UMUM APLIKASI MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM PADA STRUKTUR DENGAN BANYAK TINGKAT

BAB 3 ANALISA MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM MFPS

PADA BANGUNAN

3.1 UMUM

Beban gempa merupakan beban yang tidak dapat diprediksi baik besarnya maupun arahnya. Besarnya gaya gempa sangat ditentukan oleh perilaku struktur tersebut. Gaya horizontal, gaya vertikal dan momen torsi yang terjadi sangat bergantung pada waktu getar struktur dan eksentrisitas antara pusat kekakuan struktur dengan pusat kekakuan massa. Besarnya tingkat pembebanan gempa berbeda-beda dari suatu wilayah ke wilayah lain tergantung pada keadaan seismotektonik geografi dan pada geologi setempat. Analisis gempa terutama pada bangunan perlu dilakukan karena pertimbangan keamanan struktur dan kenyamanan penghuni bangunan. Beban gempa terutama dalam arah mendatar akan menimbulkan simpangan driff struktur yang dapat membahayakan. Oleh karena itu, simpangan driff ini perlu dikontrol. Bangunan yang dibangun pada daerah rawan gempa harus direncanakan mampu bertahan terhadap gempa. Trend perencanan yang terkini yaitu performance based seismic design, yang memanfaatkan teknik analisis non-linear berbasis komputer untuk mengetahui perilaku inelastik struktur dari berbagai macam intensitas gerakan gempa, sehingga dapat diketahui kinerjanya pada kondisi kritis. Selanjutnya dapat dilakukan tindakan bilamana tidak memenuhi persyaratan yang diperlukan. Universitas Sumatera Utara Indonesia yang rawan gempa menuntut perlunya gerakan preventif aktif dalam menghadapi gempa bumi.

3.2 MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM

Base isolator adalah suatu teknik pengontrolan terhadap respon gempa pada struktur yang dapat mereduksi gaya gempa, sehingga pada saat terjadi gempa struktur akan aman. Base isolator ini menghubungkan struktur atas dengan fondasinya dengan memasangkan perangkat yang memiliki kekakuan geser yang rendah yang merupakan cara efektif meningkatkan daya tahan struktur terhadap gaya gempa. Bangunan akan mengalami displacement akibat gempa, yang sebenarnya diakibatkan oleh adanya interstory driff simpangan antar tingkat yang berbeda tiap lantai. Untuk memperkecil interstory driff dapat dilakukan dengan memperkaku bangunan dalam arah lateral, tetapi hal ini akan memperbesar gaya gempa yang bekerja pada bangunan. Metode yang baik adalah dengan meredam energi gempa sampai pada tingkat yang tidak membahayakan bangunan. Dengan menempatkan base isolator pada struktur bangunan, akan menyebabkan frekuesi respon pergerakan dasar menjadi kecil. Multi Friction Pendulum System MFPS adalah salah satu jenis sistem base isolator yang telah dikembangkan untuk memproteksi struktur dari bahaya gempa. MFPS ini memiliki permukaan luncur cekung ganda, dilengkapi articulated slider dan composite Teflon. Pengembangan base isolator MFPS ini bertujuan untuk meningkatkan ketahanan dan kemampuan dalam menahan energi gempa yang memiliki getaran tanah yang kuat dengan periode utama yang panjang. Universitas Sumatera Utara Experimental terhadap MFPS dengan menggunakan test meja getar struktur dengan menggunakan gempa El Centro 1940, gempa Kobe 1995, gempa Chi-Chi 1995 dan gempa Hua-Lien 331, menunjukkan bahwa base isolator ini memiliki koefisien gesek yang rendah dan ketahanan yang bagus terhadap pembebanan tekan yang besar dan dengan 2400 siklus pembebanan tanpa menunjukkan keadaan yang memburuk. Peredam MFPS ini dipasang pada bagian bawah setiap kolom terhadap struktur tiga tingkat yang dilakukan pada Pusat Nasional Penelitian Teknik Gempa NCREE di Taiwan untuk menunjukkan base isolator ini dapat mengurangi respon gempa yang tidak diinginkan pada struktur dengan memperpanjang periode utama struktur selama gempa berlangsung, dan peredam MFPS ini melengkapi struktur dengan fungsi redaman terhadap getaran tanah yang kuat yang memiliki periode utama yang panjang. Dari penelitian ini, dapat disimpulkan bahwa peredam MFPS merupakan suatu perangkat yang dapat digunakan untuk mempertinggi daya tahan struktur terhadap gempa. Diantara perangkat-perangkat base isolator, base isolator FPS yang dikembangkan oleh A. Zayas telah dibuktikan sebagai base isolator yang efektif dalam meredam penyaluran energy gempa melalui percobaan dan study numeris yang dilakukan. Namun base isolator ini kurang efektif pada gempa dengan getaran tanah yang jauh. Sekarang ini, telah dikembangkan base isolator yang bersubjek pada getaran tanah yang dekat, sehingga gempa tersebut memiliki perioda utama yang panjang yang berpengaruh terhadap struktur. Dalam hal ini, peredam tersebut yakni Multi Friction Pendulum System MFPS. Seperti yang ditunjukkan pada gambar dibawah, MFPS ini terdiri dari dua permukaan cekung dan articulated slider. Universitas Sumatera Utara Sehingga kapasitas displacement dua kali peredam FPS yang memiliki satu permukaan cekung. Kemudian frekuensi utama lebih kecil dari peredam FPS dengan permukaan luncur tunggal. Oleh sebab itu, MFPS ini lebih efektif dalam mengurangi respon gempa terhadap struktur dengan perode utama yang panjang. Gambar 3.1 Multi Friction Pendulum System Dalam study ini, terbagi kedalam empat bagian: yakni 1 tes komponen pada bahan composite Teflon, 2 tes komponen pada peredam MFPS dengan skala tinggi, 3 tes meja getar dengan skala besar pada strutur baja dengan MFPS, dan 4 analisis numerik dengan menggunakan model matematis. Hasil dari tes komponen dan tes meja getar menunjukkan bahwa perangkat ini dapat meningkatkan daya tahan struktur tehadap gempa. Kemudian study Universitas Sumatera Utara matematis menunjukkan formula ini dapat memprediksi kekakuan struktur yang diredam dengan MFPS.

