∑ asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. Hogg et al. 2005
Definisi 11 Ragam
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan
. Ragam dari , dinotasikan dengan atau , adalah
Hogg et al. 2005 Persamaan
dapat di uraikan menjadi
Definisi 12 Kovarian
Kovarian dari dua peubah acak dan , ditulis didefinisikan
sebagai berikut
di mana dan
adalah nilai harapan dari dan .Ross 2009
Persamaan dapat diuraikan menjadi
2.2 Matematika Keuangan Definisi 13 Aset
Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai penukaran. Harvey dan Gretchen 2002
Definisi 14 Aset berisiko dan aset bebas risiko
Aset berisiko adalah aset yang memiliki tingkat imbal hasil di masa yang akan datang tidak pasti. Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki tingkat imbal hasil
yang pasti di masa depan. Harvey dan Gretchen 2002
Definisi 15 Investasi
Investasi adalah komitmen atau sumber daya saat ini dengan harapan yang lebih besar di masa depan. Bodie et al. 2002
Definisi 16 Saham
Saham adalah surat bukti atau tanda kepemilikan bagian modal dari suatu perseroan terbatas. Saham dapat diperoleh atau dijual bebas di satu atau lebih
pasar saham. Perusahaan yang memiliki saham yang tidak diperjualbelikan bebas disebut perusahaan tertutup atau perusahaan terbatas. Bodie et al. 2006
Definisi 17 Obligasi
Obligasi adalah surat utang yang diterbitkan oleh pihak peminjam obligasi untuk melakukan pembayaran bunga kepada pemegang obligasi selama masa
obligasi, kemudian melunasi nilai nominal pada waktu jatuh tempo. Bodie et al. 2006
Definisi 18 Volatilitas
Volatilitas adalah suatu ukuran yang menunjukkan seberapa besar harga berfluktuasi dalam suatu periode. Lo 2003
Volatilitas saham menyatakan tingkat keacakan harga saham. Semakin tinggi volatilitas suatu saham, maka kepastian imbal hasil suatu saham memberikan
keuntungan akan semakin rendah. Sebaliknya semakin rendah volatilitas suatu saham, maka kepastian imbal hasil suatu saham memberikan keuntungan semakin
tinggi.
Definisi 19 Short sell
Short sell adalah pinjam dan jual apa yang bukan milik sendiri. Short sell aset
berarti pinjam aset dari orang lain kemudian jual aset tersebut dan di waktu mendatang beli aset tersebut dan dikembalikan kepada pemilik aset. Hoek dan
Elliot 2006
Definisi 20 Underlying asset
Underlying asset adalah aset yang dijadikan sebagai objek atau dasar transaksi.
Aset yang dijadikan sebagai underlying dapat berupa barang berwujud maupun tidak berwujud, seperti tanah, bangunan, berbagai jenis proyek pembangunan,
serta aset non fisik lainnya seperti jasa. Yang termasuk underlying assets antara lain komoditas minyak, gas, emas, saham, mata uang, obligasi. Hoek dan Elliot
2006
Definisi 21 Produk derivatif
Produk derivatif adalah investasi keuangan atau kontrak di mana harganya tergantung pada underlying assets. Hoek dan Elliot 2006
Definisi 22 Opsi
Opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana pemegang opsi mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga
yang telah ditentukan, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Hull 2003
Menurut jenisnya opsi terbagi dua, yaitu opsi call dan opsi put.
Definisi 23 Opsi call dan opsi put
Opsi call merupakan hak, tetapi bukan suatu kewajiban untuk membeli aset dengan harga yang telah disepakati pada atau sebelum waktu yang ditentukan.
Opsi put merupakan hak tetapi bukan suatu kewajiban untuk menjual aset dengan harga yang telah disepakati pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Hoek dan
Elliot 2006
Opsi call dan opsi put dapat dibedakan menjadi European tipe Eropa dan American
tipe Amerika. Tipe Eropa dapat diaplikasikan hanya pada pada waktu yang telah disepakati T exercise date. Tipe Amerika dapat diaplikasikan kapan
saja, dimulai dari waktu sekarang hingga waktu mendatang .
Definisi 24 Peluang arbitrase
Peluang arbitrase adalah peluang di mana sebuah aset atau portofolio aset yang nilainya hari ini adalah nol dan nilai di semua kemungkinan keadaan waktu di
masa depan tidak pernah negatif. Lebih mudah dikatakan bahwa peluang arbitrase adalah peluang untuk memulai hari ini dengan nol yang pada akhirnya
mendapatkan keuntungan di waktu yang akan datang. Hoek dan Elliot 2006
Misalkan adalah peubah acak yang menunjukkan nilai aset atau
portofolio pada waktu , maka merupakan nilai aset hari ini.
adalah nilai pada waktu masa yang akan datang ketika keadaan di dunia
adalah , maka peluang arbitrase adalah beberapa aset keuangan sedemikian
rupa sehingga
Aksioma1 No arbitrage axiom
Jika nilai awal portofolio adalah nol, , maka dengan
peluang 1. Ini berarti bahwa tidak ada investor yang pasti mendapatkan uang tanpa risiko dan tanpa modal awal. Capinski dan Zastawniak 2003.
Menurut Capinski dan Zastawniak 2003, Jika portofolio melanggar aksioma ini, dapat dikatakan bahwa peluang arbitrase bisa terjadi. Pengecualian arbitrase
dalam model matematika cukup mendekati kenyataan dan menjadi asumsi yang
sangat penting dan menguntungkan, sehingga argumentasi berdasarkan no arbitrage axiom
merupakan dasar dari matematika keuangan.
Teorema 1 L aw of one price
Misalkan terdapat dua aset dan dengan harga pada waktu ,
. Seandainya ada harga dan sama di semua keadaan dunia:
maka
Hoek dan Elliot 2006
Bukti
Misalkan . Bentuklah portofolio berikut pada waktu ,
dimulai dengan 0. Meminjam dan menjual
, berarti Membeli B, berarti
. Sehingga
, yang bisa dipegang atau diinvestasikan. Catatan strategi ini memerlukan tidak adanya investasi awal. Pada waktu
, maka Membeli dan mengembalikan
, berarti . Menjual , berarti
. Karena
, maka hasil yang diperoleh adalah 0. Tetapi, masih mempunyai hasil yang positif sebesar
, sehingga telah menunjukkan adanya peluang arbitrase. Kontradiksi dengan aksioma dasar,
sehingga haruslah . Untuk pembuktian
argumen yang sama dapat digunakan.
Pada pembuktian ini diasumsikan tidak ada biaya transaksi dalam melaksanakan perdagangan, dan aset yang terlibat dapat dibeli dan dijual setiap
saat.
III MODEL BINOMIAL UNTUK DERIVATIF
Dalam tugas akhir ini akan dibahas model binomial untuk menentukan harga derivatif yang dijelaskan oleh Hoek Elliott 2006. Model ini dapat dikerjakan
dengan mudah karena berisi sedikit parameter dan struktur setiap node dalam tree sederhana.
3.1 Model Binomial Satu Langkah
