Rangkaian Ekivalen

2.2. Rangkaian Ekivalen

Di sub-bab sebelumnya kita telah memperoleh formulasi impedansi dan admitansi per satuan panjang dari saluran transmisi. Selain itu kita telah melihat bahwa dengan transposisi saluran transmisi dibuat menjadi simetris dan memberikan matriks besaran urutan yang diagonal.

Dengan menggunakan model satu-fasa, kita akan melihat bagaimana perubahan tegangan dan arus sepanjang saluran. Setelah itu kita akan melihat rangkaian ekivalen yang diperlukan dalam analisis.

76 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Rangkaian ekivalen ini diperlukan karena saluran transmisi terhubung dengan peralatan lain, transformator misalnya.

2.2.1. Persamaan Saluran Transmisi

Impedansi dan admitansi suatu saluran transmisi terdistribusi sepanjang saluran yang ratusan kilometer panjangnya. Karena impedansi dan admitansi terdistribusi sepanjang saluran maka dalam penyaluran daya akan terjadi perbedaan tegangan dan arus antara setiap posisi yang berbeda. Kita lihat model satu fasa saluran transmisi seperti pada Gb.2.10.

Gb.2.10 Model satu-fasa saluran transmisi.

Saluran transmisi ini bertegangan V s di ujung kirim dan V r di ujung terima. Kita tinjau satu posisi berjarak x dari ujung terima

dan kita perhatikan satu segmen kecil ∆ x ke-arah ujung kirim. Pada segmen kecil ini terjadi hal-hal berikut:

• Di posisi x terdapat tegangan V x .

• Di posisi (x + ∆ x ) terdapat tegangan V x + ∆ x karena terjadi tegangan jatuh ∆ V x = Z ∆ x I x (Z adalah impedansi per satuan

panjang).

• Arus I x mengalir dari x menuju ujung terima.

• Arus ∆ I x = Y ∆ x V x mengalir di segmen ∆ x (Y adalah

admitansi per satuan panjang).

• Arus I x + ∆ x mengalir menuju titik (x + ∆ x ) dari arah ujung

kirim.

V x x + ∆ x − V x = Z ∆ x I x atau = Z I x ∆ x

I x + ∆ x − I x x + ∆ x − I x = Y ∆ x V x atau = Y V x ∆ x

Jika ∆ x mendekati nol, maka

= Z I x dan = Y V x (2.47) dx

dx

Jika (2.47) kita turunkan sekali lagi terhadap x kita peroleh

2 = = Y (2.48) dx

dan

dx dx 2 dx Substitusi (2.47) ke (2.48) memberikan

ZY V dan

= ZY I x (2.49)

dx

dx 2

2.2.2. Konstanta Propagasi

Persamaan (2.49) ini telah menjadi sebuah persamaan di mana ruas kiri dan kanan berisi peubah yang sama sehingga solusi dapat dicari. Untuk mencari solusi tersebut didefinisikan

γ 2 = ZY atau γ = ZY (2.50) γ disebut konstanta propagasi. Karena Z memiliki satuan Ω /m

dan Y memiliki satuan S/m, maka γ memiliki satuan per meter. Selain itu karena Z dan Y merupakan bilangan kompleks maka γ juga merupakan bilangan kompleks yang dapat dituliskan sebagai

γ = α + j β (2.51) α disebut konstanta redaman, yang akan mengubah amplitudo

tegangan dari satu posisi ke posisi yang lain. β disebut konstanta fasa, yang akan mengubah sudut fasa tegangan

dari satu posisi ke posisi yang lain.