3.2.1 TES KOMPONEN PADA COMPOSITE TEFLON DAN PEREDAM MFPS DENGAN SKALA BESAR

Ketahanan composite Teflon, merupakan kunci penting untuk menentukan apakah bantalan poros dapat menopang tegangan tekan yang tinggi dan ratusan siklus pembebanan tanpa menunjukkan tanda-tanda memburuk. Kelakuan mekanis composite Teflon sangat rumit dan beberapa hasil percobaan dan teori yang dikembangkan oleh Mokha dan Constantinou. Dalam study ini, composite Teflon dengan formula baru telah dikembangkan sebagai bahan penstabil pada permukaan luncur dari peredam MFPS. Seperti ditunjukkan pada gambar 3.3 di bawah ini, plat baja dilapisi dengan bahan composite Teflon dan memiliki berat jenis chrome yang tinggi yang saling bergesekkan satu sama lainnya. Gambar 3.2 Tes Bahan Untuk Permukaan Luncur Teflon Universitas Sumatera Utara Selama tes ini, tegangan tekan axial menunjukkan pada kisaran 41.342 MPa, 55.133 MPa, 68.925 MPa, 82.700 MPa dan 96.476 MPa. Displcement horizontal yang terjadi menunjukkan pada 10mm, dan tes-tes yang dilakukan pada frekuensi 0.01Hz, 0.05Hz, 0.1Hz, 0.2Hz, 0.4Hz, 0.6Hz, 0.8Hz, 1Hz, 1.2Hz, 1.4Hz, 1.6Hz, 1.8Hz, dan 2Hz. Bentuk grafik siklus displacement selama tes adalah gelombang melandai. Gambar 3.4 di bawah menunjukkan koefisien gesek composite Teflon pada beban axial 41.342 MPa selama berulang-ulang. Gambar 3.3 Friction Coefficient-Sliding Velocity Selama 1-1040 Sikilus Dari gambar dengan jelas ditunjukkan koefisien gesek hampir sama dengan kecepatan luncur. Kemudian ketahanan material ini dibukt ikan melalui tes ini. Koefisien gesek composite Teflon dengan pembebanan axial yang berbeda-beda ditunjukkan pada gambar 3.4 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.4 Hubungan Friction Coefficient dan Sliding Velocity Akibat Tegangan Axial yang Berbeda-beda Dari gambar ini menunjukkan kelakuan mekanis composite Teflon sama dengan yang ditunjukkan oleh Mokha. Koefisien gesek mendekati nilai yang konstan saat kecepatan luncur lebih tinggi dari nilai tertentu, namun, koefisien gesek berangsur- angsur menurun dengan pertambahan beban tekan axial. Untuk menaksir kemungkinan peredam MFPS dalam praktik dan kelakuan selama pembebanan axial, tes peredam MFPS dengan skala tinggi terhadap kelakuannya dengan beban axial 900 ton dan siklus pembebanan horizontal dilakukan dalam study ini. MFPS ini memiliki jari-jari kurvatur 2.236 m dan diameter articulated slider sebesar 600 mm. Selama tes ini kecepatan luncur horizontal menunjukkan 0.423 cmsec. Dalam percobaan study ini, 228 siklus pembebanan berulang-ulang dipakai untuk mengetahui kelakuan base isolator MFPS. Tes menunujukkan bahwa kelakuan MFPS selama 228 siklus tadi sangat stabil dan tidak ada tanda-tanda penurunan pada composite Teflon secara visual. Universitas Sumatera Utara Gambar 3.5 Force-Displacement Loop Gaya geser pada siklus ke-20 adalah 92.5 dari siklus pertama karena akumulasi energy pada permukaan luncur. Kekakuan horizontal kira-kira 208.287 tonmeter dari tes sangat mirip dengan nilai teoritis yakni sekitar 201.252 ton meter. Keakuratan peredam ini dapat dikontrol dalam batasan yang diinginkan.

