dipengaruhi oleh kondisi persyaratan atau kendala gx,y = 0 dan terdiri atas pembentukan fungsi penolong.
Langkah awal metode pengganda lagrange adalah dengan membentuk fungsi baru yakni F yang merupakan gabungan antara dua fungsi obyektif,
fungsi kendala dan ditambah dengan sejumlah variabel pengganda
. Bentuk fungsi baru tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
� , , � = ,
+ � ,
1.18 dengan syarat :
�� �
= ,
�� �
= ,
�� ��
= . Lambang
� lambda pada fungsi F, mewakili angka yang belum ditentukan besarnya dan nilainya tidak tergantung pada x dan y, yang disebut pengali tak
tentu Lagrange.
3.3 Kondisi Kuhn-Tucker
Berdasarkan Jong Jek Siang setelah membentuk fungus baru yakni fungsi F, langkah selanjutnya adalah membentuk syarat kendala. Syarat diatas
merupakan syarat perlu untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi. Jika syarat perlu dipenuhi masih belum dapat ditentukan apakah titik
yang didapat merupakan titik minimum, maksimum atau titik sadel. Untuk itu diperlukan syarat cukup. Syarat perlu dan syarat cukup diberikan oleh Kuhn-
Tucker untuk menyelesaikan pemrograman kuadratik dengan kendala berbentuk persamaan. Syarat perlu necessary condition merupakan syarat
yang mutlak diperlukan agar suatu titik X menjadi calon penyelesaian optimal. Akan tetapi, syarat ini belum tentu cukup sehingga perlu ditambah dengan
dipenuhinya syarat cukup. Syarat perlu belum tentu cukup tetapi sebaliknya syarat cukup belum tentu diperlukan. Syarat cukup untuk menyelesaikan
pemrograman kuadratik diberikan sebagai berikut :
Syarat cukup :
2 2
2 2
1 1
2 1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 2
2 1
2
... ...
...
n n
i j
n n
n
f f
f x
x x x x
f f
f f
H x x x
x x x
x x f
f f
x x x x
x
dengan x =
Solusi untuk pemrograman kuadratik dengan kendala persamaan diatas : meminimumkan:
fx= Px + xAx
n n
n j
i jk
j k
j=1 j=1 k=1
= P x +
A x x
dengan kendala
,
eq eq
A x b x
,
adalah dengan menentukan syarat perlu dan syarat cukup seperti berikut ini :
A
eq eq
b L
f x
x x
eq eq
L A
b
x
Contoh 2.2 : Tentukan nilai minimum dari fungsi berikut ini :
1 1
2 2
1 2
x f x
x x
x
Ekstrim minimum jika Hx definit positif Ekstrim maksimum jika Hx definit negatif
Titik sadel jika Hx indefinit.
dengan kendala :
1 2
2 1 4
4 1 6
x x
, x
. Solusi dari fungsi diatas akan diselesaikan secara manual dan bantuan Matlab.
Dengan cara manual fungsi
f x
dapat ditulis menjadi
2 2
1 2
2 f x
x x
. Sedangkan fungsi kendala dapat ditulis manjadi :
{ +
= 4 4 +
= 6 .
Dari fungsi obyektif dan fungsi kendala diatas dibentuk fungsi Lagrange :
2 2
1 2
1 1
2 2
1 2
, 2
2 4
4 6
L x x
x x
x x
x
. 3.1
Suku yang dengan variabel
untuk membentuk fungsi Lagrange diatas adalah fungsi kendala bukan fungsi obyektif. Karena terdapat dua buah
kendala, maka diperlukan dua buah
:
1 1
2 1
1 2
1
2 2
4 2
2 L
x x
x
3.2
2 1
2 2
4 L
x x
3.3
1 2
1
2 4
L x
x
3.4
1 2
2
4 6
L x
x
3.5
Dari persamaan 3.4 dan 3.5 diperoleh
1 2
1 2
1 1
2
2 4
4 6
2 2
1 2
x x
x x
x x
x
Subsitusi nilai = dan = ke persamaan 3.2 ke persamaan 3.4 maka
diperoleh
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1
2 2
1 5
21 2 4
2 4
6 2
4 6
1 42
8 2
2 8
2
Dengan bantuan sofware matematika, yakni Matlab diperoleh nilai
1
x
dan
2
x
yang sama dengan hasil
1
x
dan
2
x
yang dicari dengan cara manual, yakni
1
1 x
dan
2
2 x
. Untuk menyelesaikan fungsi diatas dengan matlab, fungsi tersebut ditulis menjadi :
Meminimumkan :
. .x .x
T T
f x x
dengan kendala :
. x
eq eq
A b
i
x
dengan : 1
2
,
,
2 1 4 1
eq
a b
A c
d
, dan 4
6
eq
r b
s
.
Dengan menggunakan Matlab, optimasi bentuk kuadratik diatas diselesaikan dengan menggunakan perintah berikut ini :
[x,sigma2min] = quadprogsigma,α,[],[],A
eq
,b
eq
,lb,[]
dengan lb
{kendala
i
x
}.
Gambar 2.3 Perintah Pada Matlab Hasil output dari program diatas adalah sebagai berikut
Gambar 2.4 Output Matlab
41
BAB IV PEMBAHASAN