78 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

2.2.3. Impedansi Karakteristik

Dengan menggunakan pengertian konstanta propagasi maka persamaan tegangan dan arus, (2.49) dapat dituliskan menjadi

2 = γ I x dx (2.52.a) dx atau

2 = γ V x dan x

2 2 x − γ V x = 0 dan − γ 2 I x = 0 (2.52.b) dx

dx 2 Solusi persamaan (2.52.b) adalah :

x = v 1 e + k v 2 e dan I x = k i 1 e + k i 2 e (2.52.c) Kita lihat lebih dulu persamaan pertama (2.52.c) yaitu

V = k e γ x x v 1 + k e − γ v x 1 (2.53.a) Turunan (2.53.a) terhadap x memberikan

v 1 γ e − k v 2 γ e (2.53.b) dx

sedangkan persamaan pertama (2.47) memberikan

dx

sehingga (2.53.b) dan (2.47) memberikan k

(2.53.c) Konstanta propagasi γ didefinisikan pada (2.50) yaitu

γ = ZY

Kita masukkan γ ke (2.53c) dan kita peroleh γ ZY x

atau

I x (2.53.d)

Y Perhatikan bahwa ruas paling kiri (2.53.d) adalah ruas kanan

ZY

persamaan (2.53a), yaitu tegangan. Hal ini berarti bahwa ruas paling kanan juga berdimensi tegangan. Oleh karena itu Z di

Y ruas paling kanan (2.53.c) haruslah berdimensi impedansi;

impedansi ini disebut impedansi karakteristik, Z c .

Perhatikan bahwa kita sedang meninjau satu segmen kecil dari suatu saluran transmisi yaitu sepanjang ∆x; dan kita memperoleh suatu

besaran impedansi yaitu impedansi karakteristik, Z c . Kita dapat menduga bahwa impedansi ini terasakan/terdapat di setiap segmen saluran transmisi dan oleh karena itu dia menjadi karakteristik suatu saluran transmisi.

Dengan pengertian impedansi karakteristik ini maka (2.53.d) kita tulis menjadi

(2.55) Kita lihat sekarang situasi di ujung terima, dimana x = 0. Persamaan

pertama (2.53.c) memberikan tegangan di setiap poisi x, yaitu

x = v 1 e + k v 1 e Dengan memberikan x = 0 pada (2.53.c) ini kita dapatkan tegangan

di ujung terima k v 1 + k v 2 = V r (2.56.a) sedangkan pada x = 0 persamaan (2.55) memberikan arus di ujung

terima yaitu

(2.56.b) Dari (2.56.a) dan (2.56.b) kita peroleh

80 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3) 80 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

2 2 2 Dengan (2.56.c) ini maka persamaan tegangan di setiap posisi x,

yaitu persamaan pertama (2.52.c) menjadi

e γ x e − γ x + (2.57)

2 2 = V r cosh( γ x ) + Z c I r sinh( λ x )

Inilah persamaan tegangan di setiap posisi x apabila tegangan dan

arus di ujung terima adalah V r dan I r .

Selanjutnya persamaan arus di setiap posisi x yaitu persamaa ke-dua (2.52.c) dapat kita olah dengan cara yang sama.

(2.58.a) → k e γ x − k − γ x

dx

Untuk x = 0,

sehingga diperoleh

k = k = r / Z i c 1 i 2 (2.58.b)

2 2 Dengan (2.58.b) ini kita peroleh

(2.58.c) Z c 2 2

sinh( λ x ) + I r cosh( γ x )

Jadi untuk saluran transmisi kita peroleh sepasang persamaan

V x = V r cosh( γ x ) + Z c I r sinh( γ x )

I x = sinh( γ x ) + I r cosh( γ x ) Z c

Persamaan (2.59) ini memberikan nilai tegangan di setiap posisi x pada saluran transmisi apabila tegangan dan arus di ujung terima diketahui. Dengan bantuan komputer tidaklah terlalu sulit untuk melakukan perhitungan untuk setiap nilai x. Parameter yang terlibat dalam perhitungan adalah konstanta propagasi γ dan impedansi

karakteristik Z c . Konstanta propagasi mempunyai satuan per meter yang ditunjukkan oleh persamaan (2.50); impedansi karakteristik mempunyai satuan ohm (bukan ohm per meter) yang ditunjukkan oleh (2.54).