3.2.2 TES MEJA GETAR STRUKTUR BAJA DENGAN PEREDAM MFPS

Untuk mengevaluasi keefektifan base isolator MFPS dalam meredakan energy gempa, tes meja getar dengan skala besar pada struktur baja dengan peredam ini dilakukan di Pusat Penelitian Nasional Teknik Gempa di Taiwan. Tipe getaran tanah yang keras seperti pada gempa El Centro 1940 dipakai pada tes meja getar ini. Selain itu, gempa yang terjadi pada tanah lunak dengan periode utama yang panjang Universitas Sumatera Utara juga dipakai pada tes ini untuk menyelidiki keefektifan peredam ini. Seperti ditunjukkan gambar dibawah ini, struktur tiga tingkat dengan tinggi 9 meter dan berat total struktur adalah 40 ton. Kolom dan balok masing-masing dengan baja profil H 200 x 200 x 8 x 12 dan profil H 200 x 150 x 6 x 9. Untuk meningkatkan kekakuan struktur bagian atas, dipasang bracing profil baja 2L 100 x 100 x 13. Peredam MFPS yang memiliki jari-jari 2.236 m dan diameter articulated slider 7.8 cm dipakai pada tes meja getar ini Gambar 3.6 Struktur Baja Skala 3 Tingkat Dengan MFPS Perbandingan time history respon percepatan puncak dengan pembebanan unaxial gempa El Centro dengan atau tanpa peredam yakni 1.047g PGA seperti ditunjukkan gambar 3.7. Dan percepatan puncak maksimum hanya 0.396g Universitas Sumatera Utara Gambar 3.7 Perbandingan Akar Percepatan Struktur Dengan dan Tanpa MFPS pada Gempa El Centro Tiga Arah PGA=X0.743g + Y0.486g + Z316g Gaya gesek redaman pada permukaan luncur dapat membantu dalam penghamburan akumulasi energy gempa, dimana displacement luncur maximum hanya 13.6 cm akibat 300 gempa El Centro. Perbandingan percepatan puncak dan respon hysteresis loop dari struktur yang diredam dengan MFPS akibat gempa Kobe seperti gambar 3.8 di bawah ini. Universitas Sumatera Utara Gambar 3.8 Perbandingan Akar Percepatan Struktur Dengan dan Tanpa MFPS pada Gempa Kobe Tiga Arah PGA=X0.895g + Y0.483g + Z0.219g Pengurangan signifikan respon percepatan dan kelakuan non linear yang tinggi dapat dilihat pada gambar ini. Selama tes meja getar dengan gempa Chi-Chi TCU084 juga dipakai. Dari gambar di bawah ditunjukkan bahwa respon percepatan struktur bagian atas dapat dikurangi dengan menggunakan peredam ini. Efisiensi redaman gesek dalam menghamburkan akumulasi energy ditunjukkan gambar 3.9 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.9 Perbandingan Akar Percepatan Struktur Dengan dan Tanpa MFPS pada Gempa Chi-Chi Tiga Arah PGA=X0.675g + Y0.289g + Z0.217g Karena permukaan luncur ganda dan material ini, peredam ini dapat dengan mudah merubah perioda utama struktur menjadi 0.15-0.3g. kemudian peredam ini dapat dipakai dalam meredakan respon gempa yang terletak pada tanah lunak. Hasil percobaan tersebut menunjukkan bahwa peredam MFPS dapat meningkatkan daya tahan terhadap gempa pada struktur yang memiliki perioda utama yang panjang. Universitas Sumatera Utara 3.3 RESPON GEMPA LINEAR PADA STRUKTUR ELASTIS 3.3.1 PERSAMAAN GERAKAN Persamaan gerakan sistem SDF linear yang berhubungan dengan gerakan tanah : 3.3.1 Dengan cara membagi persamaan dengan massa m, menghasilkan: 3.3.2 dari persamaan diatas tampak bahwa dan deformasi bergantung pada frekuensi alami atau periode alami dan rasio redaman; secara umum, y ≡ yt, T n , . Karena kedua sistem memiliki nilai yang sama terhadap T n dan akan memiliki kesamaan deformasi , meskipun salah satu sistem lebih besar dari yang lainnya atau mungkin lebih kaku dari yang lainnya. Percepatan tanah selama variasi gempa seperti sebuah luasan sehingga persamaan gerakan harus dipakai. Lalu, metode numeris penting untuk menentukan respon struktur. Universitas Sumatera Utara

