Formula Iterasi – Persamaan Rekursi

5.4.1. Formula Iterasi – Persamaan Rekursi

Dalam buku Vincent del Toro, [2], formula iterasi diturunkan melalui penguraian fungsi nonlinier menjadi deret Taylor dan mengabaikan suku-suku dengan orde tinggi. Di sini kita akan menurunkannya melalui pengamatan grafis.

Persamaan dengan Peubah Tunggal. Kita misalkan sebuah persamaan nonlinier dengan peubah tunggal

p ( x ) = 0 (5.17) dan kita akan mencari solusinya dengan cara iterasi. Ruas kiri

persamaan ini dapat kita pandang sebagai sebuah fungsi, dan kita misalkan fungsi ini adalah kontinyu dalam domain yang ditinjau.

Kita dapat menggambarkan kurva fungsi ini di bidang px; nilai x sebagai solusi adalah titik potong kurva dengan sumbu-x, yaitu

x sol , seperti terlihat pada Gb.5.2 di bawah ini. Indeks atas digunakan untuk menunjukkan langkah iterasi; misalnya x 0 adalah iterasai ke-0 yaitu dugaan awal, 1 x adalah iterasi ke-1, dan

seterusnya. p

Gb.5.2. Proses iterasi untuk persamaan p ( x ) = 0 . Kita tentukan dugaan awal solusi persamaan, yaitu x 0 . Jika kita masukkan solusi dugaan ini ke dalam persamaannya, kita

memperoleh p ( x 0 ) . Antara p ( x 0 ) ini dengan nilai yang 208 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3) memperoleh p ( x 0 ) . Antara p ( x 0 ) ini dengan nilai yang 208 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

mendekati x sol ; dugaan baru ini kita masukkan ke persamaan, dan akan memberikan p ( x 1 ) . Jika p ( x 1 ) belum juga bernilai nol sebagaimana diminta, kita coba lagi nilai x 2 , dan demikian

seterusnya sampai kita memperoleh suatu nilai x yang memberikan p ( x ) = 0 atau sangat dekat dengan 0.

Menetukan x 1 secara efektif dilakukan sebagai berikut. Setelah

0 dugaan solusi x 0 memberikan p(x ), kita buat garis singgung pada

0 kurva di titik p(x 0 ) yaitu dp / dx ; garis singgung ini akan memotong sumbu-x di x 1 yang berposisi tergeser sebesar ∆ x 0 dari

0 0 ∆ p ( x 0 posisi x . Karena dp / dx = p ( 0 x ) ) / ∆ x 0 maka ∆ x 0 = 0 ( dp / dx )

dan karena 1 ∆ p ( x 0 ) bernilai negatif maka kita dapat menentukan x yaitu

( dy / dx ) x 1 akan memberikan p ( x 1 ) yang memungkinkan kita menghitung

1 ∆ 1 x = ∆ p ( x 1 ) / ( dp / dx ) yang akan memberikan x 2 ; dan demikian seterusnya sampai kita mendapatkan x n ∆ yang akan memberikan

p ( x n ) ≈ 0 . Secara umum formulasi dari proses iterasi ini dapat kita turunkan

sebagai berikut: Jika x k adalah nilai x untuk iterasi ke-k maka

x k = x k − 1 p ( x k − + ) k − 1 (5.18)

( dp / dx )

Persamaan (5.18) inilah persamaan rekursi atau formula iterasi.