2.2.4. Rangkaian Ekivalen ππππ Jika panjang saluran adalah d, tegangan dan arus di ujung kirim

adalah V s dan I s maka dari (2.59) kita peroleh

V s = V r cosh( γ d ) + Z c I r sinh( γ d )

V (2.60)

s = sinh( γ d ) + I r cosh( γ d ) Z c

Rangkaian ekivalen diperlukan dalam analisis jika saluran transmisi terhubung dengan piranti lain. Kita akan meninjau suatu rangkaian ekivalen yang disebut rangkaian ekivalen π seperti terlihat pada Gb.2.11.

Gb.2.11. Rangkaian ekivalen π

82 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Pada rangkaian ekivalen ini, impedansi dan admitansi yang terdistribusi sepanjang saluran dimodelkan sebagai impedansi dan admitansi tergumpal. Aplikasi hukum Kirchhoff pada rangkaian ini memberikan:

V s = V r + Z t  I t V r t + r  = 1  t +  V r + Z t I r (2.61.a) 

Y t   Z Y   = I r + V r +   1 + t t  V r + Z t I r  (2.61.b)

Kita ringkaskan (2.61.a dan b) menjadi : 

2  Jika kita perbandingkan persamaan ini dengan persamaan

tegangan dan arus pada (2.60) yaitu

V s = V r cosh( γ d ) + Z c I r sinh( γ d )

I s = sinh( γ d ) + I r cosh( γ d ) Z c

kita dapatkan + Z t Y

1 t = cosh( γ d )

Z t = Z c sinh( γ d )

sinh( γ d ) 

Substitusi persamaan pertama (2.63) ke persamaan ke-tiga (2.63) memberikan

2 Z c ( cosh( γ d ) + 1 ) d Z ( e γ + e − γ c d + 2 ) / 2

tanh

c e + 2 ) Z c  2  Jadi dalam rangkaian ekivalen π

1  d  Z t = Z c sinh( d γ )

 = γ tanh  (2.64)

dan

2 Z c  2  dengan d = jarak antara ujung-terima dan ujung-kirim, Z c =

impedansi karakteristik. Rangkaian ekivalen π diturunkan dari model satu-fasa rangkaian

tiga-fasa seimbang. Untuk rangkaian tiga-fasa tak-seimbang, fasor-fasor tak seimbang kita uraikan menjadi komponen- komponen

komponen simetris merupakan

simetris.

Masing-masing

sehingga masing-masing komponen dapat di analisis menggunakan rangkaian ekivalen satu- fasa. Dengan kata lain masing-masing komponen memiliki rangkaian ekivalen, yaitu rangkaian ekivalen urutan positif, urutan negatif, dan urutan nol, seperti terlihat pada Gb.2.12.

fasa-fasa

seimbang

Besaran rangkaian ekivalen adalah: Konstanta propagasi urutan:

γ 2 = Z 2 Y 2 (2.65) Impedansi karakteristik urutan:

Z c 1 = Z 1 / Y 1 (2.66)

Impedansi urutan:

84 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Z 0 = Z c 0 sinh γ 0 d

Z 1 = Z c 1 sinh γ 1 d (2.67)

Z 2 = Z c 2 sinh γ 2 d

Admitansi urutan:

tanh 0

= tanh 1 (2.68)

= tanh 2 d

Rangkaian Urutan Nol

Rangkaian Urutan Positif

Rangkaian Urutan Negatif Gb.2.12. Rangkaian ekivalen urutan.

CONTOH-2.5: Dari saluran transmisi 50 Hz dengan transposisi yang mempunyai konfigurasi seperti pada Contoh-2.3, tentukan

(a) impedansi karakteristik; (b) konstanta propagasi; (c) rangkaian ekivalen π .

A = R B = R C = 0 . 088 Ω / km

4 , 2 m 4 , 2 m r A = r B = r C = r = 1 , 350 cm r ′ A = r B ′ = r C ′ = r ′ = 1 , 073 cm

A B C Kapasitas arus : 900 A

Solusi:

Impedansi dan admitansi per satuan panjang saluran ini telah dihitung pada dua contoh sebelumnya.