3.3.2 ANALISA SYSTEM

Analisa sistem pada struktur 5 lantai dengan tinggi masing-masing lantai = h dan lebar = 2h, seperti tampak pada gambar 3.10 di bawah. Gambar 3.10 Frame Lima Lantai Semua balok memiliki kekakuan yang sama, Ei b , dan kekakuan kolom, EI c , yang tidak berbeda dengan tinggi. Struktur diidealisasikan sebagai system lumped-mass dengan massa m yang sama pada semua tingkat. Rasio redaman untuk semua mode getar alami ke lima struktur itu diasumsikan 5. Hanya dua parameter tambahan yang diperlukan untuk menjelaskan system secara keseluruhan: periode getar alami utama T 1 dan rasio kekakuan balok-kolom ρ. Parameter akhir berdasarkan pada bagian balok dan kolom pada tingkat terdekat dari pertengahan frame: 3.3.3 Universitas Sumatera Utara Dimana Lb dan Lc adalah panjang balok dan kolom dan penyajian akhir mencakup semua balok dan kolom pada pertengahan tingkat. Untuk keseragaman, frame satu bentang dijelaskan pada paragraf sebelumnya, persamaan 3.3.3 menjadi; 3.3.4 Parameter ini sebagai ukuran relative kekakuan balok-kolom dan mengindikasikan berapa banyak system yang bisa diharapkan berkelakuan sebagai frame. Jika ρ = 0, balok tidak ada tahanan pada rotasi join, dan frame berkelakuan sebagai balok yang flexural, seperti pada gambar 3.11 a. jika ρ = ~, balok menahan pada rotasi sambungan, dan struktur akan berkelakuan sebagai balok geser dengan kelengkungan tekuk ganda pada kolom pada setiap tingkat gambar 3.11c. nilai ρ ditunjukkan pada frame dimana balok dan kolom mengalami tekuk deformasi dengan rotasi join gambar 3.11b. sebagai contoh pada gambar 3.10, anggap ρ = 18 dan Ib = Ic2, dimana kolomlebih kaku daripada balok. Gambar 3.11 Bentuk Lendutan a ρ=0 b ρ=18 c ρ=~ Universitas Sumatera Utara Parameter ρ mengontrol beberapa bagian frame: periode getar alami utama, hubungan terdekat atau pemisahan dari periode getar alami, dan bentuk mode alami. Variasi periode utama ρ ditunjukkan pada gambar 3.12, yang menunjukkan hubungan kekakuan kolom E Ic dan massa lantai m, periode utama dikurangi oleh faktor seperti kenaikan ρ dari 0 sampai tak terhingga. Gambar 3.12 Periode Getar Alami Utama Frame Lima Lantai Rasio periode getar alami bebas dari T 1 tetapi bergantung pada ρ, khususnya perioda mode yang lebih tinggi, seperti ditunjukkan pada gambar 3.13. Universitas Sumatera Utara Gambar 3.13 Periode Getar Alami Frame Lima Lantai hasilnya, periode getar alami pada frame dengan nilai ρ yang kecil akan terpisah satu sama lainnya dibandingkan dengan nilai ρ yang besar. Bentuk mode alami tergantung pada nilai ρ, seperti pada gambar 3.14. Gambar 3.14 Mode Getar Alami Lima Lantai Terhadap Nilai- Nilai ρ Universitas Sumatera Utara dari hasil ini tampak jelas bahwa rasio kekakuan ρ memiliki pengaruh besar dalam menentukan kelakuan dinamis dan statis pada frame. Kelakuan respon dikontrol oleh T 1 utama dan dipengaruh oleh jumlah tingkat. Oleh karena itu, kita ketahui dari hasil yang ditunjukkan tidak dibatasi untuk struktur lima tingkat.

