Aljabar Max-Plus dan Sistem Persamaan Linear Iteratif Max-Plus
2. Aljabar Max-Plus dan Sistem Persamaan Linear Iteratif Max-Plus
Dalam bagian ini dibahas konsep dasar aljabar max-plus dan kaitannya dengan teori graf, serta eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem x = A ⊗ x ⊕ b. Pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada Baccelli et.al (1992), Rudhito A (2004) dan Rudhito A (2007).
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
F. Susilo, S.J.
Diberikan R ε := R ∪{ε } dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε : =
−∞. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: ∀a,b ∈ R ε ,
a ⊕ b := max(a, b) dan a ⊗ b : = a + b.
Dapat ditunjukkan bahwa (R ε , ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif idempoten dengan elemen netral ε = −∞ dan elemen satuan e = 0. Lebih lanjut (R ε , ⊕, ⊗) merupakan semifield, yaitu bahwa (R ε , ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif di mana untuk setiap a
∈ R terdapat −a sehingga berlaku a ⊗ (−a) = 0. Kemudian (R ε , ⊕, ⊗) disebut dengan aljabar max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan R max . Aljabar max-pus R max tidak memuat pembagi nol yaitu ∀ x, y ∈ R ε berlaku: jika x ⊗y= ε maka x = ε atau y = ε. Relasi “ p m ” yang didefinisikan pada R max dengan x p m
y ⇔ x ⊕ y = y merupakan urutan parsial pada R max . Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada R max . Dalam R max , operasi ⊕ dan ⊗ konsisten terhadap urutan p m ,
yaitu ∀a, b, c ∈ R max , jika a p m b , maka a ⊕c p m b ⊕ c, dan a ⊗ c p m b ⊗ c. Pangkat
⊗ k dari elemen x 0 ∈ R dilambangkan dengan x didefinisikan sebagai berikut: x := 0
dan x := x ⊗ x , dan didefinisikan pula ε : = 0 dan ε := ε, untuk k = 1, 2, ... . Operasi ⊕ dan ⊗ pada R max dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam
⊗k − 1 ⊗ 0 ⊗ k
max : = {A = (A ij ) ⏐A ij ∈R max , untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}. Untuk α∈R max ,
m × dan A, B n ∈ R
max didefinisikan α ⊗ A, dengan (α ⊗ A) ij = α⊗A ij dan A ⊕ B, dengan (A
p × ⊕ B) n ij =A ij ⊕B ij B untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Untuk A ∈ R max ,B ∈ R max
n × didefinisikan A n ⊗ B, dengan (A ⊗ B)
ij = ⊕ A ik ⊗ B kj . Didefinisikan matriks E ∈ R max ,
k =1
⎧ 0 , jika i = j m × (E ) n ij := ⎨ dan matriks ε∈ R max , ( ε) ij := ε untuk setiap i dan j . Dapat
⎩ ε , jika i ≠ j
n × ditunjukkan bahwa ( n R
max , ⊕, ⊗) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral
m × matriks n ε dan elemen satuan matriks E. Sedangkan R
max merupakan semimodul atas
R nxn max . Pangkat k dari matriks A ∈ R
max dalam aljabar max-plus didefinisikan dengan: ⊗ 0 ⊗ A k =E
⊗k − 1
n dan A =A ⊗ A untuk k = 1, 2, ... . Relasi “ p m ” yang didefinisikan
m × pada n 5
max dengan A p m B ⇔ A ⊕ B = B merupakan urutan parsial pada 5 max .
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
F. Susilo, S.J.
Perhatikan bahwa A p m B ⇔ A⊕B=B ⇔A ij ⊕B ij B =B B ij ⇔ A ij pB m ij B untuk
m × setiap i dan j. Dalam ( n R
max , ⊕, ⊗), operasi ⊕ dan ⊗ konsisten terhadap urutan p m ,
n × yaitu n ∀A, B, C ∈ R
max , jika A p m B , maka A ⊕C p m B ⊕ C, dan A ⊗ C p m B
⊗C. Suatu graf berarah G didefinisikan sebagai suatu pasangan G = (V, A) dengan
V adalah suatu himpunan berhingga tak kosong yang anggotanya disebut titik dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut titik-titik. Anggota A disebut busur. Suatu lintasan dalam graf berarah G adalah suatu barisan berhingga busur (i 1 ,i 2 ), (i 2 ,i 3 ), ... , (i l − 1 ,i l ) dengan (i k ,i k+1 ) ∈ A untuk suatu l ∈ N (= himpunan semua bilangan asli), dan k = 1, 2, ... , l − 1. Suatu lintasan disebut sirkuit jika titik awal dan titik akhirnya sama. Diberikan graf berarah G = (V, A) dengan V = {1, 2, ... , p}. Graf berarah G dikatakan berbobot jika setiap busur (j, i) ∈ A dikawankan dengan suatu bilangan real
A ij . Bilangan real A ij disebut bobot busur (j, i), dilambangkan dengan w(j, i). Graf
n × preseden dari matriks A n ∈ R
adalah graf berarah berbobot G(A) = (V, A) dengan
max
V = {1, 2, ... , n}, A = {(j, i)|w(i, j) = A ij ≠ ε }.
max dikatakan semi-definit jika semua sirkuit dalam G(A) mempunyai bobot takpositif dan dikatakan definit jika semua sirkuit dalam G(A)
n × Suatu n matriks A ∈ R
n × mempunyai bobot negatif. Diberikan A n ∈ R
max . Jika A semi-definit, maka ∀p ≥ n,
⊗n − 1
⊕ A ⊕ ... ⊕ A . Diberikan matriks semi-definit A ∈ R max .
⊗n + 1
Didefinisikan A := E ⊕ A ⊕ ... ⊕ A ⊕ A ⊕ ... .
Didefinisikan T R
max := { x = [ x 1 , x 2 , ... , x n ] |x i ∈ R max , i = 1, 2, ... , n}.
n × 1 Perhatikan bahwa n R
max dapat dipandang sebagai R max . Unsur-unsur dalam R max disebur
vektor atas R * max . Diberikan A ∈ R max dan b ∈ R max . Jika A semi-definit, maka x =A
maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal.
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
F. Susilo, S.J.