Aljabar Max-Plus Interval dan Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval
3. Aljabar Max-Plus Interval dan Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval
Bagian ini membahas konsep dasar dan teknik pengopersian matriks atas aljabar max-plus interval. Pembahasan lebih lengkap dapat dilihat pada Rudhito, A. dkk (2008a, 2008b).
Interval (tertutup) x dalam R max adalah suatu himpunan bagian dari R max yang berbentuk x = [ x , x ] = {x ∈R max | x p x m p x }. Interval x dalam R m max di atas
disebut interval max-plus, yang selanjutnya akan cukup disebut interval. Suatu bilangan x ∈R max dapat dinyatakan sebagai interval [x, x ]. Didefinisikan I(R) ε := { x = [ x , x] |
x, x ∈R, ε p m x p x} m ∪ { ε }, dengan ε := [ ε, ε ]. Pada I(R) ε didefinisikan operasi ⊕ dan ⊗ dengan: x ⊕ y=[ x ⊕ y , x ⊕ y ] dan x ⊗
y =[x ⊗ y , x ⊗ y ] , ∀ x, y ∈ I(R ε ). Dapat ditunjukkan bahwa (I(R) ε , ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε= [ ε, ε] dan elemen
satuan 0 = [0, 0]. Semiring idempoten komutatif (I(R) ε , ⊕ , ⊗ ) selanjutnya disebut dengan aljabar max-plus interval yang dilambangkan dengan I(R) max .
:= {A = (A ij ) ⏐A ij ∈ I(R max ), untuk i = 1, 2, ..., m dan j = m × 1, 2, ..., n}. Matriks anggota I(R) n
m × Didefinisikan n I (R)
max
disebut matriks interval max-plus. Selanjutnya matriks interval max-plus cukup disebut dengan matriks interval. Untuk α ∈ I(R) max ,
max
B, dengan m × (A p ⊕ B)
m × A, B n ∈ I(R) max , didefinisikan α ⊗
A, dengan ( α ⊗ A) ij = α ⊗ A ij dan A ⊕
ij =A ij ⊕ B ij untuk i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n . Untuk A ∈ I(R) max ,B
p × ∈ I(R) n max , didefinisikan A ⊗
B dengan (A ⊗ B) ij =
A ik ⊗ ⊕ B kj untuk i = 1, 2, ...,
n × m dan j = 1, 2, ..., n. (I(R) n max , ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral matriks ε dengan (ε ) ij := ε untuk setiap i , j dan elemen satuan adalah
⎧ 0 , jika i = j
m × matriks E, dengan (E ) n
ij := ⎨
. Sedangkan I(R) max merupakan semimodul
⎩ ε , jika i ≠ j
atas I( ) max ,
m × Untuk n A ∈ I(R)
didefinisikan matriks
A =(A ij ) ∈ R max dan A= (A ij ) ∈
max
yang berturut-turut disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari m × matriks interval A. Diberikan matriks interval A n ∈ I(R)
max
, dengan A dan A berturut-
max
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
F. Susilo, S.J.
turut adalah matriks batas bawah dan matriks batas atasnya. Didefinisikan interval
matriks dari A, yaitu [ * A , A ]={A ∈ R
max ⎜ A p A m p m A } dan I( R max ) ={
A , A ] | A ∈ I(R) max }. Untuk α ∈ I( ) max , [ A , A ], [ B , B ] ∈ I( 5 max ) , didefinisikan α ⊗ [A,A] = [α ⊗A, α ⊗ A ] dan [ A , A ] ⊕ [B,B] = [A ⊕ B , A ⊕ B ]. Untuk
p × n [A,A] * ∈ I( 5 max ) ,[B,B] ∈ I( 5 max ) , didefinisikan [ A , A ] ⊗ [ B , B ]= [ A ⊗B,
max ) , ⊕ , ⊗ ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral adalah interval matriks [ ε, ε] dan elemen satuan adalah interval matriks [E, E].
n x n A * ⊗ B ]. (I( R
m × n Sedangkan I( * R
max ) merupakan semimodul atas I(R) max .
Semiring * (I(R) max , ⊕ , ⊗ ) isomorfis dengan semiring (I( R max ) , ⊕ , ⊗ ),
n × dengan pemetaan f : I(R) n max → I( R max ) , f (A) = [ A , A ], ∀A ∈ I( ) max . Sedangkan
m × n semimodul I(R) * max atas I(R) max isomorfis dengan semimodul I( R max ) atas I(R) max Dengan demikan untuk setiap matriks interval A selalu dapat ditentukan interval
n x n matriks [ A , * A ] dan sebaliknya untuk setiap interval matriks [ A , A ] ∈ I( R
max ) , maka
n × A,A n ∈ 5 max , sehingga dapat ditentukan matriks interval A ∈ I(R) max , di mana [ A ij , m × A n
ij ] ∈ I(R) max , ∀i dan j. Dengan demikian matriks interval A ∈ I( ) max dapat
m × n dipandang sebagai interval matriks [ * A,A] ∈ I( R
max ) . Interval matriks [ A , A ] ∈
max ) disebut interval matriks yang bersesuaian dengan matriks interval A ∈ n × I(R n )
max dan dilambangkan dengan A ≈ [
A , A ]. Akibat isomorfisma di atas, maka berlaku α ⊗ A ≈ [α⊗A, α ⊗ A ], A ⊕ B ≈ [ A ⊕ B , A ⊕ B ] dan A ⊗ B ≈
Didefinisikan T I (R)
max := {x = [x 1 ,x 2 , ... , x n ] |x i ∈ I(R) max , i = 1, 2, ... , n }.
n × 1 Himpunan I(R) n
dapat dipandang sebagai I(R) max . Unsur-unsur dalam I(R) max disebut vektor interval atas I(R) max . Vektor interval x bersesuaian dengan interval
max
vektor [ x , x ], yaitu x ≈[ x , x ].
Definisi 1
Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA
F. Susilo, S.J.
n × Suatu matriks A n ∈ I(R)
dikatakan semi-definit jika A ∈ R max semi-definit ∀A ∈
max
n × [ n A , A ] dan dikatakan definit jika A ∈ R
max definit ∀A∈[
A , A ].
Berikut diberikan Teorema mengenai syarat perlu dan cukup suatu matriks A ∈ n × I n (R)
max semi-definit.
Teorema 1.
Diberikan A × n n ∈ I(R) max . Matriks interval A semi-definit jika dan hanya jika
A semi- definit.
Bukti:
( ⇒): jelas menurut Definisi 1.
n × ( n ⇐): Andaikan A ∈ R
max semi-definit, maka semua sirkuit dalam G(
A ) mempunyai
bobot takpositif. Ambil sembarang matriks A ∈ [ A , A ], maka A p m A p m A,
sehingga berlaku ( A ) ij p (A) m ij p(A) m ij untuk setiap i dan j. Karena semua sirkuit dalam G( A ) mempunyai bobot takpositif, maka semua sirkuit dalam G(A) juga
mempunyai bobot takpositif, yang berarti A semi-definit. ■