3.3.3 DESAIN SPEKTRUM ELASTIS

Desain spektrum harus sesuai karena itu berguna dalam desain struktur baru, atau evaluasi kenyamanan struktur terhadap gempa, untuk mengantisipasi terhadap gempa pada masa yang akan datang. Para peneliti telah mengembangkan prosedur pembuatan desian spektra dari parameter gerakan tanah. Salah satunya tampak seperti gambar di bawah ini. Gambar 3.15 Desain Spektrum Elastis Universitas Sumatera Utara Nilai periode yang ditentukan Ta, Tb, Te dan Tf dan faktor amplifikasi untuk tiga daerah spektral telah dikembangkan oleh analisis terdahulu dari gesekan yang lebih besar yang dicatat terhadap gerakan tanah batuan, batuan halus dan komponen sendimen. Kesimpulan prosedur pembuatan desain spekturm: 1. Plot ketiga garis yang berhubungan dengan nilai puncak percepatan tanah ÿ go, kecepatan ý go, dan displacement y go untuk desain gerakan tanah. 2. Dapatkan dari tabel nilai α A ,α V dan α D terhadap pemilihan ζ. 3. Kalikan ÿ go dengan faktor amplifikasi α A untuk mendapatkan garis lurus b-c yang menunjukkan nilai konstan percepatan A. 4. Kalikan ý go dengan faktor amplifikasi α V untuk mendapatkan garis lurus c-d yang menunjukkan nilai konstan kecepatan V. 5. Kalikan y go dengan faktor amplifikasi α D untuk mendapatkan garis lurus d-e yang menunjukkan nilai konstan displacement D.. 6. Gambar garis A = ÿ go untuk periode lebih pendek daripada T a dan garis D = y go untuk periode yang lebih panjang daripada T f. 7. Garis perpotongan a-b dan e-f melengkapi spektrum tersebut. Universitas Sumatera Utara Tabel 3.1 Faktor Amplifikasi Desain Spektrum Elastis Tabel 3.2 Faktor Amplifikasi Desain Spektrum Elastis Rasio Redaman Universitas Sumatera Utara 3.3.4 JUMLAH RESPON Dalam teknik struktural, deformasi atau displacement suatu massa relative akibat gerakan tanah, berhubungan dengan gaya-gaya dalam linear. Pada gambar menunjukkan momen tekuk dan geser pada balok dan kolom frame satu lantai atau gaya pegas pada gambar. Gambar 3.16 Sistem SDOF Deformasi akibat gerakan tanah ÿ g t pada sistem SDF hanya bergantung pada perioda getar alami dan rasio redamannya. Waktu siklus getar akibat gerakan gempa pada sistem SDF hampir sama dengan perioda alami sistem itu. Respon deformasi dievaluasi dengan analisa dinamis struktur, gaya dalam dapat ditentukan dengan analisa statis struktur pada waktu tertentu. Pendekatan teknik gempa berdasarkan konsep gaya statis ekuivalen fs. Persamaannya sebagai berikut: 3.3.5 Dimana k adalah kekakuan relatif pada frame. Nilai k terhadap massa m: 3.3.6 Universitas Sumatera Utara dimana 3.3.7 Gambar 3.17 Gaya Statis Ekuivalen Universitas Sumatera Utara 3.3.5 PERENCANAAN BANGUNAN SIMETRIS