Z 1 = 0 , 088 + j 0 , 3896 Ω /km Y 1 = j 2 , 923 µ S/km

a) Impedansi karakteristik adalah: Z

0 , 088 + j 0 , 3896 Z c =

j 2 , 923 10 − × 6

3 0 , 088 + j 0 , 3896 = 10 × = 369 , 67 ∠ - 6,4 o Ω

j 2 , 923

b) Konstanta propagasi γ = ZY = ( 0 , 088 + j 0 , 3896 )( j 2 , 923 × 10 − 6 )

= ( 0 , 1198 + j 1 , 074 ) × 10 − 3 per km

c) Untuk jarak antara ujung kirim dan ujung terima 100 km, elemen-elemen rangkaian ekivalen π adalah

Z t = Z c sinh( γ d ) = ( 369 , 67 ∠ − 6 , 4 o ) sinh[( 0 , 1198 + j 1 , 074 ) × 10 − 1 ] = 8 , 77 + j 38 , 89 = 39.87 ∠ 77.3 o Ω

86 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Y t 1   γ d =  tanh

2   = 3 , 14 × 10 − 8 + j 0 , 1463 × 10 − 3 ≈ j 0 , 1463 mS

8 . 77 + j 38 , 89 I r

V s j 0 , 1463

j 0 , 1463

16.2.5. Rangkaian Ekivalen Pendekatan

Apabila kita melakukan perhitungan dengan menggunakan computer, pendekatan ini sebenarnya tidak diperlukan. Namun untuk saluran pendek, perhitungan secara manual kadang-kadang diperlukan sehingga diperlukan besaran pendekatan. Pada saluran

yang pendek, γ d << 1 . Dalam situasi ini kita dapat membuat pendekatan sebagai berikut

Z t ′ = Z c sinh γ d ≈ Z c ( γ d ) =

ZY d = Zd

(2.69) Y t ′

1 γ d 1 γ d 1 ZY = Yd tanh

2 Z c 2 Z c 2 Z / Y 2 2 Rangkaian ekivalen π yang dibuat dengan menggunakan nilai-nilai pendekatan ini disebut juga rangkaian ekivalen nominal.

CONTOH-2.6: Tentukan rangkaian ekivan π pendekatan untuk saluran pada Contoh-2.5.

Solusi: Dengan menggunakan relasi (2.69) elemen rangkaian ekivalen pendekatan adalah:

Z t ′ = Z 1 × 100 = 8 , 8 + j 38 , 96 Ω

t ′ Y j 2 , 923 × 10 = 1 × 100 =

× 100 = j 0 , 1461 mS

2.2.6. Saluran Pendek

Kinerja saluran transmisi dinyatakan oleh persamaan (2.60) yaitu

V s = V r cosh( γ d ) + Z c I r sinh( γ d )

I s = sinh( γ d ) + I r cosh( γ d ) Z c

Pada saluran yang pendek, γ d << 1 . Dalam situasi ini kita dapat membuat pendekatan sinh( γ d ) ≈ γ d dan cosh( γ d ) ≈ 1 . Dengan pendekatan ini persamaan kinerja saluran transmisi pendek dapat

ditulis dengan lebih sederhana:

V s = V r + ( Z c γ d ) I r γ d (2.70.a)

Sementara itu Z

ZY Z c γ = × ZY = Z dan = = Y (2.70.b) Y

Z c Z / Y sehingga (2.24.a) menjadi

Persamaan (2.24.c)

I r ini memberikan

diagram rangkaian Zd ekivalen seperti

V terlihat pada Yd s

V r Gb.2.13. di samping

ini, yang kita sebut Gb.2.13. Diagram rangkaian ekivalen rangkaian ekivalen

pendekatan. pendekatan untuk

saluran pendek.

88 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Rangkaian ekivalen pendekatan hanya kita pakai apabila kita perlukan. Dalam analisis selanjutnya kita akan menggunakan rangkaian ekivalen π yang sebenarnya.