Uraian di atas adalah untuk persamaan (5.17) dimana ruas kanan bernilai nol. Kita tinjau sekarang persamaan dengan ruas kanan tidak bernilai nol, yang kita tuliskan sebagai

(5.19) dengan P adalah tetapan. Ruas kiri (5.19) kita pandang sebagai

sol fungsi x dengan kurva seperti pada Gb.5.2; akan tetapi solusi x yang dicari adalah nilai x pada titik potong antara p(x) dengan

garis P sejajar sumbu-x . Situasi ini digambarkan pada Gb.5.3. p

Gb.5.3. Proses iterasi untuk persamaan p ( x ) = P . Untuk persamaan (5.19) ini x 0 ∆ adalah

x 0 ∆ x = (5.20)

( dp / dx 0 )

Kita coba untuk

persamaan terakhir ini. ∆ p 0 x = P − p ( x 0 ) adalah perbedaan antara nilai fungsi yang seharusnya, yaitu P, dengan nilai fungsi jika dugaan awal peubah 0

memahami

x kita terapkan; perbedaan ini bernilai negatif. Perbedaan ini harus dikoreksi dengan mengoreksi dugaan awal sebesar ∆ x 0

sehingga nilai peubah berubah dari x 0 menjadi x 1 = x 0 + ∆ x 0 ; koreksi inilah koreksi terhadap dugaan awal. Setelah koreksi awal

ini, perbedaan nilai fungsi terhadap nilai seharusnya adalah ∆ p 1 = P − p ( x 1 ) yang lebih kecil dari ∆ p 0 yang berarti nilai fungsi mendekati P. Koreksi peubah kita lakukan lagi untuk lebih

mendekat lagi ke P; langkah koreksi ini merupakan iterasi pertama. Pada iterasi pertama ini kita akan memperoleh

210 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3) 210 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik (3)

( n P − p ( x )) ≈ 0 . Dalam perjalanan menuju P tersebut alur yang kita lewati adalah kurva p(x). Secara umum, pada iterasi ke-k kita

akan mempunyai persamaan yang memberikan perbedaan nilai fungsi dengan nilai seharusnya, yaitu

∆ k p = ( dp / dx ) k ∆ x (5.21) Dengan pemahaman ini kita lanjutkan pengamatan pada

persamaan dengan dua peubah. Persamaan Dengan Dua Peubah. Sepasang persamaan dengan

dua peubah kita tuliskan sebagai

dengan P dan Q adalah tetapan. Kita harus melakukan iterasi untuk dua peubah x dan y. Dugaan solusi awal memberikan persamaan yang merupakan pengembangan dari (15.21) yaitu

p 0 P p ( x 0 , y 0 0 ∆ 0 = − ) = ( ∂ p / ∂ x ) 0 ∆ x + ( ∂ p / ∂ y ) y 0 ∆ (5.23)

yang dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks  ∆ p  0 

   = J   (5.24)  ∆ q 

 ∂ p / ∂ x ∂ p / ∂ y   ∆ y   ∆ y  Matriks 2 × 2 turunan parsial terhadap x dan y disebut jacobian dan

dinyatakan dengan J. Apabila ∆ p 0 dan ∆ q 0 tidak bernilai nol maka   0 ∆ 0 x

()    (5.25) ∆ q 

Inilah persamaan untuk menentukan besar koreksi. Dengan (5.25) ini dapat dihitung ∆ x 0 dan ∆ y 0 sehingga dapat diperoleh x 1 dan y 1 untuk iterasi selanjutnya.

(5.26)  y   y + ∆ y  Pada langkah ke-k kita mempunyai identitas dan persamaan-

persamaan sebagai berikut:   k 

()  ∆ q 

3 ). J k =   ; 4).   = J − 1    ∂ p / ∂ y 

Persamaan pertama (5.27) yang berupa identitas akan menentukan perlu tidaknya dilakukan koreksi (iterasi) lagi terhadap hasil perhitungan sebelumnya; oleh karena itu persamaan ini disebut corrective force . Identitas ini menjadi ruas kiri persamaan ke-dua, yang terkait dengan koreksi peubah yang harus dilakukan melalui jacobian J k yang nilainya diberikan oleh persamaan ke-tiga. Besar koreksi yang harus dilakukan diberikan oleh persamaan ke-empat. Setelah koreksi dilakukan, kita kembali pada persamaan pertama untuk melihat perlu tidaknya iterasi dilanjutkan lagi.