3.3.5.1 GERAKAN TRANSLASI PADA TANAH

Pada gambar di dbawah ini ditunjukkan bangunan N-tingkat yang memiliki kekakuan lantai diapragma dan beberapa frame pada setiap sumbu x dan y; distribusi massa dan kekakuan secara simetris pada sumbu x dan y. Gambar 3.18 aLantai ke-j DOF; bFrame ke-i arah x, dengan gaya lateral dan displacemen Bangunan simetris dapat di analisa terpisah dalam dua arah lateral. Pergerakan bangunan karena gerakan tanah disepanjang satu dari dua sumbu; sumbu x, dengan memakai pendekatan m dan k. Matrix massa adalah matrix diagonal dengan elemen- elemen diagonal m jj = m j, dimana m j adalah lumped mass total pada lantai diapragma ke-j. Matrix kekakuan k adalah matrix kekakuan lateral gerakan bangunan arah x. Matrix kekakuan lateral bangunan dapat ditentukan dari kekakuan lateral matrix frame tunggal bangunan. Pertama-tama, matrix kekakuan lateral k xi pada frame Universitas Sumatera Utara ke-i arah x, ditentukan dengan statis kondensasi untuk meringkas rotasi pada join dan displacement vertikal pada sambingan. Matrix kekakuan lateral ini memberikan hubungan gaya lateral f si pada frame lantai ke-i dan displacement lateral u xi pada frame: 3.3.8 Karena lantai diapragma dianggap kaku, semua frame memiliki displacement lateral yang sama: 3.3.9 Dimana adalah displacemen lateral pada lantai yang ditentukan pada pusat massa. Substitusi persamaan 3.3.9 ke persamaan 3.3.8 menghasilkan: 3.3.10 Dimana adalah vektor gaya lateral pada pusat massa lantai bangunan dan adalah kekakuan lateral bangunan.

3.3.5.2 GERAKAN ROTASI PADA TANAH

Meskipun komponen rotasi pada gerakan tanah tidak dipakai selama gempa bumi, tetapi dapat dihitung dari komponen translasi, dan dipakai pada konsep ini. Dari gambar a di bawah ini, dapat diketahui bahwa frame berhubungan pada rotasi base . Total displacement massa dibuat kedalam dua bagian: y berhubungan dengan deformasi struktur dan komponen struktur kaku karena statis akibat rotasi tanah : Universitas Sumatera Utara 3.3.11 Statis adalah hasil displacemen seperti pada gambar b; dimana = total displavemen harus ditentukan dari persamaan 3.3.11. Dengan menggunakan persamaan: 3.3.12 dan 3.3.13 menghasilkan: 3.3.14 Gambar 3.19 aFrame; bPengaruh Vektor : Displacement Statis Karena ; c Gaya Gempa Efektif Gaya efektif yang berhubungan dengan tanah seperti pada gambar 3.19 c: 3.3.15 Universitas Sumatera Utara 3.3.6 PERENCANAAN BANGUNAN TIDAK SIMETRIS Pada gambar di bawah, yang terdiri dari beberapa frame arah sumbu x dan sumbu y. Setiap lantai diapragma dianggap kaku, dan memilik 3-DOF pada pusat massa gambar a. DOF pada lantai ke-j yakni translasi disepanjang sumbu x, translasi disepanjang sumbu y, dan torsi arah vertikal yang berhubungan dengan tanah. Gambar 3.20 Sistem Banyak Tingkate; a Perencanaan b Frame i Arah y Universitas Sumatera Utara c Frame i Arah x Langkah-langkah menentukan matrix kekakuan akibat DOF y dengan metode kekakuan langsung: 1. Tentukan matrix kekakuan lateral pada setiap frame. a. Tentukan DOF pada frame ke-i displacement lateral pada lantai, T , displacemen vertikal dan rotasi tiap node. b. Dapatkan matrix kekakuan lengkap pada frame ke-i yang berhubungan dengan DOF frame. c. Statis kondensasikan semua terhadap DOF rotasi dan vertikal, untuk mendapatkan matrix kekakuan lateral N x N pada frame ke-i, yang ditunjukkan oleh kxi jika frame berhubungan pada arah sumbu x, atau k yi jika frame berhubungan pada arah sumbu y. 2. Tentukan matrix transformasi displacement yang berhubungan dengan DOF y i arah lateral. a. Untuk frame ke-i terhadap global DOF y pada struktur. Matrix N x 2N ditunjukkan oleh axi jika frame berhubungan dengan sumbu x atau a yi jika frame berhubungan dengan sumbu y. 3.3.16 Transformasi matrix menjadi 3.3.17 Universitas Sumatera Utara Dimana xi dan yi adalah lokasi frame ke-i pada sumbu x dan y, I adalah matrix identitas N, dan O adalah matrix persegi N dengan semua elemen sama dengan nol. 3. Transformasikan matrix kekakuan lateral untuk frame ke-i pada struktur terhadap DOF y menghasilkan: 3.3.18 Matrix k i 2N x 2N adalah kontribusi frame ke-i ke matrix kekakuan. 4. Tambahkan matrix kekakuan semua frame untuk mendapatkan matrix kekakuan struktur: 3.3.19 Substitusi persamaan ke persamaan , kemudian ke persamaan menghasilkan: 3.3.20 Persamaan gerakan tidak teredam struktur berhubungan dengan gerakan tanah sepanjang sumbu y dapat dikembangkan seperti sistem satu tingkat: 3.3.21 Dimana m adalah matrix diagonal N, dengan m jj = m j , lumped mass pada lantai diapragma ke-j; Io adalah matrix diagonal N dengan I jj = I oj, momen inersia lantai diapragma ke-j sumbu vertikal melalui pusat massa ; dan 1 Universitas Sumatera Utara dan 0 adalah vektor dimensi N dengan semua komponen sama dengan nol. Gerakan tanah arah sumbu y dapat ditempatkan terhadap gaya gempa efektif - arah sumbu y; torsi sama dengan nol. Jika semua lantai diapragma memiliki kesamaan radius girasi dapat ditulis kembali: 3.3.22 Universitas Sumatera Utara

3.4 ANALISA LINEAR UNTUK STRUKTUR BERTINGKAT BANYAK

Gambar 3.21 Perpindahan pada bangunan Gbr 3.22 Bangunan dengan mfps Suatu bangunan dengan jumlah lantai N. Penomoran lantai mulai dari 1 sampai ke N,dimana lantai paling bawah bertumpu pada bearing. Perpindahan relative setiap lantai ditunjukkan pada gambar . Perpindahan pada tanah dinamakan dg , pada bearing db ,dan lantai satu sampai atas berturut-turut dinamakan d1, d2, d3 , d4 , …, N Universitas Sumatera Utara 3.4.1 3.4.2 3.4.3 Gambar 3.22 Gaya pada bangunan

3.4.1 PROSEDUR ANALISA

Tinjau diagram freebody. Gaya pegas diberi symbol S dan gaya damping diberi symbol D. Persamaan keseimbangan dapat ditulis seperti pada gambar 3.21 Vektor gaya inersia secara umum untuk lantai ke i dapat ditulis sebagai: dimana 3.4.4 Matriks Massa [ ] i M dan dibuat secara umum untuk lantai ke i. Parameter i e dan i f digunakan dalam matriks massa . Gaya inersia seperti pada persamaan 3.4.2 dapat dimasukkan untuk setiap lantai pada persamaan 3.4.1. Dengan memasukkan Gaya gesek Universitas Sumatera Utara 3.4.7 3.4.8 juga kekakuan, redaman dan vektor gesekan persamaan 3.4.1 dapat ditulis sebagai berikut: + + 3.4.5 Persamaan 3.4.5 adalah bentuk yang tidak dapat diatur, karena itu dapat ditulis dengan notasi yang lebih padat, dengan menyusun suku-suku persamaan dapat ditulis sebagai berikut : 3.4.6 Persamaan 3.4.6 dapat disederhanakan dengan mendefinisikan matriks ”massa total ” Persamaan 3.3.6 menjadi Universitas Sumatera Utara 3.4.10 3.4.11 3.4.12 Persamaan 3.4.8 akan diselesaikan untuk percepatan relatif untuk tingkatan penumpu sebagi fungsi dari bangunan atas menjadi 3.4.9 dimana