2.2.7. Konstanta ABCD

Kinerja saluran transmisi dinyatakan oleh persamaan (2.60) yaitu

V s = V r cosh( γ d ) + Z c I r sinh( γ d )

sinh( γ d ) + I r cosh( γ d ) Z c

Persamaan ini dapat ditulis dengan dengan menggunakan konstanta A, B, C, D seperti berikut:

(2.71.a)

dengan

A = cosh γ d ; B = Z c sinh γ d sinh γ d 1 (2.71.b)

= 2 B ; D = cosh γ d = A

Konstanta-konstanta ini dapat pula diturunkan dari rangkaian ekivalen π yang telah kita peroleh pada persamaan (2.60) yaitu

2  yang jika kita perbandingkan dengan (2.71.a) kita dapatkan

A t t =   1 + 

2  (2.71.c) 

D =  1 +

 = A

Konstanta-konstanta A, B, C, D, adalah bilangan-bilangan kompleks karena Z t maupun Y t adalah bilangan kompleks yang nilainya ditentukan oleh ukuran, konfigurasi, dan panjang saluran. Kita lihat lagi saluran pada Contoh-7.1. untuk memberi gambaran tentang nilai konstanta-konstanta ini.

CONTOH-2.7: Dari saluran transmisi 50 Hz dengan transposisi yang mempunyai konfigurasi seperti pada Contoh-2.3, sedangkan panjang saluran 100 km, tentukan konstanta A, B, C, D saluran transmisi ini.

A = R B = R C = 0 . 088 Ω / km

4 , 2 m 4 , 2 m r A = r B = r C = r = 1 , 350 cm r ′ A = r B ′ = r C ′ = r ′ = 1 , 073 cm

A B C Kapasitas arus : 900 A

Solusi:

γ dan Z c telah dihitung pada Contoh-2.5: Z

c = 369 , 67 ∠ - 6,4 Ω

γ = ( 0 , 1198 + j 1 , 074 ) × 10 − 3 per km Menggunakan formulasi (2.71.b), nilai konstanta A, B, C,

D, adalah

A = cosh γ d = 0,9943 ∠ 0,07 o

B = Z sinh γ d = 39,87 ∠ 77,30 c o sinh γ d 1

B = 0,0003 ∠ 90,02

D d A = o cosh γ = = 0,9943 ∠ 0,07 Dengan menggunakan konstanta A,B,C,D, ini, kita akan

mecermati kinerja saluran. CONTOH-2.8: Jika saluran transmisi pada Contoh-2.7 mencatu

beban sebesar 250 MVA dengan faktor daya 0.9 lagging pada tegangan 270 kV. Hitunglah tegangan di ujung kirim, arus di ujung kirim, tegangan jatuh di saluran, daya di ujung kirim, faktor daya di ujung kirim, dan susut daya di saluran.

90 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

Solusi:

Dengan model satu-fasa, tegangan beban 270 kV digunakan sebagai referensi. Tegangan fasa-netral adalah

V r = = 1 55 , 88 ∠ 0 o kV

Karena faktor daya 0,9 lagging maka arus beban:

I r = = 0.53 ∠ - 25,8 o kA

Tegangan fasa-netral di ujung kirim:

V s = 0,9943 ∠ 0,07 o V r + 39,87 ∠ 77,30 o I r

= 155 + j 0.2 + 13.3 + j 16.7 = 169.1 ∠ 5.7 o kV Arus di ujung kirim:

I s = C V r + D I r = -2 × 10 -5 + j 0.05 + 0.48 − j 0.23

= 0.51 ∠ - 21,2 o kV Tegangan jatuh di saluran adalah ∆ V = V s − V r = 169 , 1 ∠ 5 , 7 o − 155 , 88 ∠ 0 o

= 12,4 + j 16,9 = 21 ∠ 53,7 o kV

21 atau

× 100 ≈ 12% dari tegangan di ujung kirim. 169 , 1

Daya kompleks ujung kirim S

3 V I s ∗ = × s s = 3 × 169 , 1 ∠ 5 , 7 × 0 , 51 ∠ 21 , 2 = 260 ∠ 27 o MVA Faktor daya ujung kirim cos( 27 o ) = 0.89

Daya nyata ujung kirim P s = 260 × 0 , 89 = 232 MW Daya nyata ujung terima P r = 250 × 0 . 9 = 225 MW Susut yang terjadi di saluran adalah

saluran × 100 % = 3.1% .