6
BAB II DASAR TEORI
Untuk menyelesaikan masalah optimasi untuk menentukan portofolio yang optimal, dibutuhkan teori-teori optimasi yang mendukung. Beberapa teori
yang digunakan untuk menyelesaikan optimisasi tersebut meliputi himpunan konvek, bentuk kuadratik, fungsi konvek, titik ekstrim, pengali lagrange, dan
pemrograman kuadratik.
2.1 Himpunan Konvek
Definisi berikut ini menjelaskan konsep tentang himpunan konvek.
Definisi 2.1. Mital, K.V 1983. Sebuah himpunan
n
K
disebut konvek jika kombinasi linier konvek dari dua titik di K termasuk di dalam K. Atau dengan
kata lain, K adalah himpunan konvek jika
1 2
, x x
K x K
dimana
1 2
1 ,0
1 x
x x
. Sebagai ilustrasi, suatu himpunan konvek
n
k
. Dapat ditentukan sembarang titik
p
yang berada pada segmen garis yang menghubungkan sembarang dua titik yakni
1
p
dan
2
p
, maka titik
p
yang berada diantara titik
1
p
dan
2
p
juga berada dalam himpunan tersebut. Jika dapat ditemukan satu pasang titik didalam himpunan tersebut yang tidak sesuai dengan kondisi ini,
maka himpunan itu bukan himpunan konvek.
Gambar 2.1 fungsi konvek dan bukan fungsi konvek
Pada gambar 2.1 dapat dilihat bahwa jika diambil sembarang 2 titik pada sebuah segmen garis maka kedua titik tersebut masih berada pada satu
garis yang sama.
2.2 Bentuk Kuadratik
Uraian berikut ini akan menjelaskan definisi dari bentuk kuadratik. Suatu
fungsi
:
n
f
yang berbentuk
2 2
2 11 1
22 2 nn n
12 1 2 13 1 3
23 2 3 ij
fx= c x +c x +...+c x +c x x +c x x +c x x +...,c R,i, j = 1,2,...n
disebut bentuk kuadratik didalam variabel
1 2
2 n
x ,x ,x ,...x
. Jika
11
a
disubsitusikan kedalam
ii
c
dan
ji ij
a +a
ke
ij
c
, maka akan didapat :
n n
2 2
2 11 1
22 2 nn n
12 1 2 21 2 1
ij i j
i=1 j=1
fx= a x + a x + ...+ a x + a x x + a x x + ...= a x x = xAx
. dengan
1 2
n
x x
x = x
,
11 1n
n1 nn
a … a
A = a
a
dan
x Ax
=
1 2
n
x x
x
11 1n
n1 nn
a … a
a a
1 2
n
x x
x
.
Selanjutnya, akan diberikan definisi yang menjelaskan sifat bentuk kuadratik apakah definit positif, semidefinit positif, definit negatif atau
semidefinit negatif. Definisi ini akan digunakan untuk menentukan kekonvekan sebuah fungsi yang berbentuk kuadratik.
Definisi 2.2. Mital, K.V 1983. Sebuah bentuk kuadratik
x Ax disebut definit positif jika
x Ax untuk semua x 0
. Disebut definit semidefinit positif jika x Ax
untuk semua x 0 dan setidaknya ada satu vektor tidak nol yang
membuat x Ax
. Definit negatif dan semidefinit negatif didefinisikan dengan membalik tanda ketidaksamaan pada definisi diatas.
Teorema 2.1. Mital, K.V 1983. Misalkan nilai eigen dari matrik simetrik A
berordo
n n
, adalah
1 2
3
, , ,... , .
k
k n
Maka bentuk kuadratik x Ax
adalah: i
Definit positif
j
untuk semua j; ii
Definit negatif
j
untuk semua j; iii
Semidefinit positif
j
; iv
Semidefinit positif
j
;
Contoh 2.1. Bentuk kuadratik
2 2
2 1
2 3
1 2 1 3
2 3
7 10
7 4
2 4
f x x
x x
x x x x
x x
jika diubah kedalam bentuk umum bentuk kuadratik akan menjadi
1 2
3
f x x
x x
7
2 1
2 10 2
1 2
7
1 2
3
x x
x
.
Setelah diubah kedalam bentuk umum bentuk kuadratik, maka dapat diketahui matrik A dari bentuk tersebut. Matrik A untuk bentuk kuadrat diatas adalah
A = 7
2 1
2 10 2
1 2
7
.
Dari matrik A ini akan ditentukan nilai eigen dari bentuk kuadrat
2 2
2 1
2 3
1 2 1 3
2 3
7 10
7 4
2 4
f x x
x x
x x x x
x x
. 7
2 1
2 10
2 1
2 7
Untuk mencari nilai eigen matriks diatas, terlebih dahulu akan dihitung
determianan dari
I A
dengan metode Sarrus, sehingga diperoleh:
Det
I A
=
7
10
2 2
7
- -2
2 2
1 7
- 1 2
10 1
2
Det
I A
=
3 2
24 180
432
atau
2
6 12 0
Dari faktor diatas, didapat nilai eigen untuk bentuk kuadratik diatas adalah 6, 6, dan 12. Semua nilai eigen yang didapat bernilai positif, maka bentuk kuadratik
2 2
2 1
2 3
1 2 1 3
2 3
7 10
7 4
2 4
f x x
x x
x x x x
x x
adalah bentuk kuadratik yang definit positif.
2.3 Fungsi konvek
Kategori