3.4.2 PERSAMAAN GERAKAN PADA STRUKTUR ATAS

Persamaan gerakan diperoleh dengan menjumlahkan gaya-gaya yang bekerja pada free body Untuk struktur bangunan dengan jumlah lantai N, persamaan 3.4.11 dapat ditulis menjadi Universitas Sumatera Utara 3.4.13 3.4.14 3.4.15 dimana Universitas Sumatera Utara 3.4.16 3.4.17 ≡ 3N x 1 vector 3.4.18 3.4.19 Universitas Sumatera Utara Gambar 3.23 Sistem Koordinat Universitas Sumatera Utara Penyusunan koordinat yang diberikan OXYZ dan titik tengah lantai dari gravitasi G i ditunjukkan sebagai variasi dan relasi dapat dipelajari antara panjang displacement pada koordinat axis dan paralel axis tepat di tengah pada gravitasi pada lantai yang lain. Definisi akan digunakan yaitu: G i = massa di tengah lantai i b untuk lantai bearing, 1 untuk lantai pertama O i = koordinat axis original u i = displacement dari massa di tengah G i sepanjang G i X i v i = displacement dari massa di tengah G i sepanjang G i Y i Θ i = displacement rotasi dari massa di tengah G i sepanjang G i Z i x i = displacement dari lantai i sepanjang O i X y i = displacement dari lantai i sepanjang O i Y e i = eksentrisitas antara G i Y i dan O i Y f i = eksentrisitas antara G i X i dan O i X e i b = eksentrisitas antara G b Y b dan G i X i f i b = eksentrisitas antara G b X b dan G i X i m i = massa lantai i J i = momen massa inersia lantai i dengan respek massa yang ditengah Universitas Sumatera Utara

3.5 APLIKASI MULTI FRICTION PENDULUM SYSTEM PADA STRUKTUR DENGAN BANYAK TINGKAT

Proses pengaplikasian kondisi non sliding terhadap struktur banyak tingkat sama dengan prosesnya tehadap struktur lantai tunggal. Kondisi non sliding dapat dimulai dengan menggunakan persamaan 3.5.1 di bawah ini: 3. 5.1 Dengan mendefinisikan kondisi non sliding, percepatan dan kecepatan pada bearing level adalah nol terhadap beberapa derajat kebebasan. Definisi ini sesuai dengan persamaan 3. 5.1 berikut: 3.5.2 Dengan catatan bahwa kasus ini untuk formula struktur lantai tunggal, setiap persamaan dari matrix harus dievaluasi secara terpisah. Persamaan 3.5.2 di bawah ini adalah persamaan komponen redaman gesekan 3.5.3 Universitas Sumatera Utara Seperti formula stuktur lantai tunggal, setiap komponen vektor {sgný b } dapat berbentuk positif ataupun negatif. Sehingga, kita anggap sebagai nilai absolut tehadap persamaan 3.5.3 3.5.4 Kondisi non sliding adalah jika gaya gesek lebih besar dar gaya dorong. Sehingga, derajat kebebasan termasuk ke dalam keadaan non-sliding, harus memenuhi kriteria berikut: 3.5.5 Koefisien gesek, µ yang dipakai pada persamaan 3.5.5 bergantung pada kondisi gerakan. Jika derajat kebebasan berada pada kondisi non-sliding, koefisien gesek statis harus dipergunakan. Namun, jika derajat kebebasan berada pada kondisi sliding, koefisien gesek kinetis yang dipakai. Sesuai dengan kriteria kondisi sliding berikut ini: 3.5.6 Universitas Sumatera Utara

3.6 HUBUNGAN GAYA – DISPLACEMENT PADA MFPS