaitu harga
saham naik atau harga saham turun. Pada model ini para investor bisa membeli atau menjual asetnya yang dikontruksi ke dalam portofolio biasanya disebut
dengan tradeable asset.
Tradeable asset dapat diartikan bahwa aset dapat dibeli atau dijual berapapun
banyaknya dan kapanpun permintaannya. Diasumsikan untuk setiap aset bawa harga membeli dan menjual adalah sama pada waktu yang sama.
Dalam model yang digunakan terdapat dua tradeable asset, yaitu:
1. Aset berisiko
2. Aset bebas risiko.
Aset berisiko
Pada waktu , aset berisiko mempunyai nilai yang diketahui .
Pada , aset berisiko memiliki dua kemungkinan nilai yang berbeda karena
nilainya tidak pasti atau berisiko, yang dilambangkan dan .
Diasumsikan bahwa . Contoh aset berisiko adalah saham, logam
mulia, dan valuta asing. Aset bebas risiko
Pada waktu , aset bebas risiko mempunyai nilai . Pada waktu
, aset bebas risiko mempunyai nilai yang sama di kedua keadaan pada karena bebas risiko, sehingga ditulis
. Biasanya
dan , di mana r adalah bunga bank. Biasanya diasumsikan bahwa
. 3.1 Contoh aset bebas risiko adalah obligasi dan deposito.
Model binomial sederhana satu langkah dapat digunakan untuk menentukan harga derivatif hari ini. Dalam model ini terdapat dua waktu, untuk memudahkan
akan disebut dan . Pada menunjukkan waktu sekarang, dan pada
menunjukkan waktu mendatang. Dilihat dari , terdapat dua keadaan di saat
yaitu upstate dan downstate .
Gambar 3.1 Binomial tree satu langkah.
Relative pricing
Misalnya adalah portofolio yang akan dibayar pada waktu . Pada
model, dapat mempuyai dua nilai yaitu dan . Akan ditentukan
, harga pada waktu . Nilai tidak pasti karena adalah fungsi dari
yang tidak pasti, sehingga adalah aset yang nilainya tergantung nilai
. Jadi merupakan derivatif dari underlying asset . Diasumsikan bahwa dengan memiliki model S, dapat ditentukan
menggunakan relative pricing. Terdapat dua tahap dalam relative pricing
1. Tentukan
sehingga . 3.2
Interpretasinya sebagai berikut. Didefinisikan bahwa
mewakili jumlah aset bebas risiko pada dan
mewakili jumlah aset berisiko pada . Pada , tingkat kepemilikan tidak
berubah, tetapi underlying asset mengubah nilai menjadi .
Kedua sisi adalah suatu besaran acak dan persamaan 3.2 berarti 3.3
3.4 Pemecahan 3.3 dan 3.4 memberikan:
dan
2. Menggunakan One Price Theorem, yang merupakan akibat dari No Arbitrage
Axiom harus diperoleh
3.7. dengan mensubtitusikan nilai
dan persamaan 3.5 dan 3.6, maka nilai
pada persamaan 3.7 akan menjadi sebagai berikut
[ ] [
]
Risk neutral probability
Misalkan nilai hasil dari portofolio yang didefinisikan
sehingga
Untuk semua nilai , didefinisikan
sebagai berikut:
di mana adalah peluang dilihat pada akan terjadi upstate pada .
Misalkan X adalah tredeable asset di mana nilai pada adalah dan nilai
pada adalah atau tergantung apakah terjadi upstate atau
downstate . Berdasarkan rumus umum harga dalam model binomial satu langkah
Didefinisikan return untuk aset X
di mana dapat ditulis
Lema 1. Untuk semua
, berlaku [
] . 3.14
Bukti: Haryanto 2013
Akibat 1.
[ ]
[ ]
[ ]
Bukti: Haryanto 2013
Definisi 22
Diberikan dan adalah dua tradeable asset. Nilai kedua aset
tersebut pada waktu adalah dan . Pada waktu keadaan
atau nilai kedua aset tersebut adalah .
Kemudian dapat didefinisikan sebagai
Diperoleh
. 3.19
Lema 2.
[ ] [
] Bukti: Haryanto 2013
Akibat 2.
Ragam dari X adalah
[ ]
Asumsikan bahwa . Dengan asumsi ini diperoleh lema berikut.
Lema 3.
Diberikan , maka
| | √
Persamaan 3.22 menjelaskan tentang imbal hasil yang diharapakan berasal dari aset
berdasarkan volatilitas ragam. Dikatakan bahwa aset tersebut berisiko jika nilai volatilitasnya
besar. Berdasarkan persamaan 3.22 jika nilai volatilitasnya adalah nol, maka imbal hasil yang diharapkan hanya
bunga bebas risiko, tetapi ketika volatilitasnya tidak sama dengan nol akan diperoleh imbal
hasil yang sangat besar. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa jika ingin mendapatkan imbal hasil yang tinggi maka harus menanggung risiko yang lebih
besar. Akan tetapi terdapat satu situasi di mana hasil tersebut tidak berjalan, yaitu ketika
. Pada keadaan inilah imbal hasil yang diharapkan akan selalu bernilai
apapun risiko yang diperoleh. Jika investor secara subjektif berpikir peluang besar terjadi pada
sama dengan , maka investor tersebut tidak peka terhadap risiko sehingga investor tersebut berada pada keadaan risk-neutral.
3.2 Model Cox-Ross-Rubinstein CRR
