Persamaan Differensial Pada Struktur SDOF Persamaan Difrensial Struktur SDOF akibat Base Motion

2.4 DERAJAT KEBEBASAN DEGREE OF FREEDOM, DOF

Derajat kebebasan degree of freedom adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu system pada setiap saat. Pada masalah dinamika, setiap titik atau massa pada umumnya hanya diperhitungkan berpindah tempat dalam satu arah saja yaitu arah horizontal. Karena simpangan yang terjadi hanya terjadi dalam satu bidang atau dua dimensi, maka simpangan suatu massa pada setiap saat hanya mempunyai posisi atau ordinat tertentu baik bertanda negative ataupun bertanda positif. Pada kondisi dua dimensi tersebut, simpangan suatu massa pada saat t dapat dinyatakan dalam koordinat tunggal yaitu Yt. Struktur seperti itu dinamakan struktur dengan derajat kebebasan tunggal SDOF system. Dalam model system SDOF atau berderajat kebebasan tunggal, setiap massa m, kekakuan k, mekanisme kehilangan atau redaman c, dan gaya luar yang dianggap tertumpu pada elemen fisik tunggal. Struktur yang mempunyai n-derjat kebebasan atau struktur dengan derajat kebebasan banyak disebut multi degree of freedom MDOF. Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jumlah derajat kebebasan adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu massa pada saat tertentu.

2.4.1 Persamaan Differensial Pada Struktur SDOF

System derajat kebebasan tunggal SDOF hanya akan mempunyai satu koordinat yang diperlukan untuk menyatakan posisi massa pada saat tertentu yang ditinjau. Bangunan satu tingkat adalah salah satu contoh bangunan derajat kebebasan tunggal. Universitas Sumatera Utara Pada gambar 2.1 tampak model matematik untuk SDOF system. Tampak bahwa Pt adalah beban dinamik yaitu beban yang intensitasnya merupakan fungsi dari waktu. Struktur seperti pada gambar 2.1.a kemudian digambar secara ideal seperti tampak pada gambar 2.1.b yaitu gambar yang telah dimodelkan. Notasi m, k, dan c seperti yang tampak pada gambar berturut-turut adalah massa, kekakuan kolom dan redaman. Gambar 2.1 Permodelan Struktur SDOF Apabila beban dinamik Pt bekerja kearah kanan, maka akan terdapat perlawanan pegas, damper dan gaya redaman seperti pada gambar 2.1.c. Gambar 2.7.d. adalah gambar keseimbangan dinamik yang bekerja pada massa m. Gambar-gambar tersebut umumnya disebut free body diagram. Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik pada free body diagram tersebut, maka dapat diperoleh hubungan, pt – f S – f D = mÿ atau mÿ + f D + f S = pt 2.4.1 Universitas Sumatera Utara dimana: f D f = c.ý S Apabila persamaan 2.4.1 disubtitusikan ke persamaan 2.4.2, maka akan diperoleh = k.y 2.4.2 mÿ+ cý+ ky = pt 2.4.3 Persamaan 2.4.3 adalah persamaan differensial gerakan massa suatu struktur SDOF yang memperoleh pembebanan dinamik pt. pada problema dinamik. Yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut adalah yt.

2.4.2 Persamaan Difrensial Struktur SDOF akibat Base Motion

Beban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk aselogram. Tanah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi. Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan bergerak secara bersamaan. Fondasi masih akan bergerak horizontal relative terhadap tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup Universitas Sumatera Utara rumit karena sudah memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut soil-structure interaction analysis. Untuk menyusun persamaan difrensial gerakan massa akibat gerakan tanah maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan difrensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat dirturunkan dengan mengambil model seperti pada gambar 2.2. Gambar 2.2 Struktur SDOF Akibat Base Motion Berdasarkan pada free body diagram seperti gambar di atas maka deformasi total yang terjadi adalah yt t t = yt + y g t 2.4.4 Universitas Sumatera Utara Dari free body diagram yang mengandung gaya inersia f 1 f tampak bahwa persamaan kesetimbangannya menjadi I + f D + f S dimana inersia adalah, = 0 2.4.5 f I = my t Dengan mensubstisusikan persamaan 2.4.2 dan 2.4.6 ke 2.4.4 dan 2.4.6,sehingga diproleh persmaaannya sebagai berikut, 2.4.6 my + cy + ky= - mÿ g Persamaan tersebut disebut persamaan difrensial relative karena gaya inersia, gaya redam dan gaya pegas ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relative. Ruas kanan pada persamaan 2.4.7 disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif gempa: t 2.4.7 P eef t - mÿ g t. 2.4.8 2.4.3 Persamaan Difrensial Struktur MDOF 2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman