2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Differensial Gerakan
Sebagaimana disampaikan sebelumnya bahwa respon yang paling penting di dalam persoalan analisis dinamik struktur baik SDOF maupun MDOF adalah
simpangan horisontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horisontal tingkat, maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan
yang dipakai pada penyelesaian persamaan differensial suatu permasalahan yang sudah kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap step by step.
Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi Δt maka jumlah derajat
kebebasan akan bertambah volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban yang panjang, step integrasi yang kecil dan derajat kebebasan yang banyak akan
menuntut memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa derajat kebebasan juga akan berakibat pada munculnya banyak pola ragam goyangan
mode shapes sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan differensial gerakan yang
kesemuanya mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing.
2.4.5.6 Metode β- Newmark Incremental Formulation
Metode β-Newmark seperti yang telah dibahas sebelumnya dapat dipakai untuk keperluan integrasi persamaan differensial coupled struktur MDOF secara
langsung. Metode β-Newmark yang dimaksud misalnya adalah metode yang
berdasar pada incremental method. Sebagaimana dibahas sebelumnya tersebut banyak untuk struktur yang berperilaku linier inelastik ataupun non-linier inelastik,
maka perlu dikembangkan model integrasi yang dapat mensimulasikan perubahan
Universitas Sumatera Utara
kekakuan menurut fungsi dari waktu. Urutan perumusan metode ini selengkapnya telah dibahas sebelumnya.
Pada metode β-Newmark, persamaan differensial yang berlaku pada
interval yang ditinjau adalah seperti pers. 7.57 dan apabila ditulis kembali adalah,
i i
i
p y
k y
c y
m ∆
= ∆
+ ∆
+ ∆
Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk
struktur MDOF pers. 11.3 tersebut adalah,
i b
i i
y M
y K
y C
y M
,
} {
] [
] [
] [
∆
= ∆
+ ∆
+ ∆
Perlu diingat bahwa pada Metode β-Newmark memakai perjanjian notasi
untuk perubahan simpangan Δy, perubahan kecepatan Δỳ dan perubahan percepatan
y
∆ adalah.
i i
i i
i i
i i
i
y y
y y
y y
y y
y −
= ∆
− =
∆ −
= ∆
+ +
+ 1
1 1
, ,
Sedangkan perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau
adalah, Δp
i
= Δp
i+1
- p
i
Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka Δp
i
= {M}
, 1
, i
b i
b
y y
−
+
Untuk memulai integrasi numerik tersebut maka pers. 7.66 ditulis kembali yaitu,
i i
i i
y y
t y
t y
β
β β
2 1
1 1
2
− ∆
− ∆
∆ =
∆
yang mana y
∆
1
adalah perubahan percepatan pada langkah ke-i. Sedangkan perubahan kecepatan pada langkah yang sama Δỳ
i
menurut pers 7.76 adalah,
Universitas Sumatera Utara
i i
i i
y t
y y
t y
−
∆ +
− ∆
∆ =
∆ β
γ β
γ β
γ 2
1 Kemudian berdasarkan pers. 7.71 perubahan simpangan dapat dicari dengan
persamaan, Δy
i
=
k p
i
ˆ ˆ
∆
yang mana,
∆ +
∆ +
=
2
ˆ t
m t
c k
k
β β
γ
i i
i i
i
y b
y a
p p
p
+ +
− =
∆
+
ˆ
1
Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka persamaan 11.12 akan menjadi,
i i
i b
i b
i
y b
y a
y y
M p
+
+ −
= ∆
+
} {
ˆ
, 1
,
Nilai a dan b pada pers. 11.12 tersebut adalah, a =
, 1
2 2
1 ,
1
−
∆ +
=
+
∆ c
t m
b c
m t
β γ
β β
γ β
Selanjutnya simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval adalah, y
i+1
= y
i
+ Δy
i 1
1
y y
y
i i
∆
+ =
+ 1
1
y y
y
i i
∆ +
=
+
Universitas Sumatera Utara
Tahapan-tahapan integrasi numerik metode ß-Newmark sebagai berikut: 1.
nilai k, m, ζ dan dt diketahui. 2.
Disusun matrix massa [M], matrix redaman [C] dan matrix kekakuan [K]. 3.
Dihitung nilak k, nilai a dan b. 4.
Dihitung nilai ∆p
i
, ∆y
i
, ∆ý
i ,
dan ∆ÿ
i.
5. Dihitung simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval
y
i+1
= y
i
+ Δy
i 1
1
y y
y
i i
∆
+ =
+ 1
1
y y
y
i i
∆ +
=
+
Universitas Sumatera Utara
2.4.6 Persamaan Difrensial Struktur MDOF akibat Base Motion
Kategori