Aljabar Max-Plus dan Sistem Persamaan Linear Max-Plus

2. Aljabar Max-Plus dan Sistem Persamaan Linear Max-Plus

Dalam bagian ini dibahas konsep dasar aljabar max-plus dan kaitannya dengan teori graf, serta eksistensi dan ketunggalan penyelesai sistem A ⊗ x = b . Pembahasan selengkapnya dapat dilihat pada Baccelli et.al (1992) dan Rudhito A (2003).

Diberikan R ε := R ∪{ ε } dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε : = −∞. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: ∀ a, b ∈ R ε , a ⊕ b := max(a, b) dan a ⊗ b :=a + b. Dapat ditunjukkan bahwa (R ε , ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif idempoten dengan elemen netral ε = −∞ dan elemen satuan e = 0. Lebih lanjut (R ε , ⊕, ⊗) merupakan semifield, yaitu bahwa (R ε , ⊕, ⊗) merupakan semiring komutatif di

Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA

Aljabar max-pus R max tidak memuat pembagi nol yaitu ∀ x, y ∈ R ε berlaku: jika x ⊗y= ε maka x = ε atau y = ε. Relasi “ p ” yang didefinisikan pada R m max dengan x p y m ⇔ x ⊕ y = y merupakan urutan parsial pada R max . Lebih lanjut relasi ini merupakan urutan total pada R max . Dalam R max , operasi ⊕ dan ⊗ konsisten terhadap urutan p , yaitu m ∀a, b, c ∈ R max , jika a p b , maka a m ⊕c pb m ⊕ c, dan a ⊗ c p b m

⊗ c. Operasi ⊕ dan ⊗ pada R max dapat diperluas untuk operasi-operasi matriks dalam

max : = {A = (A ij ) ⏐A ij ∈R max , untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n}. Untuk α∈R max ,

m × dan A, B n ∈ R

max didefinisikan α ⊗ A, dengan (α ⊗ A) ij = α⊗A ij dan A ⊕ B, dengan (A

p × ⊕ B) n ij =A ij ⊕B ij untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n. Untuk A ∈ R max ,B ∈ R max

n × didefinisikan A n ⊗ B, dengan (A ⊗ B)

ij = ⊕ A ik ⊗ B kj . Didefinisikan matriks E ∈ R max ,

k =1

⎧ 0 , jika i = j

m × (E ) n ij := ⎨

dan matriks ε ∈ R max ,( ε ) ij := ε untuk setiap i dan j . Dapat

⎩ ε , jika i ≠ j

n × ditunjukkan bahwa ( n R

max , ⊕, ⊗) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral

m × matriks n ε

dan elemen satuan matriks E. Sedangkan R max merupakan semimodul atas R max .

m × Relasi “ n p ” yang didefinisikan pada

R max dengan A pB m ⇔ A ⊕ B=B

m × merupakan urutan parsial pada n R

max . Perhatikan bahwa A pB m ⇔ A⊕B=B ⇔A ij ⊕

B B B m × B n ij =B ij ⇔ A ij p m B ij untuk setiap i dan j. Dalam ( R max , ⊕, ⊗), operasi ⊕ dan ⊗ n × konsisten terhadap urutan n p , yaitu

∀A, B, C ∈ R max , jika A p B , maka A m ⊕C pB m

⊕ C, dan A ⊗ C p B m ⊗C.

Didefinisikan T R

max := { x = [ x 1 , x 2 , ... , x n ] |x i ∈ R max , i = 1, 2, ... , n}.

dapat dipandang sebagai R max , sehingga R max merupakan semimodul atas R n

n × 1 Perhatikan bahwa n R

max

max . Unsur-unsur dalam R max disebur vektor atas R max . Karena R max

merupakan semifield maka untuk setiap x n ≠ ε dalam R

dapat didefinisikan −x = [ T −x

max

1 , −x 2 , ... , −x n ] .

Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA

Diberikan A n ∈ R

xˆ dari sistem A ⊗ x = b disebut subpenyelesaian terbesar sistem A ⊗ x = b jika n × x′ n p xˆ untuk setiap subpenyelesaian x′ dari sistem A

⊗ x = b. Diberikan A ∈ R max dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan n ε dan b ∈ R .

Subpenyelesaian terbesar A T ⊗ x = b ada dan diberikan oleh = − (A xˆ ⊗ (− b)).